Theorem preimaleiinlt 44596

Description: A preimage of a left-open, right-closed, unbounded below interval, expressed as an indexed intersection of preimages of open, unbound below intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaleiinlt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
preimaleiinlt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
preimaleiinlt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
preimaleiinlt	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶} = ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝜑,𝑛   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem preimaleiinlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaleiinlt.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		simpllr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3		preimaleiinlt.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4	3	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		preimaleiinlt.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
8	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
9		nnrecre 12116	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
10	9	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
11	8, 10	readdcld 11105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
12	11	ad4ant14 749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
14		simplr 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ≤ 𝐶)
15		nnrp 12842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
16		rpreccl 12857	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
19	8, 18	ltaddrpd 12906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
20	19	ad4ant14 749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
21	4, 7, 13, 14, 20	xrlelttrd 12995	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
22	2, 21	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))))
23		rabid 3423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))))
24	22, 23	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
25	24	ralrimiva 3139	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
26		vex 3445	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
27		eliin 4946	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
29	25, 28	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
30	29	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≤ 𝐶 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
31	30	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ≤ 𝐶 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})))
32	1, 31	ralrimi 3236	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≤ 𝐶 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
33		nfcv 2904	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥ℕ
34		nfrab1 3422	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}
35	33, 34	nfiin 4972	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}
36	35	rabssf 42989	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶} ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≤ 𝐶 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
37	32, 36	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶} ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
38		nnn0 43252	. . . . 5 ⊢ ℕ ≠ ∅
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
40		iinrab 5016	. . . 4 ⊢ (ℕ ≠ ∅ → ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
41	39, 40	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
42	3	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
43	11	ad4ant13 748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
44	43	rexrd 11126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
45		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
46	42, 44, 45	xrltled 12985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛)))
47	46	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛))))
48	47	ralimdva 3160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛))))
49	48	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛)))
50		nfv 1916	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)
51		nfra1 3263	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))
52	50, 51	nfan 1901	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
53	3	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
54	5	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐶 ∈ ℝ)
55	52, 53, 54	xrralrecnnle 43257	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛))))
56	49, 55	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ≤ 𝐶)
57	56	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵 ≤ 𝐶))
58	57	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵 ≤ 𝐶)))
59	1, 58	ralrimi 3236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵 ≤ 𝐶))
60		ss2rab 4016	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵 ≤ 𝐶))
61	59, 60	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶})
62	41, 61	eqsstrd 3970	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶})
63	37, 62	eqssd 3949	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶} = ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {crab 3403  Vcvv 3441   ⊆ wss 3898  ∅c0 4269  ∩ ciin 4942   class class class wbr 5092  (class class class)co 7337  ℝcr 10971  1c1 10973   + caddc 10975  ℝ^*cxr 11109   < clt 11110   ≤ cle 11111   / cdiv 11733  ℕcn 12074  ℝ⁺crp 12831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-sup 9299  df-inf 9300  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-fl 13613

This theorem is referenced by:  salpreimaltle  44601