MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgrmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgrmhm 20169
Description: Right-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism, analogous to ringrghm 20256. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srglmhm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
srglmhm.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
srgrmhm ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)) โˆˆ (๐‘… MndHom ๐‘…))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ,๐‘‹   ๐‘ฅ, ยท

Proof of Theorem srgrmhm
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srgmnd 20137 . . . 4 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
21, 1jca 510 . . 3 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ (๐‘… โˆˆ Mnd โˆง ๐‘… โˆˆ Mnd))
32adantr 479 . 2 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘… โˆˆ Mnd โˆง ๐‘… โˆˆ Mnd))
4 srglmhm.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
5 srglmhm.t . . . . . . 7 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
64, 5srgcl 20140 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
763com23 1123 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
873expa 1115 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
98fmpttd 7130 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)):๐ตโŸถ๐ต)
10 3anrot 1097 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต))
11 3anass 1092 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)))
1210, 11bitr3i 276 . . . . . . 7 ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)))
13 eqid 2728 . . . . . . . 8 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
144, 13, 5srgdir 20145 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘Ž ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
1512, 14sylan2br 593 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต))) โ†’ ((๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘Ž ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
1615anassrs 466 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘Ž ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
174, 13srgacl 20152 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) โˆˆ ๐ต)
18173expb 1117 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) โˆˆ ๐ต)
1918adantlr 713 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) โˆˆ ๐ต)
20 oveq1 7433 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = ((๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) ยท ๐‘‹))
21 eqid 2728 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))
22 ovex 7459 . . . . . . 7 ((๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ V
2320, 21, 22fvmpt 7010 . . . . . 6 ((๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = ((๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) ยท ๐‘‹))
2419, 23syl 17 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = ((๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) ยท ๐‘‹))
25 oveq1 7433 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (๐‘Ž ยท ๐‘‹))
26 ovex 7459 . . . . . . . 8 (๐‘Ž ยท ๐‘‹) โˆˆ V
2725, 21, 26fvmpt 7010 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘Ž) = (๐‘Ž ยท ๐‘‹))
28 oveq1 7433 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
29 ovex 7459 . . . . . . . 8 (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ V
3028, 21, 29fvmpt 7010 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
3127, 30oveqan12d 7445 . . . . . 6 ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘)) = ((๐‘Ž ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
3231adantl 480 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘)) = ((๐‘Ž ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
3316, 24, 323eqtr4d 2778 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘)))
3433ralrimivva 3198 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘)))
35 eqid 2728 . . . . . . 7 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
364, 35srg0cl 20147 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ ๐ต)
3736adantr 479 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ ๐ต)
38 oveq1 7433 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (0gโ€˜๐‘…) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = ((0gโ€˜๐‘…) ยท ๐‘‹))
39 ovex 7459 . . . . . 6 ((0gโ€˜๐‘…) ยท ๐‘‹) โˆˆ V
4038, 21, 39fvmpt 7010 . . . . 5 ((0gโ€˜๐‘…) โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = ((0gโ€˜๐‘…) ยท ๐‘‹))
4137, 40syl 17 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = ((0gโ€˜๐‘…) ยท ๐‘‹))
424, 5, 35srglz 20155 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…))
4341, 42eqtrd 2768 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
449, 34, 433jca 1125 . 2 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)):๐ตโŸถ๐ต โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…)))
454, 4, 13, 13, 35, 35ismhm 18749 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)) โˆˆ (๐‘… MndHom ๐‘…) โ†” ((๐‘… โˆˆ Mnd โˆง ๐‘… โˆˆ Mnd) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)):๐ตโŸถ๐ต โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))))
463, 44, 45sylanbrc 581 1 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)) โˆˆ (๐‘… MndHom ๐‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058   โ†ฆ cmpt 5235  โŸถwf 6549  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  .rcmulr 17241  0gc0g 17428  Mndcmnd 18701   MndHom cmhm 18745  SRingcsrg 20133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-cmn 19744  df-mgp 20082  df-srg 20134
This theorem is referenced by:  srgsummulcr  20170
  Copyright terms: Public domain W3C validator