Theorem otthne 33213

Description: Contrapositive of the ordered triple theorem. (Contributed by Scott Fenton, 21-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
otthne.1	⊢ 𝐴 ∈ V
otthne.2	⊢ 𝐵 ∈ V
otthne.3	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
otthne	⊢ (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩ ≠ ⟨⟨𝐷, 𝐸⟩, 𝐹⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝐷 ∨ 𝐵 ≠ 𝐸 ∨ 𝐶 ≠ 𝐹))

Proof of Theorem otthne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		otthne.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		otthne.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	1, 2	opthne 5346	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ≠ ⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝐷 ∨ 𝐵 ≠ 𝐸))
4	3	orbi1i 911	. 2 ⊢ ((⟨𝐴, 𝐵⟩ ≠ ⟨𝐷, 𝐸⟩ ∨ 𝐶 ≠ 𝐹) ↔ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∨ 𝐵 ≠ 𝐸) ∨ 𝐶 ≠ 𝐹))
5		opex 5328	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
6		otthne.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
7	5, 6	opthne 5346	. 2 ⊢ (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩ ≠ ⟨⟨𝐷, 𝐸⟩, 𝐹⟩ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ≠ ⟨𝐷, 𝐸⟩ ∨ 𝐶 ≠ 𝐹))
8		df-3or 1085	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∨ 𝐵 ≠ 𝐸 ∨ 𝐶 ≠ 𝐹) ↔ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∨ 𝐵 ≠ 𝐸) ∨ 𝐶 ≠ 𝐹))
9	4, 7, 8	3bitr4i 306	1 ⊢ (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩ ≠ ⟨⟨𝐷, 𝐸⟩, 𝐹⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝐷 ∨ 𝐵 ≠ 𝐸 ∨ 𝐶 ≠ 𝐹))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∨ wo 844   ∨ w3o 1083   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  Vcvv 3409  ⟨cop 4531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pr 5302

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-sb 2070  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-ne 2952  df-v 3411  df-dif 3863  df-un 3865  df-nul 4228  df-if 4424  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532

This theorem is referenced by:  xpord3lem  33362  xpord3pred  33365  xpord3ind  33367  no3indslem  33697