Theorem srgcom4lem 20472

Description: Lemma for srgcom4 20473. This (formerly) part of the proof for ringcom 20542 is applicable for semirings (without using the commutativity of the addition given per definition of a semiring). (Contributed by Gérard Lang, 4-Dec-2014.) (Revised by AV, 1-Feb-2025.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgcom4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgcom4.p	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgcom4lem	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))

Proof of Theorem srgcom4lem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgcom4.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		srgcom4.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	srgdir 20457	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧) + (𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
5	4	ralrimivvva 3212	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧) + (𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
6	5	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧) + (𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8	1, 7	srgidcl 20458	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
9	8	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
10	1, 3, 7	srglidm 20461	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
11	10	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
12	11	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
13		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	1, 2	srgacl 20464	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
15	14	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
16	15	ralrimivva 3209	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
17	16	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
18	1, 2, 3	srgdi 20456	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) + (𝑥(.r‘𝑅)𝑧)))
19	18	ralrimivvva 3212	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) + (𝑥(.r‘𝑅)𝑧)))
20	19	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) + (𝑥(.r‘𝑅)𝑧)))
21		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
22	6, 9, 12, 13, 17, 20, 21	rglcom4d 20470	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419  +_gcplusg 17460  ._rcmulr 17461  1_rcur 20440  SRingcsrg 20445

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-plusg 17473  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-cmn 20029  df-mgp 20394  df-ur 20441  df-srg 20446

This theorem is used by:  srgcom4  20473