Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  preimaleiinlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem preimaleiinlt 46736
Description: A preimage of a left-open, right-closed, unbounded below interval, expressed as an indexed intersection of preimages of open, unbound below intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
preimaleiinlt.x 𝑥𝜑
preimaleiinlt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
preimaleiinlt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
preimaleiinlt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} = 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝜑,𝑛   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem preimaleiinlt
StepHypRef Expression
1 preimaleiinlt.x . . . 4 𝑥𝜑
2 simpllr 776 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥𝐴)
3 preimaleiinlt.b . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
43ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5 preimaleiinlt.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
76rexrd 11311 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
85adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
9 nnrecre 12308 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
118, 10readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
1211ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
1312rexrd 11311 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
14 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵𝐶)
15 nnrp 13046 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
16 rpreccl 13061 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1817adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
198, 18ltaddrpd 13110 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
2019ad4ant14 752 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
214, 7, 13, 14, 20xrlelttrd 13202 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
222, 21jca 511 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))))
23 rabid 3458 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ (𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))))
2422, 23sylibr 234 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
2524ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
26 vex 3484 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
27 eliin 4996 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
2925, 28sylibr 234 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → 𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
3029ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝐶𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
3130ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝐵𝐶𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})))
321, 31ralrimi 3257 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐵𝐶𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
33 nfcv 2905 . . . . 5 𝑥
34 nfrab1 3457 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}
3533, 34nfiin 5024 . . . 4 𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}
3635rabssf 45124 . . 3 ({𝑥𝐴𝐵𝐶} ⊆ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝐶𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
3732, 36sylibr 234 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} ⊆ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
38 nnn0 45389 . . . . 5 ℕ ≠ ∅
3938a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
40 iinrab 5069 . . . 4 (ℕ ≠ ∅ → 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} = {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
4139, 40syl 17 . . 3 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} = {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
423ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4311ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
4443rexrd 11311 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
45 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
4642, 44, 45xrltled 13192 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛)))
4746ex 412 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛))))
4847ralimdva 3167 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛))))
4948imp 406 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛)))
50 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝜑𝑥𝐴)
51 nfra1 3284 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))
5250, 51nfan 1899 . . . . . . . . 9 𝑛((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
533adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
545ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐶 ∈ ℝ)
5552, 53, 54xrralrecnnle 45394 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → (𝐵𝐶 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛))))
5649, 55mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵𝐶)
5756ex 412 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵𝐶))
5857ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵𝐶)))
591, 58ralrimi 3257 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵𝐶))
60 ss2rab 4071 . . . 4 ({𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ⊆ {𝑥𝐴𝐵𝐶} ↔ ∀𝑥𝐴 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵𝐶))
6159, 60sylibr 234 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ⊆ {𝑥𝐴𝐵𝐶})
6241, 61eqsstrd 4018 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ⊆ {𝑥𝐴𝐵𝐶})
6337, 62eqssd 4001 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} = 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333   ciin 4992   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296   / cdiv 11920  cn 12266  +crp 13034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fl 13832
This theorem is referenced by:  salpreimaltle  46741
  Copyright terms: Public domain W3C validator