Theorem srgcom4lem 20165

Description: Lemma for srgcom4 20166. This (formerly) part of the proof for ringcom 20228 is applicable for semirings (without using the commutativity of the addition given per definition of a semiring). (Contributed by Gérard Lang, 4-Dec-2014.) (Revised by AV, 1-Feb-2025.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgcom4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgcom4.p	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgcom4lem	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))

Proof of Theorem srgcom4lem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgcom4.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		srgcom4.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
3		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	srgdir 20150	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧) + (𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
5	4	ralrimivvva 3193	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧) + (𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
6	5	3ad2ant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧) + (𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
7		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8	1, 7	srgidcl 20151	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
9	8	3ad2ant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
10	1, 3, 7	srglidm 20154	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
11	10	ralrimiva 3135	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
12	11	3ad2ant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
13		simp2 1134	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	1, 2	srgacl 20157	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
15	14	3expb 1117	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
16	15	ralrimivva 3190	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
17	16	3ad2ant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
18	1, 2, 3	srgdi 20149	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) + (𝑥(.r‘𝑅)𝑧)))
19	18	ralrimivvva 3193	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) + (𝑥(.r‘𝑅)𝑧)))
20	19	3ad2ant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) + (𝑥(.r‘𝑅)𝑧)))
21		simp3 1135	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
22	6, 9, 12, 13, 17, 20, 21	rglcom4d 20163	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  +_gcplusg 17236  ._rcmulr 17237  1_rcur 20133  SRingcsrg 20138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-plusg 17249  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-cmn 19749  df-mgp 20087  df-ur 20134  df-srg 20139

This theorem is referenced by:  srgcom4  20166