MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgrmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgrmhm 18999
Description: Right-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism, analogous to ringrghm 19068. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srglmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
srglmhm.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
srgrmhm ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, ·

Proof of Theorem srgrmhm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srgmnd 18972 . . . 4 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
21, 1jca 504 . . 3 (𝑅 ∈ SRing → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
32adantr 473 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
4 srglmhm.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 srglmhm.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
64, 5srgcl 18975 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥𝐵𝑋𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
763com23 1106 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑥𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
873expa 1098 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
98fmpttd 6696 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵𝐵)
10 3anrot 1081 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵) ↔ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑋𝐵))
11 3anass 1076 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)))
1210, 11bitr3i 269 . . . . . . 7 ((𝑎𝐵𝑏𝐵𝑋𝐵) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)))
13 eqid 2772 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
144, 13, 5srgdir 18980 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋) = ((𝑎 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
1512, 14sylan2br 585 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵))) → ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋) = ((𝑎 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
1615anassrs 460 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋) = ((𝑎 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
174, 13srgacl 18987 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
18173expb 1100 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
1918adantlr 702 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
20 oveq1 6977 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑎(+g𝑅)𝑏) → (𝑥 · 𝑋) = ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋))
21 eqid 2772 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))
22 ovex 7002 . . . . . . 7 ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋) ∈ V
2320, 21, 22fvmpt 6589 . . . . . 6 ((𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋))
2419, 23syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝑎(+g𝑅)𝑏) · 𝑋))
25 oveq1 6977 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑎 · 𝑋))
26 ovex 7002 . . . . . . . 8 (𝑎 · 𝑋) ∈ V
2725, 21, 26fvmpt 6589 . . . . . . 7 (𝑎𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎) = (𝑎 · 𝑋))
28 oveq1 6977 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑏 · 𝑋))
29 ovex 7002 . . . . . . . 8 (𝑏 · 𝑋) ∈ V
3028, 21, 29fvmpt 6589 . . . . . . 7 (𝑏𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏) = (𝑏 · 𝑋))
3127, 30oveqan12d 6989 . . . . . 6 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) = ((𝑎 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
3231adantl 474 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) = ((𝑎 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
3316, 24, 323eqtr4d 2818 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)))
3433ralrimivva 3135 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)))
35 eqid 2772 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
364, 35srg0cl 18982 . . . . . 6 (𝑅 ∈ SRing → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
3736adantr 473 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
38 oveq1 6977 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝑅) → (𝑥 · 𝑋) = ((0g𝑅) · 𝑋))
39 ovex 7002 . . . . . 6 ((0g𝑅) · 𝑋) ∈ V
4038, 21, 39fvmpt 6589 . . . . 5 ((0g𝑅) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g𝑅)) = ((0g𝑅) · 𝑋))
4137, 40syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g𝑅)) = ((0g𝑅) · 𝑋))
424, 5, 35srglz 18990 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ((0g𝑅) · 𝑋) = (0g𝑅))
4341, 42eqtrd 2808 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g𝑅)) = (0g𝑅))
449, 34, 433jca 1108 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g𝑅)) = (0g𝑅)))
454, 4, 13, 13, 35, 35ismhm 17795 . 2 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g𝑅)) = (0g𝑅))))
463, 44, 45sylanbrc 575 1 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048  wral 3082  cmpt 5002  wf 6178  cfv 6182  (class class class)co 6970  Basecbs 16329  +gcplusg 16411  .rcmulr 16412  0gc0g 16559  Mndcmnd 17752   MndHom cmhm 17791  SRingcsrg 18968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-plusg 16424  df-0g 16561  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-mhm 17793  df-cmn 18658  df-mgp 18953  df-srg 18969
This theorem is referenced by:  srgsummulcr  19000
  Copyright terms: Public domain W3C validator