Theorem prproe 4834

Description: For an element of a proper unordered pair of elements of a class 𝑉, there is another (different) element of the class 𝑉 which is an element of the proper pair. (Contributed by AV, 18-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prproe	⊢ ((𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝐶})𝑣 ∈ {𝐴, 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵   𝑣,𝐶   𝑣,𝑉

Proof of Theorem prproe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 4580	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝐶 = 𝐴 ∨ 𝐶 = 𝐵))
2		simprrr 778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = 𝐴 ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		necom 2996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
4		neeq2 3006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → (𝐵 ≠ 𝐴 ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
5	4	eqcoms 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 = 𝐴 → (𝐵 ≠ 𝐴 ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
6	5	biimpcd 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → (𝐶 = 𝐴 → 𝐵 ≠ 𝐶))
7	3, 6	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → (𝐶 = 𝐴 → 𝐵 ≠ 𝐶))
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (𝐶 = 𝐴 → 𝐵 ≠ 𝐶))
9	8	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = 𝐴 ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))) → 𝐵 ≠ 𝐶)
10		eldifsn 4717	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
11	2, 9, 10	sylanbrc 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 = 𝐴 ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))) → 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐶}))
12		eleq1 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (𝑣 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}))
13	12	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 = 𝐴 ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))) ∧ 𝑣 = 𝐵) → (𝑣 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}))
14		prid2g 4694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
15	14	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
16	15	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 = 𝐴 ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
18	11, 13, 17	rspcedvd 3555	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 = 𝐴 ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝐶})𝑣 ∈ {𝐴, 𝐵})
19	18	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐶 = 𝐴 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝐶})𝑣 ∈ {𝐴, 𝐵}))
20		simprrl 777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = 𝐵 ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
21		neeq2 3006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
22	21	eqcoms 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = 𝐵 → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
23	22	biimpcd 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → (𝐶 = 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐶))
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (𝐶 = 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐶))
25	24	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = 𝐵 ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))) → 𝐴 ≠ 𝐶)
26		eldifsn 4717	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑉 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))
27	20, 25, 26	sylanbrc 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 = 𝐵 ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))) → 𝐴 ∈ (𝑉 ∖ {𝐶}))
28		eleq1 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (𝑣 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}))
29	28	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 = 𝐵 ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))) ∧ 𝑣 = 𝐴) → (𝑣 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}))
30		prid1g 4693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
32	31	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 = 𝐵 ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
34	27, 29, 33	rspcedvd 3555	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 = 𝐵 ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝐶})𝑣 ∈ {𝐴, 𝐵})
35	34	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐶 = 𝐵 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝐶})𝑣 ∈ {𝐴, 𝐵}))
36	19, 35	jaoi 853	. . 3 ⊢ ((𝐶 = 𝐴 ∨ 𝐶 = 𝐵) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝐶})𝑣 ∈ {𝐴, 𝐵}))
37	1, 36	syl 17	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝐶})𝑣 ∈ {𝐴, 𝐵}))
38	37	3impib 1114	1 ⊢ ((𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝐶})𝑣 ∈ {𝐴, 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3880  {csn 4558  {cpr 4560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-sn 4559  df-pr 4561

This theorem is referenced by:  edglnl  27416