Theorem srgcom4lem 20178

Description: Lemma for srgcom4 20179. This (formerly) part of the proof for ringcom 20245 is applicable for semirings (without using the commutativity of the addition given per definition of a semiring). (Contributed by Gérard Lang, 4-Dec-2014.) (Revised by AV, 1-Feb-2025.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgcom4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgcom4.p	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgcom4lem	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))

Proof of Theorem srgcom4lem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgcom4.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		srgcom4.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	srgdir 20163	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧) + (𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
5	4	ralrimivvva 3191	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧) + (𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
6	5	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧) + (𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8	1, 7	srgidcl 20164	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
9	8	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
10	1, 3, 7	srglidm 20167	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
11	10	ralrimiva 3133	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
12	11	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
13		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	1, 2	srgacl 20170	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
15	14	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
16	15	ralrimivva 3188	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
17	16	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
18	1, 2, 3	srgdi 20162	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) + (𝑥(.r‘𝑅)𝑧)))
19	18	ralrimivvva 3191	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) + (𝑥(.r‘𝑅)𝑧)))
20	19	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) + (𝑥(.r‘𝑅)𝑧)))
21		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
22	6, 9, 12, 13, 17, 20, 21	rglcom4d 20176	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  ._rcmulr 17277  1_rcur 20146  SRingcsrg 20151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-cmn 19768  df-mgp 20106  df-ur 20147  df-srg 20152

This theorem is referenced by:  srgcom4  20179