Theorem preimageiingt 44144

Description: A preimage of a left-closed, unbounded above interval, expressed as an indexed intersection of preimages of open, unbounded above intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimageiingt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
preimageiingt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
preimageiingt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
preimageiingt	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵} = ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝜑,𝑛   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem preimageiingt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimageiingt.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		simpllr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3		preimageiingt.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
5		nnrecre 11945	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
6	5	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
7	4, 6	resubcld 11333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
8	7	rexrd 10956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
9	8	ad4ant14 748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
10	3	rexrd 10956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
11	10	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
12		preimageiingt.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13	12	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14		nnrp 12670	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
15		rpreccl 12685	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
18	4, 17	ltsubrpd 12733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐶)
19	18	ad4ant14 748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐶)
20		simplr 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ≤ 𝐵)
21	9, 11, 13, 19, 20	xrltletrd 12824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵)
22	2, 21	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵))
23		rabid 3304	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵))
24	22, 23	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
25	24	ralrimiva 3107	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
26		vex 3426	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
27		eliin 4926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
29	25, 28	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
30	29	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 ≤ 𝐵 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}))
31	30	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐶 ≤ 𝐵 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})))
32	1, 31	ralrimi 3139	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ≤ 𝐵 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}))
33		nfcv 2906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥ℕ
34		nfrab1 3310	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}
35	33, 34	nfiin 4952	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}
36	35	rabssf 42557	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵} ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ≤ 𝐵 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}))
37	32, 36	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵} ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
38		nnn0 42807	. . . . 5 ⊢ ℕ ≠ ∅
39		iinrab 4994	. . . . 5 ⊢ (ℕ ≠ ∅ → ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
40	38, 39	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}
41	40	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
42	8	ad4ant13 747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
43	12	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵)
45	42, 43, 44	xrltled 12813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
46	45	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵 → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
47	46	ralimdva 3102	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
48	47	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
49		nfv 1918	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)
50		nfra1 3142	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵
51	49, 50	nfan 1903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵)
52	3	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
53	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
54	51, 52, 53	xrralrecnnge 42820	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → (𝐶 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
55	48, 54	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵)
56	55	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵 → 𝐶 ≤ 𝐵))
57	56	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵 → 𝐶 ≤ 𝐵)))
58	1, 57	ralrimi 3139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵 → 𝐶 ≤ 𝐵))
59		ss2rab 4000	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵 → 𝐶 ≤ 𝐵))
60	58, 59	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵})
61	41, 60	eqsstrd 3955	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵})
62	37, 61	eqssd 3934	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵} = ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1787   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  {crab 3067  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  ∩ ciin 4922   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  1c1 10803  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℕcn 11903  ℝ⁺crp 12659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-fl 13440

This theorem is referenced by:  salpreimagtge  44148