MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgrmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgrmhm 19847
Description: Right-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism, analogous to ringrghm 19919. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srglmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
srglmhm.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
srgrmhm ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, ·

Proof of Theorem srgrmhm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srgmnd 19820 . . . 4 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
21, 1jca 512 . . 3 (𝑅 ∈ SRing → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
32adantr 481 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
4 srglmhm.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 srglmhm.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
64, 5srgcl 19823 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥𝐵𝑋𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
763com23 1125 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑥𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
873expa 1117 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
98fmpttd 7029 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵𝐵)
10 3anrot 1099 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵) ↔ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑋𝐵))
11 3anass 1094 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)))
1210, 11bitr3i 276 . . . . . . 7 ((𝑎𝐵𝑏𝐵𝑋𝐵) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)))
13 eqid 2737 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
144, 13, 5srgdir 19828 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋) = ((𝑎 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
1512, 14sylan2br 595 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵))) → ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋) = ((𝑎 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
1615anassrs 468 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋) = ((𝑎 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
174, 13srgacl 19835 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
18173expb 1119 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
1918adantlr 712 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
20 oveq1 7324 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑎(+g𝑅)𝑏) → (𝑥 · 𝑋) = ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋))
21 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))
22 ovex 7350 . . . . . . 7 ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋) ∈ V
2320, 21, 22fvmpt 6915 . . . . . 6 ((𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋))
2419, 23syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋))
25 oveq1 7324 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑎 · 𝑋))
26 ovex 7350 . . . . . . . 8 (𝑎 · 𝑋) ∈ V
2725, 21, 26fvmpt 6915 . . . . . . 7 (𝑎𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎) = (𝑎 · 𝑋))
28 oveq1 7324 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑏 · 𝑋))
29 ovex 7350 . . . . . . . 8 (𝑏 · 𝑋) ∈ V
3028, 21, 29fvmpt 6915 . . . . . . 7 (𝑏𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏) = (𝑏 · 𝑋))
3127, 30oveqan12d 7336 . . . . . 6 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) = ((𝑎 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
3231adantl 482 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) = ((𝑎 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
3316, 24, 323eqtr4d 2787 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)))
3433ralrimivva 3194 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)))
35 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
364, 35srg0cl 19830 . . . . . 6 (𝑅 ∈ SRing → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
3736adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
38 oveq1 7324 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝑅) → (𝑥 · 𝑋) = ((0g𝑅) · 𝑋))
39 ovex 7350 . . . . . 6 ((0g𝑅) · 𝑋) ∈ V
4038, 21, 39fvmpt 6915 . . . . 5 ((0g𝑅) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g𝑅)) = ((0g𝑅) · 𝑋))
4137, 40syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g𝑅)) = ((0g𝑅) · 𝑋))
424, 5, 35srglz 19838 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ((0g𝑅) · 𝑋) = (0g𝑅))
4341, 42eqtrd 2777 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g𝑅)) = (0g𝑅))
449, 34, 433jca 1127 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g𝑅)) = (0g𝑅)))
454, 4, 13, 13, 35, 35ismhm 18509 . 2 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g𝑅)) = (0g𝑅))))
463, 44, 45sylanbrc 583 1 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3062  cmpt 5170  wf 6462  cfv 6466  (class class class)co 7317  Basecbs 16989  +gcplusg 17039  .rcmulr 17040  0gc0g 17227  Mndcmnd 18462   MndHom cmhm 18505  SRingcsrg 19816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-om 7760  df-2nd 7879  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-er 8548  df-map 8667  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-nn 12054  df-2 12116  df-sets 16942  df-slot 16960  df-ndx 16972  df-base 16990  df-plusg 17052  df-0g 17229  df-mgm 18403  df-sgrp 18452  df-mnd 18463  df-mhm 18507  df-cmn 19463  df-mgp 19796  df-srg 19817
This theorem is referenced by:  srgsummulcr  19848
  Copyright terms: Public domain W3C validator