Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  preimaleiinlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem preimaleiinlt 46677
Description: A preimage of a left-open, right-closed, unbounded below interval, expressed as an indexed intersection of preimages of open, unbound below intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
preimaleiinlt.x 𝑥𝜑
preimaleiinlt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
preimaleiinlt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
preimaleiinlt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} = 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝜑,𝑛   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem preimaleiinlt
StepHypRef Expression
1 preimaleiinlt.x . . . 4 𝑥𝜑
2 simpllr 776 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥𝐴)
3 preimaleiinlt.b . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
43ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5 preimaleiinlt.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
76rexrd 11309 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
85adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
9 nnrecre 12306 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
118, 10readdcld 11288 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
1211ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
1312rexrd 11309 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
14 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵𝐶)
15 nnrp 13044 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
16 rpreccl 13059 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1817adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
198, 18ltaddrpd 13108 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
2019ad4ant14 752 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
214, 7, 13, 14, 20xrlelttrd 13199 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
222, 21jca 511 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))))
23 rabid 3455 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ (𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))))
2422, 23sylibr 234 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
2524ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
26 vex 3482 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
27 eliin 5001 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
2925, 28sylibr 234 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → 𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
3029ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝐶𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
3130ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝐵𝐶𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})))
321, 31ralrimi 3255 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐵𝐶𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
33 nfcv 2903 . . . . 5 𝑥
34 nfrab1 3454 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}
3533, 34nfiin 5029 . . . 4 𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}
3635rabssf 45059 . . 3 ({𝑥𝐴𝐵𝐶} ⊆ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝐶𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
3732, 36sylibr 234 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} ⊆ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
38 nnn0 45328 . . . . 5 ℕ ≠ ∅
3938a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
40 iinrab 5074 . . . 4 (ℕ ≠ ∅ → 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} = {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
4139, 40syl 17 . . 3 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} = {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
423ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4311ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
4443rexrd 11309 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
45 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
4642, 44, 45xrltled 13189 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛)))
4746ex 412 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛))))
4847ralimdva 3165 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛))))
4948imp 406 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛)))
50 nfv 1912 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝜑𝑥𝐴)
51 nfra1 3282 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))
5250, 51nfan 1897 . . . . . . . . 9 𝑛((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
533adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
545ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐶 ∈ ℝ)
5552, 53, 54xrralrecnnle 45333 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → (𝐵𝐶 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛))))
5649, 55mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵𝐶)
5756ex 412 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵𝐶))
5857ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵𝐶)))
591, 58ralrimi 3255 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵𝐶))
60 ss2rab 4081 . . . 4 ({𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ⊆ {𝑥𝐴𝐵𝐶} ↔ ∀𝑥𝐴 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵𝐶))
6159, 60sylibr 234 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ⊆ {𝑥𝐴𝐵𝐶})
6241, 61eqsstrd 4034 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ⊆ {𝑥𝐴𝐵𝐶})
6337, 62eqssd 4013 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} = 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339   ciin 4997   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294   / cdiv 11918  cn 12264  +crp 13032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fl 13829
This theorem is referenced by:  salpreimaltle  46682
  Copyright terms: Public domain W3C validator