Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfmullem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfmullem4 41644
Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfmullem4.x 𝑥𝜑
smfmullem4.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfmullem4.a (𝜑𝐴𝑉)
smfmullem4.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfmullem4.d ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfmullem4.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfmullem4.n (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfmullem4.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
smfmullem4.k 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
smfmullem4.e 𝐸 = (𝑞𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
Assertion
Ref Expression
smfmullem4 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑢,𝑣,𝑥   𝐵,𝑞,𝑢,𝑣   𝐶,𝑞,𝑢,𝑣,𝑥   𝐷,𝑞,𝑢,𝑣   𝐾,𝑞,𝑥   𝑅,𝑞,𝑢,𝑣   𝑆,𝑞   𝜑,𝑞,𝑢,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑣,𝑢)   𝐸(𝑥,𝑣,𝑢,𝑞)   𝐾(𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑣,𝑢,𝑞)

Proof of Theorem smfmullem4
StepHypRef Expression
1 smfmullem4.x . . . . 5 𝑥𝜑
2 smfmullem4.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
323ad2ant1 1163 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
4 smfmullem4.k . . . . . . . . 9 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
5 inss1 3994 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴
65a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴)
76sselda 3763 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐴)
8 smfmullem4.b . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
97, 8syldan 585 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1093adant3 1162 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 elinel2 3964 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐶)
1211adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐶)
13 smfmullem4.d . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
1412, 13syldan 585 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
15143adant3 1162 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝐷 ∈ ℝ)
16 simp3 1168 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
17 eqid 2765 . . . . . . . . 9 ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))) = ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷))))
18 eqid 2765 . . . . . . . . 9 if(1 ≤ ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))), 1, ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷))))) = if(1 ≤ ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))), 1, ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))))
193, 4, 10, 15, 16, 17, 18smfmullem3 41643 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → ∃𝑞𝐾 (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
20 rabid 3263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ↔ (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
2120bicomi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
2221biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
2322adantll 705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
2423adantlr 706 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) ∧ 𝑞𝐾) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
25 smfmullem4.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐸 = (𝑞𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 = (𝑞𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}))
27 inrab 4065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))}) = {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}
28 smfmullem4.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
29 smfmullem4.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐴𝑉)
3029, 6ssexd 4968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ V)
31 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑆t (𝐴𝐶)) = (𝑆t (𝐴𝐶))
3228, 30, 31subsalsal 41217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑆t (𝐴𝐶)) ∈ SAlg)
3332adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑆t (𝐴𝐶)) ∈ SAlg)
34 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 𝑞𝐾
351, 34nfan 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(𝜑𝑞𝐾)
3628adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐾) → 𝑆 ∈ SAlg)
3730adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝐴𝐶) ∈ V)
389adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39 smfmullem4.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4028, 39, 6sssmfmpt 41602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4140adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
42 ssrab2 3849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 {𝑞 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅} ⊆ (ℚ ↑𝑚 (0...3))
434, 42eqsstri 3797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝐾 ⊆ (ℚ ↑𝑚 (0...3))
44 reex 10282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ℝ ∈ V
45 qssre 12002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ℚ ⊆ ℝ
46 mapss 8107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ⊆ (ℝ ↑𝑚 (0...3)))
4744, 45, 46mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ⊆ (ℝ ↑𝑚 (0...3))
4843, 47sstri 3772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐾 ⊆ (ℝ ↑𝑚 (0...3))
49 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑞𝐾𝑞𝐾)
5048, 49sseldi 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑞𝐾𝑞 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...3)))
5144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑞𝐾 → ℝ ∈ V)
52 ovexd 6878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑞𝐾 → (0...3) ∈ V)
5351, 52elmapd 8076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑞𝐾 → (𝑞 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...3)) ↔ 𝑞:(0...3)⟶ℝ))
5450, 53mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞𝐾𝑞:(0...3)⟶ℝ)
55 0z 11637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ ℤ
56 3z 11660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 ∈ ℤ
57 0re 10297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 0 ∈ ℝ
58 3re 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 ∈ ℝ
59 3pos 11386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 0 < 3
6057, 58, 59ltleii 10416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ≤ 3
6155, 56, 603pm3.2i 1438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3)
62 eluz2 11895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (3 ∈ (ℤ‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
6361, 62mpbir 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 ∈ (ℤ‘0)
64 eluzfz1 12558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (3 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...3))
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 ∈ (0...3)
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞𝐾 → 0 ∈ (0...3))
6754, 66ffvelrnd 6552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞𝐾 → (𝑞‘0) ∈ ℝ)
6867adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑞‘0) ∈ ℝ)
6968rexrd 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑞‘0) ∈ ℝ*)
70 0le1 10807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ≤ 1
71 1re 10295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1 ∈ ℝ
72 1lt3 11453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1 < 3
7371, 58, 72ltleii 10416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 ≤ 3
7470, 73pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3)
75 1z 11657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 ∈ ℤ
76 elfz 12542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (1 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3)))
7775, 55, 56, 76mp3an 1585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3))
7874, 77mpbir 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ (0...3)
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞𝐾 → 1 ∈ (0...3))
8054, 79ffvelrnd 6552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞𝐾 → (𝑞‘1) ∈ ℝ)
8180adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑞‘1) ∈ ℝ)
8281rexrd 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑞‘1) ∈ ℝ*)
8335, 36, 37, 38, 41, 69, 82smfpimioompt 41636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑞𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
8414adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
85 smfmullem4.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
861, 12ssdf 39901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝐶)
8728, 85, 86sssmfmpt 41602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
8887adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
89 0le2 11383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ≤ 2
90 2re 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℝ
91 2lt3 11452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 < 3
9290, 58, 91ltleii 10416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ≤ 3
9389, 92pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 3)
94 2z 11659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℤ
95 elfz 12542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 3)))
9694, 55, 56, 95mp3an 1585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 3))
9793, 96mpbir 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ (0...3)
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞𝐾 → 2 ∈ (0...3))
9954, 98ffvelrnd 6552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞𝐾 → (𝑞‘2) ∈ ℝ)
10099adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑞‘2) ∈ ℝ)
101100rexrd 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑞‘2) ∈ ℝ*)
102 eluzfz2 12559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (3 ∈ (ℤ‘0) → 3 ∈ (0...3))
10363, 102ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 ∈ (0...3)
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞𝐾 → 3 ∈ (0...3))
10554, 104ffvelrnd 6552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞𝐾 → (𝑞‘3) ∈ ℝ)
106105adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑞‘3) ∈ ℝ)
107106rexrd 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑞‘3) ∈ ℝ*)
10835, 36, 37, 84, 88, 101, 107smfpimioompt 41636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑞𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
10933, 83, 108salincld 41210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑞𝐾) → ({𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))}) ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
11027, 109syl5eqelr 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑞𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
111110elexd 3367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑞𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ∈ V)
11226, 111fvmpt2d 6484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝐸𝑞) = {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
113112eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} = (𝐸𝑞))
114113adantlr 706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) ∧ 𝑞𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} = (𝐸𝑞))
115114adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) ∧ 𝑞𝐾) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} = (𝐸𝑞))
11624, 115eleqtrd 2846 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) ∧ 𝑞𝐾) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑞))
117116ex 401 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) ∧ 𝑞𝐾) → ((𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)))
1181173adantl3 1209 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) ∧ 𝑞𝐾) → ((𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)))
119118reximdva 3163 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → (∃𝑞𝐾 (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))) → ∃𝑞𝐾 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)))
12019, 119mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → ∃𝑞𝐾 𝑥 ∈ (𝐸𝑞))
121 eliun 4682 . . . . . . 7 (𝑥 𝑞𝐾 (𝐸𝑞) ↔ ∃𝑞𝐾 𝑥 ∈ (𝐸𝑞))
122120, 121sylibr 225 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝑥 𝑞𝐾 (𝐸𝑞))
1231223exp 1148 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → ((𝐵 · 𝐷) < 𝑅𝑥 𝑞𝐾 (𝐸𝑞))))
1241, 123ralrimi 3104 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐶)((𝐵 · 𝐷) < 𝑅𝑥 𝑞𝐾 (𝐸𝑞)))
12534nfci 2897 . . . . . 6 𝑥𝐾
126 nfrab1 3270 . . . . . . . . 9 𝑥{𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}
127125, 126nfmpt 4907 . . . . . . . 8 𝑥(𝑞𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
12825, 127nfcxfr 2905 . . . . . . 7 𝑥𝐸
129 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑥𝑞
130128, 129nffv 6387 . . . . . 6 𝑥(𝐸𝑞)
131125, 130nfiun 4706 . . . . 5 𝑥 𝑞𝐾 (𝐸𝑞)
132131rabssf 39955 . . . 4 ({𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ⊆ 𝑞𝐾 (𝐸𝑞) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐶)((𝐵 · 𝐷) < 𝑅𝑥 𝑞𝐾 (𝐸𝑞)))
133124, 132sylibr 225 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ⊆ 𝑞𝐾 (𝐸𝑞))
134 ssrab2 3849 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ⊆ (𝐴𝐶)
135112, 134syl6eqss 3817 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝐸𝑞) ⊆ (𝐴𝐶))
136 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑞))
137112adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → (𝐸𝑞) = {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
138136, 137eleqtrd 2846 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
139 rabidim2 39937 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} → (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
141140simprd 489 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))
142140simpld 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)))
14349, 4syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞𝐾𝑞 ∈ {𝑞 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅})
144 rabidim2 39937 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ {𝑞 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅} → ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅)
145143, 144syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑞𝐾 → ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅)
146145ad2antlr 718 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅)
147 oveq1 6851 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝐵 → (𝑢 · 𝑣) = (𝐵 · 𝑣))
148147breq1d 4821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝐵 → ((𝑢 · 𝑣) < 𝑅 ↔ (𝐵 · 𝑣) < 𝑅))
149148ralbidv 3133 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝐵 → (∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅 ↔ ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅))
150149rspcva 3460 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅) → ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅)
151142, 146, 150syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅)
152 oveq2 6852 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝐷 → (𝐵 · 𝑣) = (𝐵 · 𝐷))
153152breq1d 4821 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝐷 → ((𝐵 · 𝑣) < 𝑅 ↔ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
154153rspcva 3460 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)) ∧ ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
155141, 151, 154syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
156155ex 401 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑥 ∈ (𝐸𝑞) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
15735, 156ralrimi 3104 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐾) → ∀𝑥 ∈ (𝐸𝑞)(𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
158135, 157jca 507 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐾) → ((𝐸𝑞) ⊆ (𝐴𝐶) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐸𝑞)(𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
159 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑥(𝐴𝐶)
160130, 159ssrabf 39951 . . . . 5 ((𝐸𝑞) ⊆ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ↔ ((𝐸𝑞) ⊆ (𝐴𝐶) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐸𝑞)(𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
161158, 160sylibr 225 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝐸𝑞) ⊆ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅})
162161iunssd 39925 . . 3 (𝜑 𝑞𝐾 (𝐸𝑞) ⊆ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅})
163133, 162eqssd 3780 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} = 𝑞𝐾 (𝐸𝑞))
164 ovex 6876 . . . . . . 7 (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∈ V
165 ssdomg 8208 . . . . . . 7 ((ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∈ V → (𝐾 ⊆ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) → 𝐾 ≼ (ℚ ↑𝑚 (0...3))))
166164, 165ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐾 ⊆ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) → 𝐾 ≼ (ℚ ↑𝑚 (0...3)))
16743, 166ax-mp 5 . . . . 5 𝐾 ≼ (ℚ ↑𝑚 (0...3))
168 qct 40219 . . . . . . . 8 ℚ ≼ ω
169168a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ℚ ≼ ω)
170 fzfid 12983 . . . . . . 7 (⊤ → (0...3) ∈ Fin)
171169, 170mpct 40041 . . . . . 6 (⊤ → (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ≼ ω)
172171mptru 1660 . . . . 5 (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ≼ ω
173 domtr 8215 . . . . 5 ((𝐾 ≼ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∧ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ≼ ω) → 𝐾 ≼ ω)
174167, 172, 173mp2an 683 . . . 4 𝐾 ≼ ω
175174a1i 11 . . 3 (𝜑𝐾 ≼ ω)
176110, 25fmptd 6576 . . . 4 (𝜑𝐸:𝐾⟶(𝑆t (𝐴𝐶)))
177176ffvelrnda 6551 . . 3 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝐸𝑞) ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
17832, 175, 177saliuncl 41182 . 2 (𝜑 𝑞𝐾 (𝐸𝑞) ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
179163, 178eqeltrd 2844 1 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wtru 1653  wnf 1878  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  Vcvv 3350  cin 3733  wss 3734  ifcif 4245   ciun 4678   class class class wbr 4811  cmpt 4890  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6844  ωcom 7265  𝑚 cmap 8062  cdom 8160  cr 10190  0cc0 10191  1c1 10192   + caddc 10194   · cmul 10196   < clt 10330  cle 10331  cmin 10522   / cdiv 10940  2c2 11329  3c3 11330  cz 11626  cuz 11889  cq 11992  (,)cioo 12380  ...cfz 12536  abscabs 14262  t crest 16350  SAlgcsalg 41168  SMblFncsmblfn 41552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cc 9512  ax-ac2 9540  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-oadd 7770  df-omul 7771  df-er 7949  df-map 8064  df-pm 8065  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-sup 8557  df-inf 8558  df-oi 8624  df-card 9018  df-acn 9021  df-ac 9192  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-fl 12804  df-seq 13012  df-exp 13071  df-hash 13325  df-word 13490  df-concat 13545  df-s1 13570  df-s2 13880  df-s3 13881  df-s4 13882  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-rest 16352  df-salg 41169  df-smblfn 41553
This theorem is referenced by:  smfmul  41645
  Copyright terms: Public domain W3C validator