Theorem srgo2times 20190

Description: A semiring element plus itself is two times the element. "Two" in an arbitrary (unital) semiring is the sum of the unity element with itself. (Contributed by AV, 24-Aug-2021.) Variant of o2timesd 20188 for semirings. (Revised by AV, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgo2times.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgo2times.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
srgo2times.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
srgo2times.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgo2times	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 + 𝐴) = (( 1 + 1 ) · 𝐴))

Proof of Theorem srgo2times

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgo2times.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		srgo2times.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
3		srgo2times.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	srgdir 20176	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
5	4	ralrimivvva 3184	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
7		srgo2times.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8	1, 7	srgidcl 20177	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 1 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
10	1, 3, 7	srglidm 20180	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
11	10	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
12	11	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
13		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
14	6, 9, 12, 13	o2timesd 20188	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 + 𝐴) = (( 1 + 1 ) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364  Basecbs 17176  +_gcplusg 17217  ._rcmulr 17218  1_rcur 20159  SRingcsrg 20164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-om 7815  df-2nd 7940  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-nn 12172  df-2 12241  df-sets 17131  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-base 17177  df-plusg 17230  df-0g 17401  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mgp 20119  df-ur 20160  df-srg 20165

This theorem is referenced by: (None)