Theorem otthne 33585

Description: Contrapositive of the ordered triple theorem. (Contributed by Scott Fenton, 21-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
otthne.1	⊢ 𝐴 ∈ V
otthne.2	⊢ 𝐵 ∈ V
otthne.3	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
otthne	⊢ (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩ ≠ ⟨⟨𝐷, 𝐸⟩, 𝐹⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝐷 ∨ 𝐵 ≠ 𝐸 ∨ 𝐶 ≠ 𝐹))

Proof of Theorem otthne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		otthne.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		otthne.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	1, 2	opthne 5391	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ≠ ⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝐷 ∨ 𝐵 ≠ 𝐸))
4	3	orbi1i 910	. 2 ⊢ ((⟨𝐴, 𝐵⟩ ≠ ⟨𝐷, 𝐸⟩ ∨ 𝐶 ≠ 𝐹) ↔ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∨ 𝐵 ≠ 𝐸) ∨ 𝐶 ≠ 𝐹))
5		opex 5373	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
6		otthne.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
7	5, 6	opthne 5391	. 2 ⊢ (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩ ≠ ⟨⟨𝐷, 𝐸⟩, 𝐹⟩ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ≠ ⟨𝐷, 𝐸⟩ ∨ 𝐶 ≠ 𝐹))
8		df-3or 1086	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∨ 𝐵 ≠ 𝐸 ∨ 𝐶 ≠ 𝐹) ↔ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∨ 𝐵 ≠ 𝐸) ∨ 𝐶 ≠ 𝐹))
9	4, 7, 8	3bitr4i 302	1 ⊢ (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩ ≠ ⟨⟨𝐷, 𝐸⟩, 𝐹⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝐷 ∨ 𝐵 ≠ 𝐸 ∨ 𝐶 ≠ 𝐹))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∨ wo 843   ∨ w3o 1084   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422  ⟨cop 4564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565

This theorem is referenced by:  xpord3lem  33722  xpord3pred  33725  xpord3ind  33727