MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgdilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgdilem 20097
Description: Lemma for srgdi 20102 and srgdir 20103. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
srgdilem.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
srgdilem.p + = (+gโ€˜๐‘…)
srgdilem.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
srgdilem ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ ยท (๐‘Œ + ๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) + (๐‘‹ ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘‹ + ๐‘Œ) ยท ๐‘) = ((๐‘‹ ยท ๐‘) + (๐‘Œ ยท ๐‘))))

Proof of Theorem srgdilem
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srgdilem.b . . . . . . . . . . 11 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
2 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
3 srgdilem.p . . . . . . . . . . 11 + = (+gโ€˜๐‘…)
4 srgdilem.t . . . . . . . . . . 11 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
5 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
61, 2, 3, 4, 5issrg 20093 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ SRing โ†” (๐‘… โˆˆ CMnd โˆง (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) โˆง (((0gโ€˜๐‘…) ยท ๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐‘ฅ ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…)))))
76simp3bi 1144 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) โˆง (((0gโ€˜๐‘…) ยท ๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐‘ฅ ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))))
87r19.21bi 3242 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) โˆง (((0gโ€˜๐‘…) ยท ๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐‘ฅ ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))))
98simpld 494 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
1093ad2antr1 1185 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
11 simpr2 1192 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
12 rsp 3238 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))))
1310, 11, 12sylc 65 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
14 simpr3 1193 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ต)
15 rsp 3238 . . . . 5 (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))) โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))))
1613, 14, 15sylc 65 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
1716simpld 494 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)))
1817caovdig 7618 . 2 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘Œ + ๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) + (๐‘‹ ยท ๐‘)))
1916simprd 495 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
2019caovdirg 7621 . 2 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ + ๐‘Œ) ยท ๐‘) = ((๐‘‹ ยท ๐‘) + (๐‘Œ ยท ๐‘)))
2118, 20jca 511 1 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ ยท (๐‘Œ + ๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) + (๐‘‹ ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘‹ + ๐‘Œ) ยท ๐‘) = ((๐‘‹ ยท ๐‘) + (๐‘Œ ยท ๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  0gc0g 17394  Mndcmnd 18667  CMndccmn 19700  mulGrpcmgp 20039  SRingcsrg 20091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-nul 5299
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-iota 6489  df-fv 6545  df-ov 7408  df-srg 20092
This theorem is referenced by:  srgdi  20102  srgdir  20103
  Copyright terms: Public domain W3C validator