Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  preimaleiinlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem preimaleiinlt 46032
Description: A preimage of a left-open, right-closed, unbounded below interval, expressed as an indexed intersection of preimages of open, unbound below intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
preimaleiinlt.x 𝑥𝜑
preimaleiinlt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
preimaleiinlt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
preimaleiinlt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} = 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝜑,𝑛   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem preimaleiinlt
StepHypRef Expression
1 preimaleiinlt.x . . . 4 𝑥𝜑
2 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥𝐴)
3 preimaleiinlt.b . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
43ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5 preimaleiinlt.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
76rexrd 11286 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
85adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
9 nnrecre 12276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
118, 10readdcld 11265 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
1211ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
1312rexrd 11286 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
14 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵𝐶)
15 nnrp 13009 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
16 rpreccl 13024 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1817adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
198, 18ltaddrpd 13073 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
2019ad4ant14 751 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
214, 7, 13, 14, 20xrlelttrd 13163 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
222, 21jca 511 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))))
23 rabid 3447 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ (𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))))
2422, 23sylibr 233 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
2524ralrimiva 3141 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
26 vex 3473 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
27 eliin 4996 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
2925, 28sylibr 233 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → 𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
3029ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝐶𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
3130ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝐵𝐶𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})))
321, 31ralrimi 3249 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐵𝐶𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
33 nfcv 2898 . . . . 5 𝑥
34 nfrab1 3446 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}
3533, 34nfiin 5022 . . . 4 𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}
3635rabssf 44408 . . 3 ({𝑥𝐴𝐵𝐶} ⊆ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝐶𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
3732, 36sylibr 233 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} ⊆ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
38 nnn0 44683 . . . . 5 ℕ ≠ ∅
3938a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
40 iinrab 5066 . . . 4 (ℕ ≠ ∅ → 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} = {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
4139, 40syl 17 . . 3 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} = {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
423ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4311ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
4443rexrd 11286 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
45 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
4642, 44, 45xrltled 13153 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛)))
4746ex 412 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛))))
4847ralimdva 3162 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛))))
4948imp 406 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛)))
50 nfv 1910 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝜑𝑥𝐴)
51 nfra1 3276 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))
5250, 51nfan 1895 . . . . . . . . 9 𝑛((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
533adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
545ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐶 ∈ ℝ)
5552, 53, 54xrralrecnnle 44688 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → (𝐵𝐶 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛))))
5649, 55mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵𝐶)
5756ex 412 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵𝐶))
5857ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵𝐶)))
591, 58ralrimi 3249 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵𝐶))
60 ss2rab 4064 . . . 4 ({𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ⊆ {𝑥𝐴𝐵𝐶} ↔ ∀𝑥𝐴 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵𝐶))
6159, 60sylibr 233 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ⊆ {𝑥𝐴𝐵𝐶})
6241, 61eqsstrd 4016 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ⊆ {𝑥𝐴𝐵𝐶})
6337, 62eqssd 3995 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} = 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  wne 2935  wral 3056  {crab 3427  Vcvv 3469  wss 3944  c0 4318   ciin 4992   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  cr 11129  1c1 11131   + caddc 11133  *cxr 11269   < clt 11270  cle 11271   / cdiv 11893  cn 12234  +crp 12998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-fl 13781
This theorem is referenced by:  salpreimaltle  46037
  Copyright terms: Public domain W3C validator