Theorem srgrmhm 20251

Description: Right-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism, analogous to ringrghm 20342. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srglmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srglmhm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgrmhm	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, ·

Proof of Theorem srgrmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgmnd 20219	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
2	1, 1	jca 519	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
3	2	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
4		srglmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		srglmhm.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	srgcl 20222	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	6	3com23 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
8	7	3expa 1130	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
9	8	fmpttd 7092	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵⟶𝐵)
10		3anrot 1111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ↔ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
11		3anass 1105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)))
12	10, 11	bitr3i 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)))
13		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
14	4, 13, 5	srgdir 20227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋) = ((𝑎 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
15	12, 14	sylan2br 604	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵))) → ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋) = ((𝑎 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
16	15	anassrs 471	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋) = ((𝑎 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
17	4, 13	srgacl 20234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
18	17	3expb 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
19	18	adantlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
20		oveq1 7399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) → (𝑥 · 𝑋) = ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋))
21		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))
22		ovex 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋) ∈ V
23	20, 21, 22	fvmpt 6971	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋))
24	19, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋))
25		oveq1 7399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑎 · 𝑋))
26		ovex 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 · 𝑋) ∈ V
27	25, 21, 26	fvmpt 6971	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎) = (𝑎 · 𝑋))
28		oveq1 7399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑏 · 𝑋))
29		ovex 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 · 𝑋) ∈ V
30	28, 21, 29	fvmpt 6971	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏) = (𝑏 · 𝑋))
31	27, 30	oveqan12d 7411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) = ((𝑎 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
32	31	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) = ((𝑎 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
33	16, 24, 32	3eqtr4d 2806	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)))
34	33	ralrimivva 3204	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)))
35		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
36	4, 35	srg0cl 20229	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
37	36	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
38		oveq1 7399	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (𝑥 · 𝑋) = ((0g‘𝑅) · 𝑋))
39		ovex 7425	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝑅) · 𝑋) ∈ V
40	38, 21, 39	fvmpt 6971	. . . . 5 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅) · 𝑋))
41	37, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅) · 𝑋))
42	4, 5, 35	srglz 20237	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) · 𝑋) = (0g‘𝑅))
43	41, 42	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
44	9, 34, 43	3jca 1140	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
45	4, 4, 13, 13, 35, 35	ismhm 18802	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))))
46	3, 44, 45	sylanbrc 592	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   ↦ cmpt 5180  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  +_gcplusg 17269  ._rcmulr 17270  0_gc0g 17451  Mndcmnd 18751   MndHom cmhm 18798  SRingcsrg 20215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17282  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mhm 18800  df-cmn 19805  df-mgp 20170  df-srg 20216

This theorem is referenced by:  srgsummulcr  20252