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Theorem smfmullem4 43366
Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfmullem4.x 𝑥𝜑
smfmullem4.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfmullem4.a (𝜑𝐴𝑉)
smfmullem4.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfmullem4.d ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfmullem4.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfmullem4.n (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfmullem4.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
smfmullem4.k 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
smfmullem4.e 𝐸 = (𝑞𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
Assertion
Ref Expression
smfmullem4 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑢,𝑣,𝑥   𝐵,𝑞,𝑢,𝑣   𝐶,𝑞,𝑢,𝑣,𝑥   𝐷,𝑞,𝑢,𝑣   𝐾,𝑞,𝑥   𝑅,𝑞,𝑢,𝑣   𝑆,𝑞   𝜑,𝑞,𝑢,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑣,𝑢)   𝐸(𝑥,𝑣,𝑢,𝑞)   𝐾(𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑣,𝑢,𝑞)

Proof of Theorem smfmullem4
StepHypRef Expression
1 smfmullem4.x . . . . 5 𝑥𝜑
2 smfmullem4.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
323ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
4 smfmullem4.k . . . . . . . . 9 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
5 inss1 4179 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴
65a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴)
76sselda 3942 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐴)
8 smfmullem4.b . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
97, 8syldan 594 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1093adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 elinel2 4147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐶)
1211adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐶)
13 smfmullem4.d . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
1412, 13syldan 594 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
15143adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝐷 ∈ ℝ)
16 simp3 1135 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
17 eqid 2822 . . . . . . . . 9 ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))) = ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷))))
18 eqid 2822 . . . . . . . . 9 if(1 ≤ ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))), 1, ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷))))) = if(1 ≤ ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))), 1, ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))))
193, 4, 10, 15, 16, 17, 18smfmullem3 43365 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → ∃𝑞𝐾 (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
20 rabid 3359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ↔ (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
2120bicomi 227 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
2221biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
2322adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
2423adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) ∧ 𝑞𝐾) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
25 smfmullem4.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐸 = (𝑞𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 = (𝑞𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}))
27 inrab 4249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))}) = {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}
28 smfmullem4.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
29 smfmullem4.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐴𝑉)
3029, 6ssexd 5204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ V)
31 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑆t (𝐴𝐶)) = (𝑆t (𝐴𝐶))
3228, 30, 31subsalsal 42939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑆t (𝐴𝐶)) ∈ SAlg)
3332adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑆t (𝐴𝐶)) ∈ SAlg)
34 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 𝑞𝐾
351, 34nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(𝜑𝑞𝐾)
3628adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐾) → 𝑆 ∈ SAlg)
3730adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝐴𝐶) ∈ V)
389adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39 smfmullem4.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4028, 39, 6sssmfmpt 43324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4140adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
42 ssrab2 4031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅} ⊆ (ℚ ↑m (0...3))
434, 42eqsstri 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝐾 ⊆ (ℚ ↑m (0...3))
44 reex 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ℝ ∈ V
45 qssre 12346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ℚ ⊆ ℝ
46 mapss 8440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (ℚ ↑m (0...3)) ⊆ (ℝ ↑m (0...3)))
4744, 45, 46mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (ℚ ↑m (0...3)) ⊆ (ℝ ↑m (0...3))
4843, 47sstri 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐾 ⊆ (ℝ ↑m (0...3))
49 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑞𝐾𝑞𝐾)
5048, 49sseldi 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑞𝐾𝑞 ∈ (ℝ ↑m (0...3)))
5144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑞𝐾 → ℝ ∈ V)
52 ovexd 7175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑞𝐾 → (0...3) ∈ V)
5351, 52elmapd 8407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑞𝐾 → (𝑞 ∈ (ℝ ↑m (0...3)) ↔ 𝑞:(0...3)⟶ℝ))
5450, 53mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞𝐾𝑞:(0...3)⟶ℝ)
55 0z 11980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ ℤ
56 3z 12003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 ∈ ℤ
57 0re 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 0 ∈ ℝ
58 3re 11705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 ∈ ℝ
59 3pos 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 0 < 3
6057, 58, 59ltleii 10752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ≤ 3
6155, 56, 603pm3.2i 1336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3)
62 eluz2 12237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (3 ∈ (ℤ‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
6361, 62mpbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 ∈ (ℤ‘0)
64 eluzfz1 12909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (3 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...3))
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 ∈ (0...3)
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞𝐾 → 0 ∈ (0...3))
6754, 66ffvelrnd 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞𝐾 → (𝑞‘0) ∈ ℝ)
6867adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑞‘0) ∈ ℝ)
6968rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑞‘0) ∈ ℝ*)
70 0le1 11152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ≤ 1
71 1re 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1 ∈ ℝ
72 1lt3 11798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1 < 3
7371, 58, 72ltleii 10752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 ≤ 3
7470, 73pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3)
75 1z 12000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 ∈ ℤ
76 elfz 12891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (1 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3)))
7775, 55, 56, 76mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3))
7874, 77mpbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ (0...3)
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞𝐾 → 1 ∈ (0...3))
8054, 79ffvelrnd 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞𝐾 → (𝑞‘1) ∈ ℝ)
8180adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑞‘1) ∈ ℝ)
8281rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑞‘1) ∈ ℝ*)
8335, 36, 37, 38, 41, 69, 82smfpimioompt 43358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑞𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
8414adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
85 smfmullem4.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
861, 12ssdf 41646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝐶)
8728, 85, 86sssmfmpt 43324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
8887adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
89 0le2 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ≤ 2
90 2re 11699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℝ
91 2lt3 11797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 < 3
9290, 58, 91ltleii 10752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ≤ 3
9389, 92pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 3)
94 2z 12002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℤ
95 elfz 12891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 3)))
9694, 55, 56, 95mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 3))
9793, 96mpbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ (0...3)
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞𝐾 → 2 ∈ (0...3))
9954, 98ffvelrnd 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞𝐾 → (𝑞‘2) ∈ ℝ)
10099adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑞‘2) ∈ ℝ)
101100rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑞‘2) ∈ ℝ*)
102 eluzfz2 12910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (3 ∈ (ℤ‘0) → 3 ∈ (0...3))
10363, 102ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 ∈ (0...3)
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞𝐾 → 3 ∈ (0...3))
10554, 104ffvelrnd 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞𝐾 → (𝑞‘3) ∈ ℝ)
106105adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑞‘3) ∈ ℝ)
107106rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑞‘3) ∈ ℝ*)
10835, 36, 37, 84, 88, 101, 107smfpimioompt 43358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑞𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
10933, 83, 108salincld 42932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑞𝐾) → ({𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))}) ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
11027, 109eqeltrrid 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑞𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
111110elexd 3489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑞𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ∈ V)
11226, 111fvmpt2d 6763 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝐸𝑞) = {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
113112eqcomd 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} = (𝐸𝑞))
114113adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) ∧ 𝑞𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} = (𝐸𝑞))
115114adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) ∧ 𝑞𝐾) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} = (𝐸𝑞))
11624, 115eleqtrd 2916 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) ∧ 𝑞𝐾) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑞))
117116ex 416 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) ∧ 𝑞𝐾) → ((𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)))
1181173adantl3 1165 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) ∧ 𝑞𝐾) → ((𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)))
119118reximdva 3260 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → (∃𝑞𝐾 (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))) → ∃𝑞𝐾 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)))
12019, 119mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → ∃𝑞𝐾 𝑥 ∈ (𝐸𝑞))
121 eliun 4898 . . . . . . 7 (𝑥 𝑞𝐾 (𝐸𝑞) ↔ ∃𝑞𝐾 𝑥 ∈ (𝐸𝑞))
122120, 121sylibr 237 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝑥 𝑞𝐾 (𝐸𝑞))
1231223exp 1116 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → ((𝐵 · 𝐷) < 𝑅𝑥 𝑞𝐾 (𝐸𝑞))))
1241, 123ralrimi 3205 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐶)((𝐵 · 𝐷) < 𝑅𝑥 𝑞𝐾 (𝐸𝑞)))
12534nfci 2963 . . . . . 6 𝑥𝐾
126 nfrab1 3365 . . . . . . . . 9 𝑥{𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}
127125, 126nfmpt 5139 . . . . . . . 8 𝑥(𝑞𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
12825, 127nfcxfr 2977 . . . . . . 7 𝑥𝐸
129 nfcv 2979 . . . . . . 7 𝑥𝑞
130128, 129nffv 6662 . . . . . 6 𝑥(𝐸𝑞)
131125, 130nfiun 4924 . . . . 5 𝑥 𝑞𝐾 (𝐸𝑞)
132131rabssf 41691 . . . 4 ({𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ⊆ 𝑞𝐾 (𝐸𝑞) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐶)((𝐵 · 𝐷) < 𝑅𝑥 𝑞𝐾 (𝐸𝑞)))
133124, 132sylibr 237 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ⊆ 𝑞𝐾 (𝐸𝑞))
134 ssrab2 4031 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ⊆ (𝐴𝐶)
135112, 134eqsstrdi 3996 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝐸𝑞) ⊆ (𝐴𝐶))
136 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑞))
137112adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → (𝐸𝑞) = {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
138136, 137eleqtrd 2916 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
139 rabidim2 41675 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} → (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
141140simprd 499 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))
142140simpld 498 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)))
14349, 4eleqtrdi 2924 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞𝐾𝑞 ∈ {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅})
144 rabidim2 41675 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅} → ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅)
145143, 144syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑞𝐾 → ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅)
146145ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅)
147 oveq1 7147 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝐵 → (𝑢 · 𝑣) = (𝐵 · 𝑣))
148147breq1d 5052 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝐵 → ((𝑢 · 𝑣) < 𝑅 ↔ (𝐵 · 𝑣) < 𝑅))
149148ralbidv 3187 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝐵 → (∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅 ↔ ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅))
150149rspcva 3596 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅) → ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅)
151142, 146, 150syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅)
152 oveq2 7148 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝐷 → (𝐵 · 𝑣) = (𝐵 · 𝐷))
153152breq1d 5052 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝐷 → ((𝐵 · 𝑣) < 𝑅 ↔ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
154153rspcva 3596 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)) ∧ ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
155141, 151, 154syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
156155ex 416 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑥 ∈ (𝐸𝑞) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
15735, 156ralrimi 3205 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐾) → ∀𝑥 ∈ (𝐸𝑞)(𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
158135, 157jca 515 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐾) → ((𝐸𝑞) ⊆ (𝐴𝐶) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐸𝑞)(𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
159 nfcv 2979 . . . . . 6 𝑥(𝐴𝐶)
160130, 159ssrabf 41687 . . . . 5 ((𝐸𝑞) ⊆ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ↔ ((𝐸𝑞) ⊆ (𝐴𝐶) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐸𝑞)(𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
161158, 160sylibr 237 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝐸𝑞) ⊆ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅})
162161iunssd 4949 . . 3 (𝜑 𝑞𝐾 (𝐸𝑞) ⊆ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅})
163133, 162eqssd 3959 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} = 𝑞𝐾 (𝐸𝑞))
164 ovex 7173 . . . . . . 7 (ℚ ↑m (0...3)) ∈ V
165 ssdomg 8542 . . . . . . 7 ((ℚ ↑m (0...3)) ∈ V → (𝐾 ⊆ (ℚ ↑m (0...3)) → 𝐾 ≼ (ℚ ↑m (0...3))))
166164, 165ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐾 ⊆ (ℚ ↑m (0...3)) → 𝐾 ≼ (ℚ ↑m (0...3)))
16743, 166ax-mp 5 . . . . 5 𝐾 ≼ (ℚ ↑m (0...3))
168 qct 41934 . . . . . . . 8 ℚ ≼ ω
169168a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ℚ ≼ ω)
170 fzfid 13336 . . . . . . 7 (⊤ → (0...3) ∈ Fin)
171169, 170mpct 41769 . . . . . 6 (⊤ → (ℚ ↑m (0...3)) ≼ ω)
172171mptru 1545 . . . . 5 (ℚ ↑m (0...3)) ≼ ω
173 domtr 8549 . . . . 5 ((𝐾 ≼ (ℚ ↑m (0...3)) ∧ (ℚ ↑m (0...3)) ≼ ω) → 𝐾 ≼ ω)
174167, 172, 173mp2an 691 . . . 4 𝐾 ≼ ω
175174a1i 11 . . 3 (𝜑𝐾 ≼ ω)
176110, 25fmptd 6860 . . . 4 (𝜑𝐸:𝐾⟶(𝑆t (𝐴𝐶)))
177176ffvelrnda 6833 . . 3 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝐸𝑞) ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
17832, 175, 177saliuncl 42904 . 2 (𝜑 𝑞𝐾 (𝐸𝑞) ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
179163, 178eqeltrd 2914 1 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wtru 1539  wnf 1785  wcel 2114  wral 3130  wrex 3131  {crab 3134  Vcvv 3469  cin 3907  wss 3908  ifcif 4439   ciun 4894   class class class wbr 5042  cmpt 5122  wf 6330  cfv 6334  (class class class)co 7140  ωcom 7565  m cmap 8393  cdom 8494  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  2c2 11680  3c3 11681  cz 11969  cuz 12231  cq 12336  (,)cioo 12726  ...cfz 12885  abscabs 14584  t crest 16685  SAlgcsalg 42890  SMblFncsmblfn 43274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cc 9846  ax-ac2 9874  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9531  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-s2 14201  df-s3 14202  df-s4 14203  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-rest 16687  df-salg 42891  df-smblfn 43275
This theorem is referenced by:  smfmul  43367
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