MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgrmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgrmhm 20124
Description: Right-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism, analogous to ringrghm 20209. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srglmhm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
srglmhm.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
srgrmhm ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)) โˆˆ (๐‘… MndHom ๐‘…))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ,๐‘‹   ๐‘ฅ, ยท

Proof of Theorem srgrmhm
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srgmnd 20092 . . . 4 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
21, 1jca 511 . . 3 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ (๐‘… โˆˆ Mnd โˆง ๐‘… โˆˆ Mnd))
32adantr 480 . 2 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘… โˆˆ Mnd โˆง ๐‘… โˆˆ Mnd))
4 srglmhm.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
5 srglmhm.t . . . . . . 7 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
64, 5srgcl 20095 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
763com23 1123 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
873expa 1115 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
98fmpttd 7109 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)):๐ตโŸถ๐ต)
10 3anrot 1097 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต))
11 3anass 1092 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)))
1210, 11bitr3i 277 . . . . . . 7 ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)))
13 eqid 2726 . . . . . . . 8 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
144, 13, 5srgdir 20100 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘Ž ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
1512, 14sylan2br 594 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต))) โ†’ ((๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘Ž ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
1615anassrs 467 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘Ž ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
174, 13srgacl 20107 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) โˆˆ ๐ต)
18173expb 1117 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) โˆˆ ๐ต)
1918adantlr 712 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) โˆˆ ๐ต)
20 oveq1 7411 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = ((๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) ยท ๐‘‹))
21 eqid 2726 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))
22 ovex 7437 . . . . . . 7 ((๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ V
2320, 21, 22fvmpt 6991 . . . . . 6 ((๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = ((๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) ยท ๐‘‹))
2419, 23syl 17 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = ((๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) ยท ๐‘‹))
25 oveq1 7411 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (๐‘Ž ยท ๐‘‹))
26 ovex 7437 . . . . . . . 8 (๐‘Ž ยท ๐‘‹) โˆˆ V
2725, 21, 26fvmpt 6991 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘Ž) = (๐‘Ž ยท ๐‘‹))
28 oveq1 7411 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
29 ovex 7437 . . . . . . . 8 (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ V
3028, 21, 29fvmpt 6991 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
3127, 30oveqan12d 7423 . . . . . 6 ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘)) = ((๐‘Ž ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
3231adantl 481 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘)) = ((๐‘Ž ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
3316, 24, 323eqtr4d 2776 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘)))
3433ralrimivva 3194 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘)))
35 eqid 2726 . . . . . . 7 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
364, 35srg0cl 20102 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ ๐ต)
3736adantr 480 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ ๐ต)
38 oveq1 7411 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (0gโ€˜๐‘…) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = ((0gโ€˜๐‘…) ยท ๐‘‹))
39 ovex 7437 . . . . . 6 ((0gโ€˜๐‘…) ยท ๐‘‹) โˆˆ V
4038, 21, 39fvmpt 6991 . . . . 5 ((0gโ€˜๐‘…) โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = ((0gโ€˜๐‘…) ยท ๐‘‹))
4137, 40syl 17 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = ((0gโ€˜๐‘…) ยท ๐‘‹))
424, 5, 35srglz 20110 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…))
4341, 42eqtrd 2766 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
449, 34, 433jca 1125 . 2 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)):๐ตโŸถ๐ต โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…)))
454, 4, 13, 13, 35, 35ismhm 18712 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)) โˆˆ (๐‘… MndHom ๐‘…) โ†” ((๐‘… โˆˆ Mnd โˆง ๐‘… โˆˆ Mnd) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)):๐ตโŸถ๐ต โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))))
463, 44, 45sylanbrc 582 1 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)) โˆˆ (๐‘… MndHom ๐‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055   โ†ฆ cmpt 5224  โŸถwf 6532  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  .rcmulr 17204  0gc0g 17391  Mndcmnd 18664   MndHom cmhm 18708  SRingcsrg 20088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-cmn 19699  df-mgp 20037  df-srg 20089
This theorem is referenced by:  srgsummulcr  20125
  Copyright terms: Public domain W3C validator