Theorem tlmlmod 24397

Description: A topological module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tlmlmod	⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem tlmlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ( ·sf ‘𝑊) = ( ·sf ‘𝑊)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
3		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) = (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))
5	1, 2, 3, 4	istlm 24393	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod ↔ ((𝑊 ∈ TopMnd ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ TopRing) ∧ ( ·sf ‘𝑊) ∈ (((TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) ×t (TopOpen‘𝑊)) Cn (TopOpen‘𝑊))))
6	5	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (𝑊 ∈ TopMnd ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ TopRing))
7	6	simp2d 1161	1 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ LMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Scalarcsca 17335  TopOpenctopn 17496  LModclmod 21031   ·_sf cscaf 21032   Cn ccn 23431   ×_t ctx 23768  TopMndctmd 24278  TopRingctrg 24364  TopModctlm 24366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-iota 6496  df-fv 6548  df-ov 7422  df-tlm 24370

This theorem is used by:  tlmtgp  24404  tvclmod  24406