Theorem tlmlmod 23913

Description: A topological module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tlmlmod	⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem tlmlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ( ·sf ‘𝑊) = ( ·sf ‘𝑊)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
3		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) = (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))
5	1, 2, 3, 4	istlm 23909	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod ↔ ((𝑊 ∈ TopMnd ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ TopRing) ∧ ( ·sf ‘𝑊) ∈ (((TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) ×t (TopOpen‘𝑊)) Cn (TopOpen‘𝑊))))
6	5	simplbi 496	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (𝑊 ∈ TopMnd ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ TopRing))
7	6	simp2d 1141	1 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Scalarcsca 17204  TopOpenctopn 17371  LModclmod 20614   ·_sf cscaf 20615   Cn ccn 22948   ×_t ctx 23284  TopMndctmd 23794  TopRingctrg 23880  TopModctlm 23882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2701

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-iota 6494  df-fv 6550  df-ov 7414  df-tlm 23886

This theorem is referenced by:  tlmtgp  23920  tvclmod  23922