Theorem preimaleiinlt 47495

Description: A preimage of a left-open, right-closed, unbounded below interval, expressed as an indexed intersection of preimages of open, unbound below intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaleiinlt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
preimaleiinlt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
preimaleiinlt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
preimaleiinlt	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶} = ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝜑,𝑛   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem preimaleiinlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaleiinlt.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3		preimaleiinlt.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4	3	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		preimaleiinlt.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
8	5	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
9		nnrecre 12295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
10	9	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
11	8, 10	readdcld 11255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
12	11	ad4ant14 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
14		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ≤ 𝐶)
15		nnrecrp 46161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
16	15	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
17	8, 16	ltaddrpd 13111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
18	17	ad4ant14 765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
19	4, 7, 13, 14, 18	xrlelttrd 13203	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
20	2, 19	rabidd 45933	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
21	20	ralrimiva 3159	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
22		eliin 4963	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
23	22	elv 3462	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
24	21, 23	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
25	24	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≤ 𝐶 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
26	1, 25	ralrimia 3266	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≤ 𝐶 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
27		nfcv 2927	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥ℕ
28		nfrab1 3438	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}
29	27, 28	nfiin 4991	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}
30	29	rabssf 45897	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶} ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≤ 𝐶 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
31	26, 30	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶} ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
32		nnn0 46153	. . . 4 ⊢ ℕ ≠ ∅
33		iinrab 5035	. . . 4 ⊢ (ℕ ≠ ∅ → ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
34	32, 33	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
35	3	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
36	11	ad4ant13 764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
37	36	rexrd 11276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
38		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
39	35, 37, 38	xrltled 13193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛)))
40	39	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛))))
41	40	ralimdva 3179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛))))
42	41	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛)))
43		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)
44		nfra1 3291	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))
45	43, 44	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
46	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
47	5	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐶 ∈ ℝ)
48	45, 46, 47	xrralrecnnle 46158	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛))))
49	42, 48	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ≤ 𝐶)
50	49	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵 ≤ 𝐶))
51	1, 50	ss2rabdf 45928	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶})
52	34, 51	eqsstrd 3972	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶})
53	31, 52	eqssd 3955	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶} = ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  {crab 3418  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  ∩ ciin 4959   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  ℝcr 11116  1c1 11118   + caddc 11120  ℝ^*cxr 11259   < clt 11260   ≤ cle 11261   / cdiv 11888  ℕcn 12250  ℝ⁺crp 13034

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-fl 13845

This theorem is used by:  salpreimaltle  47500