MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgmulgass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgmulgass 20159
Description: An associative property between group multiple and ring multiplication for semirings. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgmulgass.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
srgmulgass.m ยท = (.gโ€˜๐‘…)
srgmulgass.t ร— = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
srgmulgass ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))

Proof of Theorem srgmulgass
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7422 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (0 ยท ๐‘‹))
21oveq1d 7430 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((0 ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
3 oveq1 7422 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
42, 3eqeq12d 2741 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” ((0 ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
54imbi2d 339 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))) โ†” (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ((0 ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))))
6 oveq1 7422 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))
76oveq1d 7430 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
8 oveq1 7422 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
97, 8eqeq12d 2741 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
109imbi2d 339 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))) โ†” (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))))
11 oveq1 7422 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹))
1211oveq1d 7430 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
13 oveq1 7422 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
1412, 13eqeq12d 2741 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
1514imbi2d 339 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ((((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))) โ†” (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))))
16 oveq1 7422 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
1716oveq1d 7430 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
18 oveq1 7422 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
1917, 18eqeq12d 2741 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
2019imbi2d 339 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))) โ†” (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))))
21 simpr 483 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
22 simpr 483 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
2322adantr 479 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
24 srgmulgass.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
25 srgmulgass.t . . . . . . . 8 ร— = (.rโ€˜๐‘…)
26 eqid 2725 . . . . . . . 8 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
2724, 25, 26srglz 20150 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) ร— ๐‘Œ) = (0gโ€˜๐‘…))
2821, 23, 27syl2anc 582 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) ร— ๐‘Œ) = (0gโ€˜๐‘…))
29 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
3029adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
31 srgmulgass.m . . . . . . . . 9 ยท = (.gโ€˜๐‘…)
3224, 26, 31mulg0 19032 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…))
3330, 32syl 17 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…))
3433oveq1d 7430 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ((0 ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((0gโ€˜๐‘…) ร— ๐‘Œ))
3524, 25srgcl 20135 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
3621, 30, 23, 35syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
3724, 26, 31mulg0 19032 . . . . . . 7 ((๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (0gโ€˜๐‘…))
3836, 37syl 17 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (0gโ€˜๐‘…))
3928, 34, 383eqtr4d 2775 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ((0 ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
40 srgmnd 20132 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
4140adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
4241adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
43 simpl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
4430adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
45 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
4624, 31, 45mulgnn0p1 19042 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹))
4742, 43, 44, 46syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹))
4847oveq1d 7430 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
4921adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
5024, 31, 42, 43, 44mulgnn0cld 19052 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
5123adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
5224, 45, 25srgdir 20140 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
5349, 50, 44, 51, 52syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
5448, 53eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
5554adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
56 oveq1 7422 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
57353expb 1117 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
5857ancoms 457 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
5958adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
6024, 31, 45mulgnn0p1 19042 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
6142, 43, 59, 60syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
6261eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ ((๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
6356, 62sylan9eqr 2787 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
6455, 63eqtrd 2765 . . . . . . 7 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
6564exp31 418 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))))
6665a2d 29 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))) โ†’ (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))))
675, 10, 15, 20, 39, 66nn0ind 12685 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
6867expd 414 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))))
69683impib 1113 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
7069impcom 406 1 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139  โ„•0cn0 12500  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  .rcmulr 17231  0gc0g 17418  Mndcmnd 18691  .gcmg 19025  SRingcsrg 20128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-seq 13997  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-plusg 17243  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mulg 19026  df-cmn 19739  df-mgp 20077  df-srg 20129
This theorem is referenced by:  srgpcomppsc  20162  srgbinomlem4  20171
  Copyright terms: Public domain W3C validator