Theorem preimageiingt 46167

Description: A preimage of a left-closed, unbounded above interval, expressed as an indexed intersection of preimages of open, unbounded above intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimageiingt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
preimageiingt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
preimageiingt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
preimageiingt	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵} = ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝜑,𝑛   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem preimageiingt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimageiingt.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		simpllr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3		preimageiingt.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
5		nnrecre 12279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
6	5	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
7	4, 6	resubcld 11667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
8	7	rexrd 11289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
9	8	ad4ant14 750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
10	3	rexrd 11289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
11	10	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
12		preimageiingt.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13	12	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14		nnrp 13012	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
15		rpreccl 13027	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
17	16	adantl 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
18	4, 17	ltsubrpd 13075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐶)
19	18	ad4ant14 750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐶)
20		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ≤ 𝐵)
21	9, 11, 13, 19, 20	xrltletrd 13167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵)
22	2, 21	jca 510	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵))
23		rabid 3440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵))
24	22, 23	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
25	24	ralrimiva 3136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
26		vex 3467	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
27		eliin 4997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
29	25, 28	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
30	29	ex 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 ≤ 𝐵 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}))
31	30	ex 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐶 ≤ 𝐵 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})))
32	1, 31	ralrimi 3245	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ≤ 𝐵 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}))
33		nfcv 2892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥ℕ
34		nfrab1 3439	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}
35	33, 34	nfiin 5023	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}
36	35	rabssf 44546	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵} ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ≤ 𝐵 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}))
37	32, 36	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵} ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
38		nnn0 44819	. . . . 5 ⊢ ℕ ≠ ∅
39		iinrab 5068	. . . . 5 ⊢ (ℕ ≠ ∅ → ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
40	38, 39	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}
41	40	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
42	8	ad4ant13 749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
43	12	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44		simpr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵)
45	42, 43, 44	xrltled 13156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
46	45	ex 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵 → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
47	46	ralimdva 3157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
48	47	imp 405	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
49		nfv 1909	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)
50		nfra1 3272	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵
51	49, 50	nfan 1894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵)
52	3	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
53	12	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
54	51, 52, 53	xrralrecnnge 44831	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → (𝐶 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
55	48, 54	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵)
56	55	ex 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵 → 𝐶 ≤ 𝐵))
57	56	ex 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵 → 𝐶 ≤ 𝐵)))
58	1, 57	ralrimi 3245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵 → 𝐶 ≤ 𝐵))
59		ss2rab 4061	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵 → 𝐶 ≤ 𝐵))
60	58, 59	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵})
61	41, 60	eqsstrd 4012	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵})
62	37, 61	eqssd 3991	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵} = ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3463   ⊆ wss 3941  ∅c0 4319  ∩ ciin 4993   class class class wbr 5144  (class class class)co 7413  ℝcr 11132  1c1 11134  ℝ^*cxr 11272   < clt 11273   ≤ cle 11274   − cmin 11469   / cdiv 11896  ℕcn 12237  ℝ⁺crp 13001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-fl 13784

This theorem is referenced by:  salpreimagtge  46172