MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgrmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgrmhm 20240
Description: Right-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism, analogous to ringrghm 20327. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srglmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
srglmhm.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
srgrmhm ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, ·

Proof of Theorem srgrmhm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srgmnd 20208 . . . 4 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
21, 1jca 511 . . 3 (𝑅 ∈ SRing → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
32adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
4 srglmhm.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 srglmhm.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
64, 5srgcl 20211 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥𝐵𝑋𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
763com23 1125 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑥𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
873expa 1117 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
98fmpttd 7135 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵𝐵)
10 3anrot 1099 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵) ↔ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑋𝐵))
11 3anass 1094 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)))
1210, 11bitr3i 277 . . . . . . 7 ((𝑎𝐵𝑏𝐵𝑋𝐵) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)))
13 eqid 2735 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
144, 13, 5srgdir 20216 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋) = ((𝑎 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
1512, 14sylan2br 595 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵))) → ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋) = ((𝑎 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
1615anassrs 467 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋) = ((𝑎 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
174, 13srgacl 20223 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
18173expb 1119 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
1918adantlr 715 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
20 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑎(+g𝑅)𝑏) → (𝑥 · 𝑋) = ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋))
21 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))
22 ovex 7464 . . . . . . 7 ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋) ∈ V
2320, 21, 22fvmpt 7016 . . . . . 6 ((𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋))
2419, 23syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋))
25 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑎 · 𝑋))
26 ovex 7464 . . . . . . . 8 (𝑎 · 𝑋) ∈ V
2725, 21, 26fvmpt 7016 . . . . . . 7 (𝑎𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎) = (𝑎 · 𝑋))
28 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑏 · 𝑋))
29 ovex 7464 . . . . . . . 8 (𝑏 · 𝑋) ∈ V
3028, 21, 29fvmpt 7016 . . . . . . 7 (𝑏𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏) = (𝑏 · 𝑋))
3127, 30oveqan12d 7450 . . . . . 6 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) = ((𝑎 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
3231adantl 481 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) = ((𝑎 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
3316, 24, 323eqtr4d 2785 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)))
3433ralrimivva 3200 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)))
35 eqid 2735 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
364, 35srg0cl 20218 . . . . . 6 (𝑅 ∈ SRing → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
3736adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
38 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝑅) → (𝑥 · 𝑋) = ((0g𝑅) · 𝑋))
39 ovex 7464 . . . . . 6 ((0g𝑅) · 𝑋) ∈ V
4038, 21, 39fvmpt 7016 . . . . 5 ((0g𝑅) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g𝑅)) = ((0g𝑅) · 𝑋))
4137, 40syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g𝑅)) = ((0g𝑅) · 𝑋))
424, 5, 35srglz 20226 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ((0g𝑅) · 𝑋) = (0g𝑅))
4341, 42eqtrd 2775 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g𝑅)) = (0g𝑅))
449, 34, 433jca 1127 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g𝑅)) = (0g𝑅)))
454, 4, 13, 13, 35, 35ismhm 18811 . 2 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g𝑅)) = (0g𝑅))))
463, 44, 45sylanbrc 583 1 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  Mndcmnd 18760   MndHom cmhm 18807  SRingcsrg 20204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-cmn 19815  df-mgp 20153  df-srg 20205
This theorem is referenced by:  srgsummulcr  20241
  Copyright terms: Public domain W3C validator