Theorem srgrmhm 20169

Description: Right-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism, analogous to ringrghm 20256. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srglmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srglmhm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgrmhm	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, ·

Proof of Theorem srgrmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgmnd 20137	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
2	1, 1	jca 510	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
3	2	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
4		srglmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		srglmhm.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	srgcl 20140	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	6	3com23 1123	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
8	7	3expa 1115	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
9	8	fmpttd 7130	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵⟶𝐵)
10		3anrot 1097	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ↔ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
11		3anass 1092	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)))
12	10, 11	bitr3i 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)))
13		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
14	4, 13, 5	srgdir 20145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋) = ((𝑎 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
15	12, 14	sylan2br 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵))) → ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋) = ((𝑎 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
16	15	anassrs 466	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋) = ((𝑎 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
17	4, 13	srgacl 20152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
18	17	3expb 1117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
19	18	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
20		oveq1 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) → (𝑥 · 𝑋) = ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋))
21		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))
22		ovex 7459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋) ∈ V
23	20, 21, 22	fvmpt 7010	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋))
24	19, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋))
25		oveq1 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑎 · 𝑋))
26		ovex 7459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 · 𝑋) ∈ V
27	25, 21, 26	fvmpt 7010	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎) = (𝑎 · 𝑋))
28		oveq1 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑏 · 𝑋))
29		ovex 7459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 · 𝑋) ∈ V
30	28, 21, 29	fvmpt 7010	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏) = (𝑏 · 𝑋))
31	27, 30	oveqan12d 7445	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) = ((𝑎 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
32	31	adantl 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) = ((𝑎 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
33	16, 24, 32	3eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)))
34	33	ralrimivva 3198	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)))
35		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
36	4, 35	srg0cl 20147	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
37	36	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
38		oveq1 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (𝑥 · 𝑋) = ((0g‘𝑅) · 𝑋))
39		ovex 7459	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝑅) · 𝑋) ∈ V
40	38, 21, 39	fvmpt 7010	. . . . 5 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅) · 𝑋))
41	37, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅) · 𝑋))
42	4, 5, 35	srglz 20155	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) · 𝑋) = (0g‘𝑅))
43	41, 42	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
44	9, 34, 43	3jca 1125	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
45	4, 4, 13, 13, 35, 35	ismhm 18749	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))))
46	3, 44, 45	sylanbrc 581	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3058   ↦ cmpt 5235  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +_gcplusg 17240  ._rcmulr 17241  0_gc0g 17428  Mndcmnd 18701   MndHom cmhm 18745  SRingcsrg 20133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-cmn 19744  df-mgp 20082  df-srg 20134

This theorem is referenced by:  srgsummulcr  20170