Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | oteq1 4839 |
. . . 4
⊢ (𝑎 = 𝑋 → 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 = 〈𝑋, 𝑏, 𝑐〉) |
2 | | predeq3 6257 |
. . . 4
⊢
(〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 = 〈𝑋, 𝑏, 𝑐〉 → Pred(𝑈, ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶), 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉) = Pred(𝑈, ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶), 〈𝑋, 𝑏, 𝑐〉)) |
3 | 1, 2 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝑎 = 𝑋 → Pred(𝑈, ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶), 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉) = Pred(𝑈, ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶), 〈𝑋, 𝑏, 𝑐〉)) |
4 | | predeq3 6257 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑎 = 𝑋 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) = Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) |
5 | | sneq 4596 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑎 = 𝑋 → {𝑎} = {𝑋}) |
6 | 4, 5 | uneq12d 4124 |
. . . . . 6
⊢ (𝑎 = 𝑋 → (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) = (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ {𝑋})) |
7 | 6 | xpeq1d 5662 |
. . . . 5
⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) = ((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ {𝑋}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏}))) |
8 | 7 | xpeq1d 5662 |
. . . 4
⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) = (((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ {𝑋}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐}))) |
9 | 1 | sneqd 4598 |
. . . 4
⊢ (𝑎 = 𝑋 → {〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉} = {〈𝑋, 𝑏, 𝑐〉}) |
10 | 8, 9 | difeq12d 4083 |
. . 3
⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉}) = ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ {𝑋}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑋, 𝑏, 𝑐〉})) |
11 | 3, 10 | eqeq12d 2752 |
. 2
⊢ (𝑎 = 𝑋 → (Pred(𝑈, ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶), 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉) = ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉}) ↔ Pred(𝑈, ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶), 〈𝑋, 𝑏, 𝑐〉) = ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ {𝑋}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑋, 𝑏, 𝑐〉}))) |
12 | | oteq2 4840 |
. . . 4
⊢ (𝑏 = 𝑌 → 〈𝑋, 𝑏, 𝑐〉 = 〈𝑋, 𝑌, 𝑐〉) |
13 | | predeq3 6257 |
. . . 4
⊢
(〈𝑋, 𝑏, 𝑐〉 = 〈𝑋, 𝑌, 𝑐〉 → Pred(𝑈, ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶), 〈𝑋, 𝑏, 𝑐〉) = Pred(𝑈, ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶), 〈𝑋, 𝑌, 𝑐〉)) |
14 | 12, 13 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝑏 = 𝑌 → Pred(𝑈, ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶), 〈𝑋, 𝑏, 𝑐〉) = Pred(𝑈, ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶), 〈𝑋, 𝑌, 𝑐〉)) |
15 | | predeq3 6257 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑏 = 𝑌 → Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) = Pred(𝑆, 𝐵, 𝑌)) |
16 | | sneq 4596 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑏 = 𝑌 → {𝑏} = {𝑌}) |
17 | 15, 16 | uneq12d 4124 |
. . . . . 6
⊢ (𝑏 = 𝑌 → (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏}) = (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑌) ∪ {𝑌})) |
18 | 17 | xpeq2d 5663 |
. . . . 5
⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ {𝑋}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) = ((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ {𝑋}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑌) ∪ {𝑌}))) |
19 | 18 | xpeq1d 5662 |
. . . 4
⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ {𝑋}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) = (((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ {𝑋}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑌) ∪ {𝑌})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐}))) |
20 | 12 | sneqd 4598 |
. . . 4
⊢ (𝑏 = 𝑌 → {〈𝑋, 𝑏, 𝑐〉} = {〈𝑋, 𝑌, 𝑐〉}) |
21 | 19, 20 | difeq12d 4083 |
. . 3
⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ {𝑋}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑋, 𝑏, 𝑐〉}) = ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ {𝑋}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑌) ∪ {𝑌})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑋, 𝑌, 𝑐〉})) |
22 | 14, 21 | eqeq12d 2752 |
. 2
⊢ (𝑏 = 𝑌 → (Pred(𝑈, ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶), 〈𝑋, 𝑏, 𝑐〉) = ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ {𝑋}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑋, 𝑏, 𝑐〉}) ↔ Pred(𝑈, ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶), 〈𝑋, 𝑌, 𝑐〉) = ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ {𝑋}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑌) ∪ {𝑌})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑋, 𝑌, 𝑐〉}))) |
23 | | oteq3 4841 |
. . . 4
⊢ (𝑐 = 𝑍 → 〈𝑋, 𝑌, 𝑐〉 = 〈𝑋, 𝑌, 𝑍〉) |
24 | | predeq3 6257 |
. . . 4
⊢
(〈𝑋, 𝑌, 𝑐〉 = 〈𝑋, 𝑌, 𝑍〉 → Pred(𝑈, ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶), 〈𝑋, 𝑌, 𝑐〉) = Pred(𝑈, ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶), 〈𝑋, 𝑌, 𝑍〉)) |
25 | 23, 24 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝑐 = 𝑍 → Pred(𝑈, ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶), 〈𝑋, 𝑌, 𝑐〉) = Pred(𝑈, ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶), 〈𝑋, 𝑌, 𝑍〉)) |
26 | | predeq3 6257 |
. . . . . 6
⊢ (𝑐 = 𝑍 → Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) = Pred(𝑇, 𝐶, 𝑍)) |
27 | | sneq 4596 |
. . . . . 6
⊢ (𝑐 = 𝑍 → {𝑐} = {𝑍}) |
28 | 26, 27 | uneq12d 4124 |
. . . . 5
⊢ (𝑐 = 𝑍 → (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐}) = (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑍) ∪ {𝑍})) |
29 | 28 | xpeq2d 5663 |
. . . 4
⊢ (𝑐 = 𝑍 → (((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ {𝑋}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑌) ∪ {𝑌})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) = (((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ {𝑋}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑌) ∪ {𝑌})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑍) ∪ {𝑍}))) |
30 | 23 | sneqd 4598 |
. . . 4
⊢ (𝑐 = 𝑍 → {〈𝑋, 𝑌, 𝑐〉} = {〈𝑋, 𝑌, 𝑍〉}) |
31 | 29, 30 | difeq12d 4083 |
. . 3
⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ {𝑋}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑌) ∪ {𝑌})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑋, 𝑌, 𝑐〉}) = ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ {𝑋}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑌) ∪ {𝑌})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑍) ∪ {𝑍})) ∖ {〈𝑋, 𝑌, 𝑍〉})) |
32 | 25, 31 | eqeq12d 2752 |
. 2
⊢ (𝑐 = 𝑍 → (Pred(𝑈, ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶), 〈𝑋, 𝑌, 𝑐〉) = ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ {𝑋}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑌) ∪ {𝑌})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑋, 𝑌, 𝑐〉}) ↔ Pred(𝑈, ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶), 〈𝑋, 𝑌, 𝑍〉) = ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ {𝑋}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑌) ∪ {𝑌})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑍) ∪ {𝑍})) ∖ {〈𝑋, 𝑌, 𝑍〉}))) |
33 | | el2xptp 7967 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑞 ∈ ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝐴 ∃𝑒 ∈ 𝐵 ∃𝑓 ∈ 𝐶 𝑞 = 〈𝑑, 𝑒, 𝑓〉) |
34 | | df-3an 1089 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (((𝑑𝑅𝑎 ∨ 𝑑 = 𝑎) ∧ (𝑒𝑆𝑏 ∨ 𝑒 = 𝑏) ∧ (𝑓𝑇𝑐 ∨ 𝑓 = 𝑐)) ∧ (𝑑 ≠ 𝑎 ∨ 𝑒 ≠ 𝑏 ∨ 𝑓 ≠ 𝑐))) ↔ (((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) ∧ (((𝑑𝑅𝑎 ∨ 𝑑 = 𝑎) ∧ (𝑒𝑆𝑏 ∨ 𝑒 = 𝑏) ∧ (𝑓𝑇𝑐 ∨ 𝑓 = 𝑐)) ∧ (𝑑 ≠ 𝑎 ∨ 𝑒 ≠ 𝑏 ∨ 𝑓 ≠ 𝑐)))) |
35 | | simplrl 775 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → 𝑑 ∈ 𝐴) |
36 | | simplrr 776 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → 𝑒 ∈ 𝐵) |
37 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → 𝑓 ∈ 𝐶) |
38 | 35, 36, 37 | 3jca 1128 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶)) |
39 | | simpll 765 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) |
40 | 38, 39 | jca 512 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶))) |
41 | 40 | biantrurd 533 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → ((((𝑑𝑅𝑎 ∨ 𝑑 = 𝑎) ∧ (𝑒𝑆𝑏 ∨ 𝑒 = 𝑏) ∧ (𝑓𝑇𝑐 ∨ 𝑓 = 𝑐)) ∧ (𝑑 ≠ 𝑎 ∨ 𝑒 ≠ 𝑏 ∨ 𝑓 ≠ 𝑐)) ↔ (((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) ∧ (((𝑑𝑅𝑎 ∨ 𝑑 = 𝑎) ∧ (𝑒𝑆𝑏 ∨ 𝑒 = 𝑏) ∧ (𝑓𝑇𝑐 ∨ 𝑓 = 𝑐)) ∧ (𝑑 ≠ 𝑎 ∨ 𝑒 ≠ 𝑏 ∨ 𝑓 ≠ 𝑐))))) |
42 | 35 | biantrurd 533 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → (𝑑𝑅𝑎 ↔ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑𝑅𝑎))) |
43 | 42 | orbi1d 915 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → ((𝑑𝑅𝑎 ∨ 𝑑 = 𝑎) ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑𝑅𝑎) ∨ 𝑑 = 𝑎))) |
44 | 36 | biantrurd 533 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → (𝑒𝑆𝑏 ↔ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒𝑆𝑏))) |
45 | 44 | orbi1d 915 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → ((𝑒𝑆𝑏 ∨ 𝑒 = 𝑏) ↔ ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒𝑆𝑏) ∨ 𝑒 = 𝑏))) |
46 | 37 | biantrurd 533 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → (𝑓𝑇𝑐 ↔ (𝑓 ∈ 𝐶 ∧ 𝑓𝑇𝑐))) |
47 | 46 | orbi1d 915 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → ((𝑓𝑇𝑐 ∨ 𝑓 = 𝑐) ↔ ((𝑓 ∈ 𝐶 ∧ 𝑓𝑇𝑐) ∨ 𝑓 = 𝑐))) |
48 | 43, 45, 47 | 3anbi123d 1436 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → (((𝑑𝑅𝑎 ∨ 𝑑 = 𝑎) ∧ (𝑒𝑆𝑏 ∨ 𝑒 = 𝑏) ∧ (𝑓𝑇𝑐 ∨ 𝑓 = 𝑐)) ↔ (((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑𝑅𝑎) ∨ 𝑑 = 𝑎) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒𝑆𝑏) ∨ 𝑒 = 𝑏) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐶 ∧ 𝑓𝑇𝑐) ∨ 𝑓 = 𝑐)))) |
49 | 48 | anbi1d 630 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → ((((𝑑𝑅𝑎 ∨ 𝑑 = 𝑎) ∧ (𝑒𝑆𝑏 ∨ 𝑒 = 𝑏) ∧ (𝑓𝑇𝑐 ∨ 𝑓 = 𝑐)) ∧ (𝑑 ≠ 𝑎 ∨ 𝑒 ≠ 𝑏 ∨ 𝑓 ≠ 𝑐)) ↔ ((((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑𝑅𝑎) ∨ 𝑑 = 𝑎) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒𝑆𝑏) ∨ 𝑒 = 𝑏) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐶 ∧ 𝑓𝑇𝑐) ∨ 𝑓 = 𝑐)) ∧ (𝑑 ≠ 𝑎 ∨ 𝑒 ≠ 𝑏 ∨ 𝑓 ≠ 𝑐)))) |
50 | 41, 49 | bitr3d 280 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → ((((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) ∧ (((𝑑𝑅𝑎 ∨ 𝑑 = 𝑎) ∧ (𝑒𝑆𝑏 ∨ 𝑒 = 𝑏) ∧ (𝑓𝑇𝑐 ∨ 𝑓 = 𝑐)) ∧ (𝑑 ≠ 𝑎 ∨ 𝑒 ≠ 𝑏 ∨ 𝑓 ≠ 𝑐))) ↔ ((((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑𝑅𝑎) ∨ 𝑑 = 𝑎) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒𝑆𝑏) ∨ 𝑒 = 𝑏) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐶 ∧ 𝑓𝑇𝑐) ∨ 𝑓 = 𝑐)) ∧ (𝑑 ≠ 𝑎 ∨ 𝑒 ≠ 𝑏 ∨ 𝑓 ≠ 𝑐)))) |
51 | 34, 50 | bitrid 282 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → (((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (((𝑑𝑅𝑎 ∨ 𝑑 = 𝑎) ∧ (𝑒𝑆𝑏 ∨ 𝑒 = 𝑏) ∧ (𝑓𝑇𝑐 ∨ 𝑓 = 𝑐)) ∧ (𝑑 ≠ 𝑎 ∨ 𝑒 ≠ 𝑏 ∨ 𝑓 ≠ 𝑐))) ↔ ((((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑𝑅𝑎) ∨ 𝑑 = 𝑎) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒𝑆𝑏) ∨ 𝑒 = 𝑏) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐶 ∧ 𝑓𝑇𝑐) ∨ 𝑓 = 𝑐)) ∧ (𝑑 ≠ 𝑎 ∨ 𝑒 ≠ 𝑏 ∨ 𝑓 ≠ 𝑐)))) |
52 | | breq1 5108 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑞 = 〈𝑑, 𝑒, 𝑓〉 → (𝑞𝑈〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 ↔ 〈𝑑, 𝑒, 𝑓〉𝑈〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉)) |
53 | | xpord3.1 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑈 = {〈𝑥, 𝑦〉 ∣ (𝑥 ∈ ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶) ∧ ((((1st
‘(1st ‘𝑥))𝑅(1st ‘(1st
‘𝑦)) ∨
(1st ‘(1st ‘𝑥)) = (1st ‘(1st
‘𝑦))) ∧
((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑆(2nd ‘(1st
‘𝑦)) ∨
(2nd ‘(1st ‘𝑥)) = (2nd ‘(1st
‘𝑦))) ∧
((2nd ‘𝑥)𝑇(2nd ‘𝑦) ∨ (2nd ‘𝑥) = (2nd ‘𝑦))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))} |
54 | 53 | xpord3lem 8081 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(〈𝑑, 𝑒, 𝑓〉𝑈〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (((𝑑𝑅𝑎 ∨ 𝑑 = 𝑎) ∧ (𝑒𝑆𝑏 ∨ 𝑒 = 𝑏) ∧ (𝑓𝑇𝑐 ∨ 𝑓 = 𝑐)) ∧ (𝑑 ≠ 𝑎 ∨ 𝑒 ≠ 𝑏 ∨ 𝑓 ≠ 𝑐)))) |
55 | 52, 54 | bitrdi 286 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑞 = 〈𝑑, 𝑒, 𝑓〉 → (𝑞𝑈〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (((𝑑𝑅𝑎 ∨ 𝑑 = 𝑎) ∧ (𝑒𝑆𝑏 ∨ 𝑒 = 𝑏) ∧ (𝑓𝑇𝑐 ∨ 𝑓 = 𝑐)) ∧ (𝑑 ≠ 𝑎 ∨ 𝑒 ≠ 𝑏 ∨ 𝑓 ≠ 𝑐))))) |
56 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑞 = 〈𝑑, 𝑒, 𝑓〉 → (𝑞 ∈ ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉}) ↔ 〈𝑑, 𝑒, 𝑓〉 ∈ ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉}))) |
57 | | eldifsn 4747 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(〈𝑑, 𝑒, 𝑓〉 ∈ ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉}) ↔ (〈𝑑, 𝑒, 𝑓〉 ∈ (((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∧ 〈𝑑, 𝑒, 𝑓〉 ≠ 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉)) |
58 | | otelxp 5676 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(〈𝑑, 𝑒, 𝑓〉 ∈ (((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ↔ (𝑑 ∈ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏}) ∧ 𝑓 ∈ (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐}))) |
59 | | elun 4108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑑 ∈ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) ↔ (𝑑 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∨ 𝑑 ∈ {𝑎})) |
60 | | vex 3449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 𝑑 ∈ V |
61 | 60 | elpred 6270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑎 ∈ V → (𝑑 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ↔ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑𝑅𝑎))) |
62 | 61 | elv 3451 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑑 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ↔ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑𝑅𝑎)) |
63 | | velsn 4602 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑑 ∈ {𝑎} ↔ 𝑑 = 𝑎) |
64 | 62, 63 | orbi12i 913 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑑 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∨ 𝑑 ∈ {𝑎}) ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑𝑅𝑎) ∨ 𝑑 = 𝑎)) |
65 | 59, 64 | bitri 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑑 ∈ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑𝑅𝑎) ∨ 𝑑 = 𝑎)) |
66 | | elun 4108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑒 ∈ (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏}) ↔ (𝑒 ∈ Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∨ 𝑒 ∈ {𝑏})) |
67 | | vex 3449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 𝑒 ∈ V |
68 | 67 | elpred 6270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑏 ∈ V → (𝑒 ∈ Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ↔ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒𝑆𝑏))) |
69 | 68 | elv 3451 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑒 ∈ Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ↔ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒𝑆𝑏)) |
70 | | velsn 4602 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑒 ∈ {𝑏} ↔ 𝑒 = 𝑏) |
71 | 69, 70 | orbi12i 913 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑒 ∈ Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∨ 𝑒 ∈ {𝑏}) ↔ ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒𝑆𝑏) ∨ 𝑒 = 𝑏)) |
72 | 66, 71 | bitri 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑒 ∈ (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏}) ↔ ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒𝑆𝑏) ∨ 𝑒 = 𝑏)) |
73 | | elun 4108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑓 ∈ (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐}) ↔ (𝑓 ∈ Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∨ 𝑓 ∈ {𝑐})) |
74 | | vex 3449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 𝑓 ∈ V |
75 | 74 | elpred 6270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑐 ∈ V → (𝑓 ∈ Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ↔ (𝑓 ∈ 𝐶 ∧ 𝑓𝑇𝑐))) |
76 | 75 | elv 3451 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑓 ∈ Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ↔ (𝑓 ∈ 𝐶 ∧ 𝑓𝑇𝑐)) |
77 | | velsn 4602 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑓 ∈ {𝑐} ↔ 𝑓 = 𝑐) |
78 | 76, 77 | orbi12i 913 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑓 ∈ Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∨ 𝑓 ∈ {𝑐}) ↔ ((𝑓 ∈ 𝐶 ∧ 𝑓𝑇𝑐) ∨ 𝑓 = 𝑐)) |
79 | 73, 78 | bitri 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑓 ∈ (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐}) ↔ ((𝑓 ∈ 𝐶 ∧ 𝑓𝑇𝑐) ∨ 𝑓 = 𝑐)) |
80 | 65, 72, 79 | 3anbi123i 1155 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑑 ∈ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏}) ∧ 𝑓 ∈ (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ↔ (((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑𝑅𝑎) ∨ 𝑑 = 𝑎) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒𝑆𝑏) ∨ 𝑒 = 𝑏) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐶 ∧ 𝑓𝑇𝑐) ∨ 𝑓 = 𝑐))) |
81 | 58, 80 | bitri 274 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(〈𝑑, 𝑒, 𝑓〉 ∈ (((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ↔ (((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑𝑅𝑎) ∨ 𝑑 = 𝑎) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒𝑆𝑏) ∨ 𝑒 = 𝑏) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐶 ∧ 𝑓𝑇𝑐) ∨ 𝑓 = 𝑐))) |
82 | 60, 67, 74 | otthne 5443 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(〈𝑑, 𝑒, 𝑓〉 ≠ 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 ↔ (𝑑 ≠ 𝑎 ∨ 𝑒 ≠ 𝑏 ∨ 𝑓 ≠ 𝑐)) |
83 | 81, 82 | anbi12i 627 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((〈𝑑, 𝑒, 𝑓〉 ∈ (((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∧ 〈𝑑, 𝑒, 𝑓〉 ≠ 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉) ↔ ((((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑𝑅𝑎) ∨ 𝑑 = 𝑎) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒𝑆𝑏) ∨ 𝑒 = 𝑏) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐶 ∧ 𝑓𝑇𝑐) ∨ 𝑓 = 𝑐)) ∧ (𝑑 ≠ 𝑎 ∨ 𝑒 ≠ 𝑏 ∨ 𝑓 ≠ 𝑐))) |
84 | 57, 83 | bitri 274 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(〈𝑑, 𝑒, 𝑓〉 ∈ ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉}) ↔ ((((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑𝑅𝑎) ∨ 𝑑 = 𝑎) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒𝑆𝑏) ∨ 𝑒 = 𝑏) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐶 ∧ 𝑓𝑇𝑐) ∨ 𝑓 = 𝑐)) ∧ (𝑑 ≠ 𝑎 ∨ 𝑒 ≠ 𝑏 ∨ 𝑓 ≠ 𝑐))) |
85 | 56, 84 | bitrdi 286 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑞 = 〈𝑑, 𝑒, 𝑓〉 → (𝑞 ∈ ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉}) ↔ ((((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑𝑅𝑎) ∨ 𝑑 = 𝑎) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒𝑆𝑏) ∨ 𝑒 = 𝑏) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐶 ∧ 𝑓𝑇𝑐) ∨ 𝑓 = 𝑐)) ∧ (𝑑 ≠ 𝑎 ∨ 𝑒 ≠ 𝑏 ∨ 𝑓 ≠ 𝑐)))) |
86 | 55, 85 | bibi12d 345 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑞 = 〈𝑑, 𝑒, 𝑓〉 → ((𝑞𝑈〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 ↔ 𝑞 ∈ ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉})) ↔ (((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (((𝑑𝑅𝑎 ∨ 𝑑 = 𝑎) ∧ (𝑒𝑆𝑏 ∨ 𝑒 = 𝑏) ∧ (𝑓𝑇𝑐 ∨ 𝑓 = 𝑐)) ∧ (𝑑 ≠ 𝑎 ∨ 𝑒 ≠ 𝑏 ∨ 𝑓 ≠ 𝑐))) ↔ ((((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑𝑅𝑎) ∨ 𝑑 = 𝑎) ∧ ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒𝑆𝑏) ∨ 𝑒 = 𝑏) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐶 ∧ 𝑓𝑇𝑐) ∨ 𝑓 = 𝑐)) ∧ (𝑑 ≠ 𝑎 ∨ 𝑒 ≠ 𝑏 ∨ 𝑓 ≠ 𝑐))))) |
87 | 51, 86 | syl5ibrcom 246 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → (𝑞 = 〈𝑑, 𝑒, 𝑓〉 → (𝑞𝑈〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 ↔ 𝑞 ∈ ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉})))) |
88 | 87 | rexlimdva 3152 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵)) → (∃𝑓 ∈ 𝐶 𝑞 = 〈𝑑, 𝑒, 𝑓〉 → (𝑞𝑈〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 ↔ 𝑞 ∈ ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉})))) |
89 | 88 | rexlimdvva 3205 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → (∃𝑑 ∈ 𝐴 ∃𝑒 ∈ 𝐵 ∃𝑓 ∈ 𝐶 𝑞 = 〈𝑑, 𝑒, 𝑓〉 → (𝑞𝑈〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 ↔ 𝑞 ∈ ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉})))) |
90 | 33, 89 | biimtrid 241 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → (𝑞 ∈ ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶) → (𝑞𝑈〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 ↔ 𝑞 ∈ ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉})))) |
91 | 90 | pm5.32d 577 |
. . . . 5
⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → ((𝑞 ∈ ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶) ∧ 𝑞𝑈〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉) ↔ (𝑞 ∈ ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉})))) |
92 | | otex 5422 |
. . . . . 6
⊢
〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 ∈ V |
93 | | vex 3449 |
. . . . . . 7
⊢ 𝑞 ∈ V |
94 | 93 | elpred 6270 |
. . . . . 6
⊢
(〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 ∈ V → (𝑞 ∈ Pred(𝑈, ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶), 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉) ↔ (𝑞 ∈ ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶) ∧ 𝑞𝑈〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉))) |
95 | 92, 94 | ax-mp 5 |
. . . . 5
⊢ (𝑞 ∈ Pred(𝑈, ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶), 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉) ↔ (𝑞 ∈ ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶) ∧ 𝑞𝑈〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉)) |
96 | | elin 3926 |
. . . . 5
⊢ (𝑞 ∈ (((𝐴 × 𝐵) × 𝐶) ∩ ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉})) ↔ (𝑞 ∈ ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉}))) |
97 | 91, 95, 96 | 3bitr4g 313 |
. . . 4
⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → (𝑞 ∈ Pred(𝑈, ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶), 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉) ↔ 𝑞 ∈ (((𝐴 × 𝐵) × 𝐶) ∩ ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉})))) |
98 | 97 | eqrdv 2734 |
. . 3
⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → Pred(𝑈, ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶), 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉) = (((𝐴 × 𝐵) × 𝐶) ∩ ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉}))) |
99 | | predss 6261 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ⊆ 𝐴 |
100 | 99 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ⊆ 𝐴) |
101 | | snssi 4768 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {𝑎} ⊆ 𝐴) |
102 | 100, 101 | unssd 4146 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) ⊆ 𝐴) |
103 | 102 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) ⊆ 𝐴) |
104 | | predss 6261 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 |
105 | 104 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵) |
106 | | snssi 4768 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → {𝑏} ⊆ 𝐵) |
107 | 105, 106 | unssd 4146 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏}) ⊆ 𝐵) |
108 | 107 | 3ad2ant2 1134 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏}) ⊆ 𝐵) |
109 | | xpss12 5648 |
. . . . . . 7
⊢
(((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) ⊆ 𝐴 ∧ (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏}) ⊆ 𝐵) → ((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) ⊆ (𝐴 × 𝐵)) |
110 | 103, 108,
109 | syl2anc 584 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → ((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) ⊆ (𝐴 × 𝐵)) |
111 | | predss 6261 |
. . . . . . . . 9
⊢
Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ⊆ 𝐶 |
112 | 111 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑐 ∈ 𝐶 → Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ⊆ 𝐶) |
113 | | snssi 4768 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑐 ∈ 𝐶 → {𝑐} ⊆ 𝐶) |
114 | 112, 113 | unssd 4146 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑐 ∈ 𝐶 → (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐶) |
115 | 114 | 3ad2ant3 1135 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐶) |
116 | | xpss12 5648 |
. . . . . 6
⊢
((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐶) → (((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ⊆ ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶)) |
117 | 110, 115,
116 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → (((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ⊆ ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶)) |
118 | 117 | ssdifssd 4102 |
. . . 4
⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉}) ⊆ ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶)) |
119 | | sseqin2 4175 |
. . . 4
⊢
(((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉}) ⊆ ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶) ↔ (((𝐴 × 𝐵) × 𝐶) ∩ ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉})) = ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉})) |
120 | 118, 119 | sylib 217 |
. . 3
⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → (((𝐴 × 𝐵) × 𝐶) ∩ ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉})) = ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉})) |
121 | 98, 120 | eqtrd 2776 |
. 2
⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → Pred(𝑈, ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶), 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉) = ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑎) ∪ {𝑎}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑏) ∪ {𝑏})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑐) ∪ {𝑐})) ∖ {〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉})) |
122 | 11, 22, 32, 121 | vtocl3ga 3538 |
1
⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → Pred(𝑈, ((𝐴 × 𝐵) × 𝐶), 〈𝑋, 𝑌, 𝑍〉) = ((((Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ {𝑋}) × (Pred(𝑆, 𝐵, 𝑌) ∪ {𝑌})) × (Pred(𝑇, 𝐶, 𝑍) ∪ {𝑍})) ∖ {〈𝑋, 𝑌, 𝑍〉})) |