Theorem preimaleiinlt 47455

Description: A preimage of a left-open, right-closed, unbounded below interval, expressed as an indexed intersection of preimages of open, unbound below intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaleiinlt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
preimaleiinlt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
preimaleiinlt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
preimaleiinlt	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶} = ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝜑,𝑛   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem preimaleiinlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaleiinlt.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		simpllr 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3		preimaleiinlt.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4	3	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		preimaleiinlt.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
8	5	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
9		nnrecre 12273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
10	9	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
11	8, 10	readdcld 11233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
12	11	ad4ant14 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
14		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ≤ 𝐶)
15		nnrecrp 46121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
16	15	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
17	8, 16	ltaddrpd 13088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
18	17	ad4ant14 764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
19	4, 7, 13, 14, 18	xrlelttrd 13180	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
20	2, 19	rabidd 45893	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
21	20	ralrimiva 3157	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
22		eliin 4961	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
23	22	elv 3460	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
24	21, 23	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
25	24	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≤ 𝐶 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
26	1, 25	ralrimia 3264	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≤ 𝐶 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
27		nfcv 2925	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥ℕ
28		nfrab1 3436	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}
29	27, 28	nfiin 4989	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}
30	29	rabssf 45857	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶} ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≤ 𝐶 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
31	26, 30	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶} ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
32		nnn0 46113	. . . 4 ⊢ ℕ ≠ ∅
33		iinrab 5033	. . . 4 ⊢ (ℕ ≠ ∅ → ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
34	32, 33	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
35	3	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
36	11	ad4ant13 763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
37	36	rexrd 11254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
38		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
39	35, 37, 38	xrltled 13170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛)))
40	39	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛))))
41	40	ralimdva 3177	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛))))
42	41	imp 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛)))
43		nfv 1944	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)
44		nfra1 3289	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))
45	43, 44	nfan 1929	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
46	3	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
47	5	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐶 ∈ ℝ)
48	45, 46, 47	xrralrecnnle 46118	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛))))
49	42, 48	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ≤ 𝐶)
50	49	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵 ≤ 𝐶))
51	1, 50	ss2rabdf 45888	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶})
52	34, 51	eqsstrd 3971	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶})
53	31, 52	eqssd 3954	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶} = ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  Ⅎwnf 1813   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  {crab 3416  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ∩ ciin 4957   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  1c1 11096   + caddc 11098  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   ≤ cle 11239   / cdiv 11866  ℕcn 12228  ℝ⁺crp 13011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-fl 13821

This theorem is referenced by:  salpreimaltle  47460