Theorem smfmullem4 46715

Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfmullem4.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfmullem4.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfmullem4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfmullem4.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfmullem4.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfmullem4.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfmullem4.n	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfmullem4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
smfmullem4.k	⊢ 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
smfmullem4.e	⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ 𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})

Assertion

Ref	Expression
smfmullem4	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑢,𝑣,𝑥   𝐵,𝑞,𝑢,𝑣   𝐶,𝑞,𝑢,𝑣,𝑥   𝐷,𝑞,𝑢,𝑣   𝐾,𝑞,𝑥   𝑅,𝑞,𝑢,𝑣   𝑆,𝑞   𝜑,𝑞,𝑢,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑣,𝑢)   𝐸(𝑥,𝑣,𝑢,𝑞)   𝐾(𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑣,𝑢,𝑞)

Proof of Theorem smfmullem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfmullem4.x	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		smfmullem4.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
3	2	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
4		smfmullem4.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
5		inss1 4258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴)
7	6	sselda 4008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
8		smfmullem4.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	7, 8	syldan 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		elinel2 4225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
13		smfmullem4.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
14	12, 13	syldan 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
15	14	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝐷 ∈ ℝ)
16		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
17		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))) = ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷))))
18		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ if(1 ≤ ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))), 1, ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷))))) = if(1 ≤ ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))), 1, ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))))
19	3, 4, 10, 15, 16, 17, 18	smfmullem3 46714	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
20		rabid 3465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
21	20	bicomi 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
22	21	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
23	22	adantll 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
24	23	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
25		smfmullem4.e	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ 𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑞 ∈ 𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}))
27		inrab 4335	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))}) = {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}
28		smfmullem4.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
29		smfmullem4.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
30	29, 6	ssexd 5342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ V)
31		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) = (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶))
32	28, 30, 31	subsalsal 46280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ SAlg)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ SAlg)
34		nfv 1913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑞 ∈ 𝐾
35	1, 34	nfan 1898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾)
36	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → 𝑆 ∈ SAlg)
37	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ V)
38	9	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39		smfmullem4.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
40	28, 39, 6	sssmfmpt 46671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
42		ssrab2 4103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅} ⊆ (ℚ ↑m (0...3))
43	4, 42	eqsstri 4043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝐾 ⊆ (ℚ ↑m (0...3))
44		reex 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ℝ ∈ V
45		qssre 13024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
46		mapss 8947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (ℚ ↑m (0...3)) ⊆ (ℝ ↑m (0...3)))
47	44, 45, 46	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (ℚ ↑m (0...3)) ⊆ (ℝ ↑m (0...3))
48	43, 47	sstri 4018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐾 ⊆ (ℝ ↑m (0...3))
49		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 𝑞 ∈ 𝐾)
50	48, 49	sselid 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 𝑞 ∈ (ℝ ↑m (0...3)))
51	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → ℝ ∈ V)
52		ovexd 7483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → (0...3) ∈ V)
53	51, 52	elmapd 8898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → (𝑞 ∈ (ℝ ↑m (0...3)) ↔ 𝑞:(0...3)⟶ℝ))
54	50, 53	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 𝑞:(0...3)⟶ℝ)
55		0z 12650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 0 ∈ ℤ
56		3z 12676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 3 ∈ ℤ
57		0re 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 0 ∈ ℝ
58		3re 12373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 3 ∈ ℝ
59		3pos 12398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 0 < 3
60	57, 58, 59	ltleii 11413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 0 ≤ 3
61	55, 56, 60	3pm3.2i 1339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3)
62		eluz2 12909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
63	61, 62	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
64		eluzfz1 13591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...3))
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ∈ (0...3)
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 0 ∈ (0...3))
67	54, 66	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → (𝑞‘0) ∈ ℝ)
68	67	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘0) ∈ ℝ)
69	68	rexrd 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘0) ∈ ℝ*)
70		0le1 11813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 ≤ 1
71		1re 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 1 ∈ ℝ
72		1lt3 12466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 1 < 3
73	71, 58, 72	ltleii 11413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 1 ≤ 3
74	70, 73	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3)
75		1z 12673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 1 ∈ ℤ
76		elfz 13573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (1 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3)))
77	75, 55, 56, 76	mp3an 1461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3))
78	74, 77	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ (0...3)
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 1 ∈ (0...3))
80	54, 79	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → (𝑞‘1) ∈ ℝ)
81	80	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘1) ∈ ℝ)
82	81	rexrd 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘1) ∈ ℝ*)
83	35, 36, 37, 38, 41, 69, 82	smfpimioompt 46707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
84	14	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
85		smfmullem4.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
86	1, 12	ssdf 44977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶)
87	28, 85, 86	sssmfmpt 46671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
88	87	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
89		0le2 12395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 ≤ 2
90		2re 12367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ∈ ℝ
91		2lt3 12465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 < 3
92	90, 58, 91	ltleii 11413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ≤ 3
93	89, 92	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 3)
94		2z 12675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℤ
95		elfz 13573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 3)))
96	94, 55, 56, 95	mp3an 1461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 3))
97	93, 96	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ (0...3)
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 2 ∈ (0...3))
99	54, 98	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → (𝑞‘2) ∈ ℝ)
100	99	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘2) ∈ ℝ)
101	100	rexrd 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘2) ∈ ℝ*)
102		eluzfz2 13592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) → 3 ∈ (0...3))
103	63, 102	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 3 ∈ (0...3)
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 3 ∈ (0...3))
105	54, 104	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → (𝑞‘3) ∈ ℝ)
106	105	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘3) ∈ ℝ)
107	106	rexrd 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘3) ∈ ℝ*)
108	35, 36, 37, 84, 88, 101, 107	smfpimioompt 46707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
109	33, 83, 108	salincld 46273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → ({𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))}) ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
110	27, 109	eqeltrrid 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
111	110	elexd 3512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ∈ V)
112	26, 111	fvmpt2d 7042	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝐸‘𝑞) = {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
113	112	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} = (𝐸‘𝑞))
114	113	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} = (𝐸‘𝑞))
115	114	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} = (𝐸‘𝑞))
116	24, 115	eleqtrd 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞))
117	116	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → ((𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))) → 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)))
118	117	3adantl3 1168	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → ((𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))) → 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)))
119	118	reximdva 3174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → (∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)))
120	19, 119	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞))
121		eliun 5019	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐾 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞))
122	120, 121	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞))
123	122	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → ((𝐵 · 𝐷) < 𝑅 → 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞))))
124	1, 123	ralrimi 3263	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)((𝐵 · 𝐷) < 𝑅 → 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞)))
125	34	nfci 2896	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐾
126		nfrab1 3464	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}
127	125, 126	nfmpt 5273	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑞 ∈ 𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
128	25, 127	nfcxfr 2906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐸
129		nfcv 2908	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑞
130	128, 129	nffv 6930	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐸‘𝑞)
131	125, 130	nfiun 5046	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞)
132	131	rabssf 45021	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ⊆ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)((𝐵 · 𝐷) < 𝑅 → 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞)))
133	124, 132	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ⊆ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞))
134		ssrab2 4103	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶)
135	112, 134	eqsstrdi 4063	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝐸‘𝑞) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶))
136		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞))
137	112	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → (𝐸‘𝑞) = {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
138	136, 137	eleqtrd 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
139		rabidim2 45004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} → (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
141	140	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))
142	140	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)))
143	49, 4	eleqtrdi 2854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 𝑞 ∈ {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅})
144		rabidim2 45004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅} → ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅)
145	143, 144	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅)
146	145	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅)
147		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → (𝑢 · 𝑣) = (𝐵 · 𝑣))
148	147	breq1d 5176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → ((𝑢 · 𝑣) < 𝑅 ↔ (𝐵 · 𝑣) < 𝑅))
149	148	ralbidv 3184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → (∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅 ↔ ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅))
150	149	rspcva 3633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅) → ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅)
151	142, 146, 150	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅)
152		oveq2 7456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝐷 → (𝐵 · 𝑣) = (𝐵 · 𝐷))
153	152	breq1d 5176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝐷 → ((𝐵 · 𝑣) < 𝑅 ↔ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
154	153	rspcva 3633	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)) ∧ ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
155	141, 151, 154	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
156	155	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
157	35, 156	ralrimi 3263	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → ∀𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)(𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
158	135, 157	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → ((𝐸‘𝑞) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)(𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
159		nfcv 2908	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∩ 𝐶)
160	130, 159	ssrabf 45016	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘𝑞) ⊆ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ↔ ((𝐸‘𝑞) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)(𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
161	158, 160	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝐸‘𝑞) ⊆ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅})
162	161	iunssd 5073	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞) ⊆ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅})
163	133, 162	eqssd 4026	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} = ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞))
164		ovex 7481	. . . . . . 7 ⊢ (ℚ ↑m (0...3)) ∈ V
165		ssdomg 9060	. . . . . . 7 ⊢ ((ℚ ↑m (0...3)) ∈ V → (𝐾 ⊆ (ℚ ↑m (0...3)) → 𝐾 ≼ (ℚ ↑m (0...3))))
166	164, 165	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ⊆ (ℚ ↑m (0...3)) → 𝐾 ≼ (ℚ ↑m (0...3)))
167	43, 166	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ≼ (ℚ ↑m (0...3))
168		qct 45277	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ≼ ω
169	168	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℚ ≼ ω)
170		fzfid 14024	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (0...3) ∈ Fin)
171	169, 170	mpct 45108	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℚ ↑m (0...3)) ≼ ω)
172	171	mptru 1544	. . . . 5 ⊢ (ℚ ↑m (0...3)) ≼ ω
173		domtr 9067	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ≼ (ℚ ↑m (0...3)) ∧ (ℚ ↑m (0...3)) ≼ ω) → 𝐾 ≼ ω)
174	167, 172, 173	mp2an 691	. . . 4 ⊢ 𝐾 ≼ ω
175	174	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
176	110, 25	fmptd 7148	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐾⟶(𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
177	176	ffvelcdmda 7118	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝐸‘𝑞) ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
178	32, 175, 177	saliuncl 46244	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞) ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
179	163, 178	eqeltrd 2844	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ⊤wtru 1538  Ⅎwnf 1781   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443  Vcvv 3488   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ifcif 4548  ∪ ciun 5015   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ωcom 7903   ↑_m cmap 8884   ≼ cdom 9001  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  2c2 12348  3c3 12349  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ℚcq 13013  (,)cioo 13407  ...cfz 13567  abscabs 15283   ↾_t crest 17480  SAlgcsalg 46229  SMblFncsmblfn 46616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cc 10504  ax-ac2 10532  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-acn 10011  df-ac 10185  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-s1 14644  df-s2 14897  df-s3 14898  df-s4 14899  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-rest 17482  df-salg 46230  df-smblfn 46617

This theorem is referenced by:  smfmul  46716