MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgdir 20145
Description: Distributive law for the multiplication operation of a semiring. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
srgdi.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
srgdi.p + = (+gโ€˜๐‘…)
srgdi.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
srgdir ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ + ๐‘Œ) ยท ๐‘) = ((๐‘‹ ยท ๐‘) + (๐‘Œ ยท ๐‘)))

Proof of Theorem srgdir
StepHypRef Expression
1 srgdi.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
2 srgdi.p . . 3 + = (+gโ€˜๐‘…)
3 srgdi.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
41, 2, 3srgdilem 20139 . 2 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ ยท (๐‘Œ + ๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) + (๐‘‹ ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘‹ + ๐‘Œ) ยท ๐‘) = ((๐‘‹ ยท ๐‘) + (๐‘Œ ยท ๐‘))))
54simprd 494 1 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ + ๐‘Œ) ยท ๐‘) = ((๐‘‹ ยท ๐‘) + (๐‘Œ ยท ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  .rcmulr 17241  SRingcsrg 20133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-nul 5310
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-iota 6505  df-fv 6561  df-ov 7429  df-srg 20134
This theorem is referenced by:  srgo2times  20159  srgcom4lem  20160  srgmulgass  20164  srgrmhm  20169
  Copyright terms: Public domain W3C validator