Theorem smfmullem4 43426

Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfmullem4.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfmullem4.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfmullem4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfmullem4.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfmullem4.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfmullem4.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfmullem4.n	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfmullem4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
smfmullem4.k	⊢ 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
smfmullem4.e	⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ 𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})

Assertion

Ref	Expression
smfmullem4	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑢,𝑣,𝑥   𝐵,𝑞,𝑢,𝑣   𝐶,𝑞,𝑢,𝑣,𝑥   𝐷,𝑞,𝑢,𝑣   𝐾,𝑞,𝑥   𝑅,𝑞,𝑢,𝑣   𝑆,𝑞   𝜑,𝑞,𝑢,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑣,𝑢)   𝐸(𝑥,𝑣,𝑢,𝑞)   𝐾(𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑣,𝑢,𝑞)

Proof of Theorem smfmullem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfmullem4.x	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		smfmullem4.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
3	2	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
4		smfmullem4.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
5		inss1 4155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴)
7	6	sselda 3915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
8		smfmullem4.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	7, 8	syldan 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	3adant3 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		elinel2 4123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
12	11	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
13		smfmullem4.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
14	12, 13	syldan 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
15	14	3adant3 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝐷 ∈ ℝ)
16		simp3 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
17		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))) = ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷))))
18		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ if(1 ≤ ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))), 1, ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷))))) = if(1 ≤ ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))), 1, ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))))
19	3, 4, 10, 15, 16, 17, 18	smfmullem3 43425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
20		rabid 3331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
21	20	bicomi 227	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
22	21	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
23	22	adantll 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
24	23	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
25		smfmullem4.e	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ 𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑞 ∈ 𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}))
27		inrab 4227	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))}) = {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}
28		smfmullem4.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
29		smfmullem4.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
30	29, 6	ssexd 5192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ V)
31		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) = (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶))
32	28, 30, 31	subsalsal 42999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ SAlg)
33	32	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ SAlg)
34		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑞 ∈ 𝐾
35	1, 34	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾)
36	28	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → 𝑆 ∈ SAlg)
37	30	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ V)
38	9	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39		smfmullem4.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
40	28, 39, 6	sssmfmpt 43384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
41	40	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
42		ssrab2 4007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅} ⊆ (ℚ ↑m (0...3))
43	4, 42	eqsstri 3949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝐾 ⊆ (ℚ ↑m (0...3))
44		reex 10617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ℝ ∈ V
45		qssre 12346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
46		mapss 8436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (ℚ ↑m (0...3)) ⊆ (ℝ ↑m (0...3)))
47	44, 45, 46	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (ℚ ↑m (0...3)) ⊆ (ℝ ↑m (0...3))
48	43, 47	sstri 3924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐾 ⊆ (ℝ ↑m (0...3))
49		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 𝑞 ∈ 𝐾)
50	48, 49	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 𝑞 ∈ (ℝ ↑m (0...3)))
51	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → ℝ ∈ V)
52		ovexd 7170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → (0...3) ∈ V)
53	51, 52	elmapd 8403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → (𝑞 ∈ (ℝ ↑m (0...3)) ↔ 𝑞:(0...3)⟶ℝ))
54	50, 53	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 𝑞:(0...3)⟶ℝ)
55		0z 11980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 0 ∈ ℤ
56		3z 12003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 3 ∈ ℤ
57		0re 10632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 0 ∈ ℝ
58		3re 11705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 3 ∈ ℝ
59		3pos 11730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 0 < 3
60	57, 58, 59	ltleii 10752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 0 ≤ 3
61	55, 56, 60	3pm3.2i 1336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3)
62		eluz2 12237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
63	61, 62	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
64		eluzfz1 12909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...3))
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ∈ (0...3)
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 0 ∈ (0...3))
67	54, 66	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → (𝑞‘0) ∈ ℝ)
68	67	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘0) ∈ ℝ)
69	68	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘0) ∈ ℝ*)
70		0le1 11152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 ≤ 1
71		1re 10630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 1 ∈ ℝ
72		1lt3 11798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 1 < 3
73	71, 58, 72	ltleii 10752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 1 ≤ 3
74	70, 73	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3)
75		1z 12000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 1 ∈ ℤ
76		elfz 12891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (1 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3)))
77	75, 55, 56, 76	mp3an 1458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3))
78	74, 77	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ (0...3)
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 1 ∈ (0...3))
80	54, 79	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → (𝑞‘1) ∈ ℝ)
81	80	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘1) ∈ ℝ)
82	81	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘1) ∈ ℝ*)
83	35, 36, 37, 38, 41, 69, 82	smfpimioompt 43418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
84	14	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
85		smfmullem4.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
86	1, 12	ssdf 41711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶)
87	28, 85, 86	sssmfmpt 43384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
88	87	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
89		0le2 11727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 ≤ 2
90		2re 11699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ∈ ℝ
91		2lt3 11797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 < 3
92	90, 58, 91	ltleii 10752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ≤ 3
93	89, 92	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 3)
94		2z 12002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℤ
95		elfz 12891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 3)))
96	94, 55, 56, 95	mp3an 1458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 3))
97	93, 96	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ (0...3)
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 2 ∈ (0...3))
99	54, 98	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → (𝑞‘2) ∈ ℝ)
100	99	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘2) ∈ ℝ)
101	100	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘2) ∈ ℝ*)
102		eluzfz2 12910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) → 3 ∈ (0...3))
103	63, 102	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 3 ∈ (0...3)
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 3 ∈ (0...3))
105	54, 104	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → (𝑞‘3) ∈ ℝ)
106	105	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘3) ∈ ℝ)
107	106	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘3) ∈ ℝ*)
108	35, 36, 37, 84, 88, 101, 107	smfpimioompt 43418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
109	33, 83, 108	salincld 42992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → ({𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))}) ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
110	27, 109	eqeltrrid 2895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
111	110	elexd 3461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ∈ V)
112	26, 111	fvmpt2d 6758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝐸‘𝑞) = {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
113	112	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} = (𝐸‘𝑞))
114	113	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} = (𝐸‘𝑞))
115	114	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} = (𝐸‘𝑞))
116	24, 115	eleqtrd 2892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞))
117	116	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → ((𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))) → 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)))
118	117	3adantl3 1165	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → ((𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))) → 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)))
119	118	reximdva 3233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → (∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)))
120	19, 119	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞))
121		eliun 4885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐾 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞))
122	120, 121	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞))
123	122	3exp 1116	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → ((𝐵 · 𝐷) < 𝑅 → 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞))))
124	1, 123	ralrimi 3180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)((𝐵 · 𝐷) < 𝑅 → 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞)))
125	34	nfci 2939	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐾
126		nfrab1 3337	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}
127	125, 126	nfmpt 5127	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑞 ∈ 𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
128	25, 127	nfcxfr 2953	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐸
129		nfcv 2955	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑞
130	128, 129	nffv 6655	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐸‘𝑞)
131	125, 130	nfiun 4911	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞)
132	131	rabssf 41754	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ⊆ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)((𝐵 · 𝐷) < 𝑅 → 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞)))
133	124, 132	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ⊆ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞))
134		ssrab2 4007	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶)
135	112, 134	eqsstrdi 3969	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝐸‘𝑞) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶))
136		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞))
137	112	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → (𝐸‘𝑞) = {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
138	136, 137	eleqtrd 2892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
139		rabidim2 41738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} → (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
141	140	simprd 499	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))
142	140	simpld 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)))
143	49, 4	eleqtrdi 2900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 𝑞 ∈ {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅})
144		rabidim2 41738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅} → ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅)
145	143, 144	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅)
146	145	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅)
147		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → (𝑢 · 𝑣) = (𝐵 · 𝑣))
148	147	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → ((𝑢 · 𝑣) < 𝑅 ↔ (𝐵 · 𝑣) < 𝑅))
149	148	ralbidv 3162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → (∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅 ↔ ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅))
150	149	rspcva 3569	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅) → ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅)
151	142, 146, 150	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅)
152		oveq2 7143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝐷 → (𝐵 · 𝑣) = (𝐵 · 𝐷))
153	152	breq1d 5040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝐷 → ((𝐵 · 𝑣) < 𝑅 ↔ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
154	153	rspcva 3569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)) ∧ ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
155	141, 151, 154	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
156	155	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
157	35, 156	ralrimi 3180	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → ∀𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)(𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
158	135, 157	jca 515	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → ((𝐸‘𝑞) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)(𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
159		nfcv 2955	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∩ 𝐶)
160	130, 159	ssrabf 41750	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘𝑞) ⊆ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ↔ ((𝐸‘𝑞) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)(𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
161	158, 160	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝐸‘𝑞) ⊆ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅})
162	161	iunssd 4937	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞) ⊆ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅})
163	133, 162	eqssd 3932	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} = ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞))
164		ovex 7168	. . . . . . 7 ⊢ (ℚ ↑m (0...3)) ∈ V
165		ssdomg 8538	. . . . . . 7 ⊢ ((ℚ ↑m (0...3)) ∈ V → (𝐾 ⊆ (ℚ ↑m (0...3)) → 𝐾 ≼ (ℚ ↑m (0...3))))
166	164, 165	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ⊆ (ℚ ↑m (0...3)) → 𝐾 ≼ (ℚ ↑m (0...3)))
167	43, 166	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ≼ (ℚ ↑m (0...3))
168		qct 41994	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ≼ ω
169	168	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℚ ≼ ω)
170		fzfid 13336	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (0...3) ∈ Fin)
171	169, 170	mpct 41830	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℚ ↑m (0...3)) ≼ ω)
172	171	mptru 1545	. . . . 5 ⊢ (ℚ ↑m (0...3)) ≼ ω
173		domtr 8545	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ≼ (ℚ ↑m (0...3)) ∧ (ℚ ↑m (0...3)) ≼ ω) → 𝐾 ≼ ω)
174	167, 172, 173	mp2an 691	. . . 4 ⊢ 𝐾 ≼ ω
175	174	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
176	110, 25	fmptd 6855	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐾⟶(𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
177	176	ffvelrnda 6828	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝐸‘𝑞) ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
178	32, 175, 177	saliuncl 42964	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞) ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
179	163, 178	eqeltrd 2890	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ⊤wtru 1539  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110  Vcvv 3441   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ifcif 4425  ∪ ciun 4881   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ωcom 7560   ↑_m cmap 8389   ≼ cdom 8490  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859   / cdiv 11286  2c2 11680  3c3 11681  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ℚcq 12336  (,)cioo 12726  ...cfz 12885  abscabs 14585   ↾_t crest 16686  SAlgcsalg 42950  SMblFncsmblfn 43334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cc 9846  ax-ac2 9874  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-acn 9355  df-ac 9527  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-s2 14201  df-s3 14202  df-s4 14203  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-rest 16688  df-salg 42951  df-smblfn 43335

This theorem is referenced by:  smfmul  43427