Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  preimageiingt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem preimageiingt 46031
Description: A preimage of a left-closed, unbounded above interval, expressed as an indexed intersection of preimages of open, unbounded above intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
preimageiingt.x 𝑥𝜑
preimageiingt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
preimageiingt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
preimageiingt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐶𝐵} = 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝜑,𝑛   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem preimageiingt
StepHypRef Expression
1 preimageiingt.x . . . 4 𝑥𝜑
2 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥𝐴)
3 preimageiingt.c . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
43adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
5 nnrecre 12276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
65adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
74, 6resubcld 11664 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
87rexrd 11286 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
98ad4ant14 751 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
103rexrd 11286 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
1110ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
12 preimageiingt.b . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14 nnrp 13009 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
15 rpreccl 13024 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1716adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
184, 17ltsubrpd 13072 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐶)
1918ad4ant14 751 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐶)
20 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶𝐵)
219, 11, 13, 19, 20xrltletrd 13164 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵)
222, 21jca 511 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥𝐴 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵))
23 rabid 3447 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵))
2422, 23sylibr 233 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
2524ralrimiva 3141 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
26 vex 3473 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
27 eliin 4996 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
2925, 28sylibr 233 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
3029ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶𝐵𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}))
3130ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝐶𝐵𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})))
321, 31ralrimi 3249 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐶𝐵𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}))
33 nfcv 2898 . . . . 5 𝑥
34 nfrab1 3446 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}
3533, 34nfiin 5022 . . . 4 𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}
3635rabssf 44408 . . 3 ({𝑥𝐴𝐶𝐵} ⊆ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝐵𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}))
3732, 36sylibr 233 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐶𝐵} ⊆ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
38 nnn0 44683 . . . . 5 ℕ ≠ ∅
39 iinrab 5066 . . . . 5 (ℕ ≠ ∅ → 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} = {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
4038, 39ax-mp 5 . . . 4 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} = {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}
4140a1i 11 . . 3 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} = {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
428ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
4312ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵)
4542, 43, 44xrltled 13153 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
4645ex 412 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵 → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
4746ralimdva 3162 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
4847imp 406 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
49 nfv 1910 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝜑𝑥𝐴)
50 nfra1 3276 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵
5149, 50nfan 1895 . . . . . . . . 9 𝑛((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵)
523ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
5312adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5451, 52, 53xrralrecnnge 44695 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → (𝐶𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
5548, 54mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → 𝐶𝐵)
5655ex 412 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵𝐶𝐵))
5756ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵𝐶𝐵)))
581, 57ralrimi 3249 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵𝐶𝐵))
59 ss2rab 4064 . . . 4 ({𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ⊆ {𝑥𝐴𝐶𝐵} ↔ ∀𝑥𝐴 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵𝐶𝐵))
6058, 59sylibr 233 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ⊆ {𝑥𝐴𝐶𝐵})
6141, 60eqsstrd 4016 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ⊆ {𝑥𝐴𝐶𝐵})
6237, 61eqssd 3995 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐶𝐵} = 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  wne 2935  wral 3056  {crab 3427  Vcvv 3469  wss 3944  c0 4318   ciin 4992   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  cr 11129  1c1 11131  *cxr 11269   < clt 11270  cle 11271  cmin 11466   / cdiv 11893  cn 12234  +crp 12998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-fl 13781
This theorem is referenced by:  salpreimagtge  46036
  Copyright terms: Public domain W3C validator