| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | df-ral 3061 | . 2
⊢
(∀𝑥 ∈
𝑦 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑)) | 
| 2 |  | nfv 1913 | . . . . 5
⊢
Ⅎ𝑧𝜑 | 
| 3 | 2 | sblim 2305 | . . . 4
⊢ ([𝑦 / 𝑧](𝑥 ∈ 𝑧 → 𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑧]𝑥 ∈ 𝑧 → 𝜑)) | 
| 4 |  | elsb2 2124 | . . . . 5
⊢ ([𝑦 / 𝑧]𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦) | 
| 5 | 4 | imbi1i 349 | . . . 4
⊢ (([𝑦 / 𝑧]𝑥 ∈ 𝑧 → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑)) | 
| 6 | 3, 5 | bitri 275 | . . 3
⊢ ([𝑦 / 𝑧](𝑥 ∈ 𝑧 → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑)) | 
| 7 | 6 | albii 1818 | . 2
⊢
(∀𝑥[𝑦 / 𝑧](𝑥 ∈ 𝑧 → 𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → 𝜑)) | 
| 8 |  | elequ1 2114 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧)) | 
| 9 |  | sbralie.1 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓)) | 
| 10 | 8, 9 | imbi12d 344 | . . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝑧 → 𝜑) ↔ (𝑦 ∈ 𝑧 → 𝜓))) | 
| 11 | 10 | cbvalvw 2034 | . . . . 5
⊢
(∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑧 → 𝜑) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑧 → 𝜓)) | 
| 12 |  | df-ral 3061 | . . . . . . 7
⊢
(∀𝑦 ∈
𝑥 𝜓 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝜓)) | 
| 13 | 12 | sbbii 2075 | . . . . . 6
⊢ ([𝑧 / 𝑥]∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 ↔ [𝑧 / 𝑥]∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝜓)) | 
| 14 |  | sbal 2168 | . . . . . 6
⊢ ([𝑧 / 𝑥]∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝜓) ↔ ∀𝑦[𝑧 / 𝑥](𝑦 ∈ 𝑥 → 𝜓)) | 
| 15 |  | nfv 1913 | . . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑥𝜓 | 
| 16 | 15 | sblim 2305 | . . . . . . . 8
⊢ ([𝑧 / 𝑥](𝑦 ∈ 𝑥 → 𝜓) ↔ ([𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝑥 → 𝜓)) | 
| 17 |  | elsb2 2124 | . . . . . . . . 9
⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) | 
| 18 | 17 | imbi1i 349 | . . . . . . . 8
⊢ (([𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝑥 → 𝜓) ↔ (𝑦 ∈ 𝑧 → 𝜓)) | 
| 19 | 16, 18 | bitri 275 | . . . . . . 7
⊢ ([𝑧 / 𝑥](𝑦 ∈ 𝑥 → 𝜓) ↔ (𝑦 ∈ 𝑧 → 𝜓)) | 
| 20 | 19 | albii 1818 | . . . . . 6
⊢
(∀𝑦[𝑧 / 𝑥](𝑦 ∈ 𝑥 → 𝜓) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑧 → 𝜓)) | 
| 21 | 13, 14, 20 | 3bitrri 298 | . . . . 5
⊢
(∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑧 → 𝜓) ↔ [𝑧 / 𝑥]∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓) | 
| 22 | 11, 21 | bitri 275 | . . . 4
⊢
(∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑧 → 𝜑) ↔ [𝑧 / 𝑥]∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓) | 
| 23 | 22 | sbbii 2075 | . . 3
⊢ ([𝑦 / 𝑧]∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑧 → 𝜑) ↔ [𝑦 / 𝑧][𝑧 / 𝑥]∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓) | 
| 24 |  | sbal 2168 | . . 3
⊢ ([𝑦 / 𝑧]∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑧 → 𝜑) ↔ ∀𝑥[𝑦 / 𝑧](𝑥 ∈ 𝑧 → 𝜑)) | 
| 25 |  | sbco2vv 2098 | . . 3
⊢ ([𝑦 / 𝑧][𝑧 / 𝑥]∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 ↔ [𝑦 / 𝑥]∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓) | 
| 26 | 23, 24, 25 | 3bitr3i 301 | . 2
⊢
(∀𝑥[𝑦 / 𝑧](𝑥 ∈ 𝑧 → 𝜑) ↔ [𝑦 / 𝑥]∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓) | 
| 27 | 1, 7, 26 | 3bitr2i 299 | 1
⊢
(∀𝑥 ∈
𝑦 𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓) |