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Theorem smfmullem4 45510
Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfmullem4.x β„²π‘₯πœ‘
smfmullem4.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfmullem4.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
smfmullem4.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
smfmullem4.d ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
smfmullem4.m (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
smfmullem4.n (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
smfmullem4.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
smfmullem4.k 𝐾 = {π‘ž ∈ (β„š ↑m (0...3)) ∣ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3))(𝑒 Β· 𝑣) < 𝑅}
smfmullem4.e 𝐸 = (π‘ž ∈ 𝐾 ↦ {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))})
Assertion
Ref Expression
smfmullem4 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆 β†Ύt (𝐴 ∩ 𝐢)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘ž,𝑒,𝑣,π‘₯   𝐡,π‘ž,𝑒,𝑣   𝐢,π‘ž,𝑒,𝑣,π‘₯   𝐷,π‘ž,𝑒,𝑣   𝐾,π‘ž,π‘₯   𝑅,π‘ž,𝑒,𝑣   𝑆,π‘ž   πœ‘,π‘ž,𝑒,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯,𝑣,𝑒)   𝐸(π‘₯,𝑣,𝑒,π‘ž)   𝐾(𝑣,𝑒)   𝑉(π‘₯,𝑣,𝑒,π‘ž)

Proof of Theorem smfmullem4
StepHypRef Expression
1 smfmullem4.x . . . . 5 β„²π‘₯πœ‘
2 smfmullem4.r . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
323ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∧ (𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
4 smfmullem4.k . . . . . . . . 9 𝐾 = {π‘ž ∈ (β„š ↑m (0...3)) ∣ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3))(𝑒 Β· 𝑣) < 𝑅}
5 inss1 4229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∩ 𝐢) βŠ† 𝐴
65a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐢) βŠ† 𝐴)
76sselda 3983 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
8 smfmullem4.b . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
97, 8syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1093adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∧ (𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
11 elinel2 4197 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
1211adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
13 smfmullem4.d . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
1412, 13syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢)) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
15143adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∧ (𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
16 simp3 1139 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∧ (𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅) β†’ (𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅)
17 eqid 2733 . . . . . . . . 9 ((𝑅 βˆ’ (𝐡 Β· 𝐷)) / (1 + ((absβ€˜π΅) + (absβ€˜π·)))) = ((𝑅 βˆ’ (𝐡 Β· 𝐷)) / (1 + ((absβ€˜π΅) + (absβ€˜π·))))
18 eqid 2733 . . . . . . . . 9 if(1 ≀ ((𝑅 βˆ’ (𝐡 Β· 𝐷)) / (1 + ((absβ€˜π΅) + (absβ€˜π·)))), 1, ((𝑅 βˆ’ (𝐡 Β· 𝐷)) / (1 + ((absβ€˜π΅) + (absβ€˜π·))))) = if(1 ≀ ((𝑅 βˆ’ (𝐡 Β· 𝐷)) / (1 + ((absβ€˜π΅) + (absβ€˜π·)))), 1, ((𝑅 βˆ’ (𝐡 Β· 𝐷)) / (1 + ((absβ€˜π΅) + (absβ€˜π·)))))
193, 4, 10, 15, 16, 17, 18smfmullem3 45509 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∧ (𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3))))
20 rabid 3453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))} ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∧ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))))
2120bicomi 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∧ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))) ↔ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))})
2221biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∧ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))) β†’ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))})
2322adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢)) ∧ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))) β†’ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))})
2423adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢)) ∧ π‘ž ∈ 𝐾) ∧ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))) β†’ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))})
25 smfmullem4.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐸 = (π‘ž ∈ 𝐾 ↦ {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))})
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (π‘ž ∈ 𝐾 ↦ {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))}))
27 inrab 4307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ 𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1))} ∩ {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3))}) = {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))}
28 smfmullem4.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
29 smfmullem4.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
3029, 6ssexd 5325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐢) ∈ V)
31 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑆 β†Ύt (𝐴 ∩ 𝐢)) = (𝑆 β†Ύt (𝐴 ∩ 𝐢))
3228, 30, 31subsalsal 45075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύt (𝐴 ∩ 𝐢)) ∈ SAlg)
3332adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ (𝑆 β†Ύt (𝐴 ∩ 𝐢)) ∈ SAlg)
34 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘₯ π‘ž ∈ 𝐾
351, 34nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾)
3628adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
3730adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ (𝐴 ∩ 𝐢) ∈ V)
389adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
39 smfmullem4.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
4028, 39, 6sssmfmpt 45466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ↦ 𝐡) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
4140adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ↦ 𝐡) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
42 ssrab2 4078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 {π‘ž ∈ (β„š ↑m (0...3)) ∣ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3))(𝑒 Β· 𝑣) < 𝑅} βŠ† (β„š ↑m (0...3))
434, 42eqsstri 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝐾 βŠ† (β„š ↑m (0...3))
44 reex 11201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ℝ ∈ V
45 qssre 12943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 β„š βŠ† ℝ
46 mapss 8883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((ℝ ∈ V ∧ β„š βŠ† ℝ) β†’ (β„š ↑m (0...3)) βŠ† (ℝ ↑m (0...3)))
4744, 45, 46mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (β„š ↑m (0...3)) βŠ† (ℝ ↑m (0...3))
4843, 47sstri 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐾 βŠ† (ℝ ↑m (0...3))
49 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘ž ∈ 𝐾 β†’ π‘ž ∈ 𝐾)
5048, 49sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘ž ∈ 𝐾 β†’ π‘ž ∈ (ℝ ↑m (0...3)))
5144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘ž ∈ 𝐾 β†’ ℝ ∈ V)
52 ovexd 7444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘ž ∈ 𝐾 β†’ (0...3) ∈ V)
5351, 52elmapd 8834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘ž ∈ 𝐾 β†’ (π‘ž ∈ (ℝ ↑m (0...3)) ↔ π‘ž:(0...3)βŸΆβ„))
5450, 53mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘ž ∈ 𝐾 β†’ π‘ž:(0...3)βŸΆβ„)
55 0z 12569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ β„€
56 3z 12595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 ∈ β„€
57 0re 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 0 ∈ ℝ
58 3re 12292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 ∈ ℝ
59 3pos 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 0 < 3
6057, 58, 59ltleii 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ≀ 3
6155, 56, 603pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0 ∈ β„€ ∧ 3 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 3)
62 eluz2 12828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (3 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ↔ (0 ∈ β„€ ∧ 3 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 3))
6361, 62mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 ∈ (β„€β‰₯β€˜0)
64 eluzfz1 13508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (3 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 0 ∈ (0...3))
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 ∈ (0...3)
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘ž ∈ 𝐾 β†’ 0 ∈ (0...3))
6754, 66ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘ž ∈ 𝐾 β†’ (π‘žβ€˜0) ∈ ℝ)
6867adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ (π‘žβ€˜0) ∈ ℝ)
6968rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ (π‘žβ€˜0) ∈ ℝ*)
70 0le1 11737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ≀ 1
71 1re 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1 ∈ ℝ
72 1lt3 12385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1 < 3
7371, 58, 72ltleii 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 ≀ 3
7470, 73pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 ≀ 1 ∧ 1 ≀ 3)
75 1z 12592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 ∈ β„€
76 elfz 13490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((1 ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€ ∧ 3 ∈ β„€) β†’ (1 ∈ (0...3) ↔ (0 ≀ 1 ∧ 1 ≀ 3)))
7775, 55, 56, 76mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 ∈ (0...3) ↔ (0 ≀ 1 ∧ 1 ≀ 3))
7874, 77mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ (0...3)
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘ž ∈ 𝐾 β†’ 1 ∈ (0...3))
8054, 79ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘ž ∈ 𝐾 β†’ (π‘žβ€˜1) ∈ ℝ)
8180adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ (π‘žβ€˜1) ∈ ℝ)
8281rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ (π‘žβ€˜1) ∈ ℝ*)
8335, 36, 37, 38, 41, 69, 82smfpimioompt 45502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ 𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1))} ∈ (𝑆 β†Ύt (𝐴 ∩ 𝐢)))
8414adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢)) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
85 smfmullem4.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
861, 12ssdf 43764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐢) βŠ† 𝐢)
8728, 85, 86sssmfmpt 45466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
8887adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
89 0le2 12314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ≀ 2
90 2re 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℝ
91 2lt3 12384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 < 3
9290, 58, 91ltleii 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ≀ 3
9389, 92pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 ≀ 2 ∧ 2 ≀ 3)
94 2z 12594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ β„€
95 elfz 13490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((2 ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€ ∧ 3 ∈ β„€) β†’ (2 ∈ (0...3) ↔ (0 ≀ 2 ∧ 2 ≀ 3)))
9694, 55, 56, 95mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 ∈ (0...3) ↔ (0 ≀ 2 ∧ 2 ≀ 3))
9793, 96mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ (0...3)
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘ž ∈ 𝐾 β†’ 2 ∈ (0...3))
9954, 98ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘ž ∈ 𝐾 β†’ (π‘žβ€˜2) ∈ ℝ)
10099adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ (π‘žβ€˜2) ∈ ℝ)
101100rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ (π‘žβ€˜2) ∈ ℝ*)
102 eluzfz2 13509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (3 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 3 ∈ (0...3))
10363, 102ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 ∈ (0...3)
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘ž ∈ 𝐾 β†’ 3 ∈ (0...3))
10554, 104ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘ž ∈ 𝐾 β†’ (π‘žβ€˜3) ∈ ℝ)
106105adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ (π‘žβ€˜3) ∈ ℝ)
107106rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ (π‘žβ€˜3) ∈ ℝ*)
10835, 36, 37, 84, 88, 101, 107smfpimioompt 45502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3))} ∈ (𝑆 β†Ύt (𝐴 ∩ 𝐢)))
10933, 83, 108salincld 45068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ ({π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ 𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1))} ∩ {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3))}) ∈ (𝑆 β†Ύt (𝐴 ∩ 𝐢)))
11027, 109eqeltrrid 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))} ∈ (𝑆 β†Ύt (𝐴 ∩ 𝐢)))
111110elexd 3495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))} ∈ V)
11226, 111fvmpt2d 7012 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ (πΈβ€˜π‘ž) = {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))})
113112eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))} = (πΈβ€˜π‘ž))
114113adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢)) ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))} = (πΈβ€˜π‘ž))
115114adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢)) ∧ π‘ž ∈ 𝐾) ∧ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))) β†’ {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))} = (πΈβ€˜π‘ž))
11624, 115eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢)) ∧ π‘ž ∈ 𝐾) ∧ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))) β†’ π‘₯ ∈ (πΈβ€˜π‘ž))
117116ex 414 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢)) ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ ((𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3))) β†’ π‘₯ ∈ (πΈβ€˜π‘ž)))
1181173adantl3 1169 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∧ (𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅) ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ ((𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3))) β†’ π‘₯ ∈ (πΈβ€˜π‘ž)))
119118reximdva 3169 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∧ (𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ (πΈβ€˜π‘ž)))
12019, 119mpd 15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∧ (𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ (πΈβ€˜π‘ž))
121 eliun 5002 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ βˆͺ π‘ž ∈ 𝐾 (πΈβ€˜π‘ž) ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ (πΈβ€˜π‘ž))
122120, 121sylibr 233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∧ (𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ π‘ž ∈ 𝐾 (πΈβ€˜π‘ž))
1231223exp 1120 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) β†’ ((𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅 β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ π‘ž ∈ 𝐾 (πΈβ€˜π‘ž))))
1241, 123ralrimi 3255 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢)((𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅 β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ π‘ž ∈ 𝐾 (πΈβ€˜π‘ž)))
12534nfci 2887 . . . . . 6 β„²π‘₯𝐾
126 nfrab1 3452 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))}
127125, 126nfmpt 5256 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(π‘ž ∈ 𝐾 ↦ {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))})
12825, 127nfcxfr 2902 . . . . . . 7 β„²π‘₯𝐸
129 nfcv 2904 . . . . . . 7 β„²π‘₯π‘ž
130128, 129nffv 6902 . . . . . 6 β„²π‘₯(πΈβ€˜π‘ž)
131125, 130nfiun 5028 . . . . 5 β„²π‘₯βˆͺ π‘ž ∈ 𝐾 (πΈβ€˜π‘ž)
132131rabssf 43808 . . . 4 ({π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅} βŠ† βˆͺ π‘ž ∈ 𝐾 (πΈβ€˜π‘ž) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢)((𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅 β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ π‘ž ∈ 𝐾 (πΈβ€˜π‘ž)))
133124, 132sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅} βŠ† βˆͺ π‘ž ∈ 𝐾 (πΈβ€˜π‘ž))
134 ssrab2 4078 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))} βŠ† (𝐴 ∩ 𝐢)
135112, 134eqsstrdi 4037 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ (πΈβ€˜π‘ž) βŠ† (𝐴 ∩ 𝐢))
136 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ (πΈβ€˜π‘ž)) β†’ π‘₯ ∈ (πΈβ€˜π‘ž))
137112adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ (πΈβ€˜π‘ž)) β†’ (πΈβ€˜π‘ž) = {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))})
138136, 137eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ (πΈβ€˜π‘ž)) β†’ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))})
139 rabidim2 43791 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))} β†’ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3))))
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ (πΈβ€˜π‘ž)) β†’ (𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3))))
141140simprd 497 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ (πΈβ€˜π‘ž)) β†’ 𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)))
142140simpld 496 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ (πΈβ€˜π‘ž)) β†’ 𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)))
14349, 4eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž ∈ 𝐾 β†’ π‘ž ∈ {π‘ž ∈ (β„š ↑m (0...3)) ∣ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3))(𝑒 Β· 𝑣) < 𝑅})
144 rabidim2 43791 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž ∈ {π‘ž ∈ (β„š ↑m (0...3)) ∣ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3))(𝑒 Β· 𝑣) < 𝑅} β†’ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3))(𝑒 Β· 𝑣) < 𝑅)
145143, 144syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž ∈ 𝐾 β†’ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3))(𝑒 Β· 𝑣) < 𝑅)
146145ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ (πΈβ€˜π‘ž)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3))(𝑒 Β· 𝑣) < 𝑅)
147 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = 𝐡 β†’ (𝑒 Β· 𝑣) = (𝐡 Β· 𝑣))
148147breq1d 5159 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 𝐡 β†’ ((𝑒 Β· 𝑣) < 𝑅 ↔ (𝐡 Β· 𝑣) < 𝑅))
149148ralbidv 3178 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝐡 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3))(𝑒 Β· 𝑣) < 𝑅 ↔ βˆ€π‘£ ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3))(𝐡 Β· 𝑣) < 𝑅))
150149rspcva 3611 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1)) ∧ βˆ€π‘’ ∈ ((π‘žβ€˜0)(,)(π‘žβ€˜1))βˆ€π‘£ ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3))(𝑒 Β· 𝑣) < 𝑅) β†’ βˆ€π‘£ ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3))(𝐡 Β· 𝑣) < 𝑅)
151142, 146, 150syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ (πΈβ€˜π‘ž)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3))(𝐡 Β· 𝑣) < 𝑅)
152 oveq2 7417 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝐷 β†’ (𝐡 Β· 𝑣) = (𝐡 Β· 𝐷))
153152breq1d 5159 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝐷 β†’ ((𝐡 Β· 𝑣) < 𝑅 ↔ (𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅))
154153rspcva 3611 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3)) ∧ βˆ€π‘£ ∈ ((π‘žβ€˜2)(,)(π‘žβ€˜3))(𝐡 Β· 𝑣) < 𝑅) β†’ (𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅)
155141, 151, 154syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ (πΈβ€˜π‘ž)) β†’ (𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅)
156155ex 414 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ (πΈβ€˜π‘ž) β†’ (𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅))
15735, 156ralrimi 3255 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (πΈβ€˜π‘ž)(𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅)
158135, 157jca 513 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ ((πΈβ€˜π‘ž) βŠ† (𝐴 ∩ 𝐢) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (πΈβ€˜π‘ž)(𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅))
159 nfcv 2904 . . . . . 6 β„²π‘₯(𝐴 ∩ 𝐢)
160130, 159ssrabf 43803 . . . . 5 ((πΈβ€˜π‘ž) βŠ† {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅} ↔ ((πΈβ€˜π‘ž) βŠ† (𝐴 ∩ 𝐢) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (πΈβ€˜π‘ž)(𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅))
161158, 160sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ (πΈβ€˜π‘ž) βŠ† {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅})
162161iunssd 5054 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘ž ∈ 𝐾 (πΈβ€˜π‘ž) βŠ† {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅})
163133, 162eqssd 4000 . 2 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅} = βˆͺ π‘ž ∈ 𝐾 (πΈβ€˜π‘ž))
164 ovex 7442 . . . . . . 7 (β„š ↑m (0...3)) ∈ V
165 ssdomg 8996 . . . . . . 7 ((β„š ↑m (0...3)) ∈ V β†’ (𝐾 βŠ† (β„š ↑m (0...3)) β†’ 𝐾 β‰Ό (β„š ↑m (0...3))))
166164, 165ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐾 βŠ† (β„š ↑m (0...3)) β†’ 𝐾 β‰Ό (β„š ↑m (0...3)))
16743, 166ax-mp 5 . . . . 5 𝐾 β‰Ό (β„š ↑m (0...3))
168 qct 44072 . . . . . . . 8 β„š β‰Ό Ο‰
169168a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ β„š β‰Ό Ο‰)
170 fzfid 13938 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (0...3) ∈ Fin)
171169, 170mpct 43900 . . . . . 6 (⊀ β†’ (β„š ↑m (0...3)) β‰Ό Ο‰)
172171mptru 1549 . . . . 5 (β„š ↑m (0...3)) β‰Ό Ο‰
173 domtr 9003 . . . . 5 ((𝐾 β‰Ό (β„š ↑m (0...3)) ∧ (β„š ↑m (0...3)) β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐾 β‰Ό Ο‰)
174167, 172, 173mp2an 691 . . . 4 𝐾 β‰Ό Ο‰
175174a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰Ό Ο‰)
176110, 25fmptd 7114 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸:𝐾⟢(𝑆 β†Ύt (𝐴 ∩ 𝐢)))
177176ffvelcdmda 7087 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐾) β†’ (πΈβ€˜π‘ž) ∈ (𝑆 β†Ύt (𝐴 ∩ 𝐢)))
17832, 175, 177saliuncl 45039 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘ž ∈ 𝐾 (πΈβ€˜π‘ž) ∈ (𝑆 β†Ύt (𝐴 ∩ 𝐢)))
179163, 178eqeltrd 2834 1 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐢) ∣ (𝐡 Β· 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆 β†Ύt (𝐴 ∩ 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Ο‰com 7855   ↑m cmap 8820   β‰Ό cdom 8937  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  3c3 12268  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„šcq 12932  (,)cioo 13324  ...cfz 13484  abscabs 15181   β†Ύt crest 17366  SAlgcsalg 45024  SMblFncsmblfn 45411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-s3 14800  df-s4 14801  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-rest 17368  df-salg 45025  df-smblfn 45412
This theorem is referenced by:  smfmul  45511
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