MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgmulgass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgmulgass 20122
Description: An associative property between group multiple and ring multiplication for semirings. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgmulgass.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
srgmulgass.m ยท = (.gโ€˜๐‘…)
srgmulgass.t ร— = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
srgmulgass ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))

Proof of Theorem srgmulgass
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (0 ยท ๐‘‹))
21oveq1d 7420 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((0 ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
3 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
42, 3eqeq12d 2742 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” ((0 ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
54imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))) โ†” (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ((0 ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))))
6 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))
76oveq1d 7420 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
8 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
97, 8eqeq12d 2742 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
109imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))) โ†” (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))))
11 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹))
1211oveq1d 7420 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
13 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
1412, 13eqeq12d 2742 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
1514imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ((((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))) โ†” (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))))
16 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
1716oveq1d 7420 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
18 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
1917, 18eqeq12d 2742 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
2019imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))) โ†” (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))))
21 simpr 484 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
22 simpr 484 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
2322adantr 480 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
24 srgmulgass.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
25 srgmulgass.t . . . . . . . 8 ร— = (.rโ€˜๐‘…)
26 eqid 2726 . . . . . . . 8 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
2724, 25, 26srglz 20113 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) ร— ๐‘Œ) = (0gโ€˜๐‘…))
2821, 23, 27syl2anc 583 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) ร— ๐‘Œ) = (0gโ€˜๐‘…))
29 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
3029adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
31 srgmulgass.m . . . . . . . . 9 ยท = (.gโ€˜๐‘…)
3224, 26, 31mulg0 19002 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…))
3330, 32syl 17 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…))
3433oveq1d 7420 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ((0 ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((0gโ€˜๐‘…) ร— ๐‘Œ))
3524, 25srgcl 20098 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
3621, 30, 23, 35syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
3724, 26, 31mulg0 19002 . . . . . . 7 ((๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (0gโ€˜๐‘…))
3836, 37syl 17 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (0gโ€˜๐‘…))
3928, 34, 383eqtr4d 2776 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ((0 ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
40 srgmnd 20095 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
4241adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
43 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
4430adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
45 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
4624, 31, 45mulgnn0p1 19012 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹))
4742, 43, 44, 46syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹))
4847oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
4921adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
5024, 31, 42, 43, 44mulgnn0cld 19022 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
5123adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
5224, 45, 25srgdir 20103 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
5349, 50, 44, 51, 52syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
5448, 53eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
5554adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
56 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
57353expb 1117 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
5857ancoms 458 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
5958adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
6024, 31, 45mulgnn0p1 19012 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
6142, 43, 59, 60syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
6261eqcomd 2732 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โ†’ ((๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
6356, 62sylan9eqr 2788 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
6455, 63eqtrd 2766 . . . . . . 7 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing)) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
6564exp31 419 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))))
6665a2d 29 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))) โ†’ (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))))
675, 10, 15, 20, 39, 66nn0ind 12661 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘… โˆˆ SRing) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
6867expd 415 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))))
69683impib 1113 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
7069impcom 407 1 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  โ„•0cn0 12476  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  0gc0g 17394  Mndcmnd 18667  .gcmg 18995  SRingcsrg 20091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mulg 18996  df-cmn 19702  df-mgp 20040  df-srg 20092
This theorem is referenced by:  srgpcomppsc  20125  srgbinomlem4  20134
  Copyright terms: Public domain W3C validator