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Theorem ska4 433
Description: Soundness theorem for Kalmbach's quantum propositional logic axiom KA4. (Contributed by NM, 9-Nov-1998.)
Assertion
Ref Expression
ska4 ((ab) ∪ ((ac) ≡ (bc))) = 1

Proof of Theorem ska4
StepHypRef Expression
1 dfnb 95 . . 3 (ab) = ((ab) ∩ (ab ))
2 dfb 94 . . 3 ((ac) ≡ (bc)) = (((ac) ∩ (bc)) ∪ ((ac) ∩ (bc) ))
31, 22or 72 . 2 ((ab) ∪ ((ac) ≡ (bc))) = (((ab) ∩ (ab )) ∪ (((ac) ∩ (bc)) ∪ ((ac) ∩ (bc) )))
4 ax-a2 31 . 2 (((ab) ∩ (ab )) ∪ (((ac) ∩ (bc)) ∪ ((ac) ∩ (bc) ))) = ((((ac) ∩ (bc)) ∪ ((ac) ∩ (bc) )) ∪ ((ab) ∩ (ab )))
5 ax-a3 32 . . 3 ((((ac) ∩ (bc)) ∪ ((ac) ∩ (bc) )) ∪ ((ab) ∩ (ab ))) = (((ac) ∩ (bc)) ∪ (((ac) ∩ (bc) ) ∪ ((ab) ∩ (ab ))))
6 le1 146 . . . . . . . . 9 (((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab)) ≤ 1
7 df-t 41 . . . . . . . . . . 11 1 = ((ab ) ∪ (ab ) )
8 oran 87 . . . . . . . . . . . . 13 (ab) = (ab )
98lor 70 . . . . . . . . . . . 12 ((ab ) ∪ (ab)) = ((ab ) ∪ (ab ) )
109ax-r1 35 . . . . . . . . . . 11 ((ab ) ∪ (ab ) ) = ((ab ) ∪ (ab))
117, 10ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 1 = ((ab ) ∪ (ab))
12 lea 160 . . . . . . . . . . . . 13 (ac) ≤ a
1312lecon 154 . . . . . . . . . . . 12 a ≤ (ac)
14 lea 160 . . . . . . . . . . . . 13 (bc) ≤ b
1514lecon 154 . . . . . . . . . . . 12 b ≤ (bc)
1613, 15le2an 169 . . . . . . . . . . 11 (ab ) ≤ ((ac) ∩ (bc) )
1716leror 152 . . . . . . . . . 10 ((ab ) ∪ (ab)) ≤ (((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab))
1811, 17bltr 138 . . . . . . . . 9 1 ≤ (((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab))
196, 18lebi 145 . . . . . . . 8 (((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab)) = 1
2019ran 78 . . . . . . 7 ((((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab)) ∩ (((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab ))) = (1 ∩ (((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab )))
21 ancom 74 . . . . . . 7 (1 ∩ (((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab ))) = ((((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab )) ∩ 1)
22 an1 106 . . . . . . 7 ((((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab )) ∩ 1) = (((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab ))
2320, 21, 223tr 65 . . . . . 6 ((((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab)) ∩ (((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab ))) = (((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab ))
2423lor 70 . . . . 5 (((ac) ∩ (bc)) ∪ ((((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab)) ∩ (((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab )))) = (((ac) ∩ (bc)) ∪ (((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab )))
25 le1 146 . . . . . 6 (((ac) ∩ (bc)) ∪ (((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab ))) ≤ 1
26 df-t 41 . . . . . . . 8 1 = (((ab) ∩ c) ∪ ((ab) ∩ c) )
27 anandir 115 . . . . . . . . 9 ((ab) ∩ c) = ((ac) ∩ (bc))
28 oran3 93 . . . . . . . . . . . . 13 (ab ) = (ab)
2928ax-r5 38 . . . . . . . . . . . 12 ((ab ) ∪ c ) = ((ab)c )
30 oran3 93 . . . . . . . . . . . 12 ((ab)c ) = ((ab) ∩ c)
3129, 30ax-r2 36 . . . . . . . . . . 11 ((ab ) ∪ c ) = ((ab) ∩ c)
3231ax-r1 35 . . . . . . . . . 10 ((ab) ∩ c) = ((ab ) ∪ c )
33 ax-a2 31 . . . . . . . . . 10 ((ab ) ∪ c ) = (c ∪ (ab ))
3432, 33ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((ab) ∩ c) = (c ∪ (ab ))
3527, 342or 72 . . . . . . . 8 (((ab) ∩ c) ∪ ((ab) ∩ c) ) = (((ac) ∩ (bc)) ∪ (c ∪ (ab )))
3626, 35ax-r2 36 . . . . . . 7 1 = (((ac) ∩ (bc)) ∪ (c ∪ (ab )))
37 lear 161 . . . . . . . . . . 11 (ac) ≤ c
3837lecon 154 . . . . . . . . . 10 c ≤ (ac)
39 lear 161 . . . . . . . . . . 11 (bc) ≤ c
4039lecon 154 . . . . . . . . . 10 c ≤ (bc)
4138, 40ler2an 173 . . . . . . . . 9 c ≤ ((ac) ∩ (bc) )
4241leror 152 . . . . . . . 8 (c ∪ (ab )) ≤ (((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab ))
4342lelor 166 . . . . . . 7 (((ac) ∩ (bc)) ∪ (c ∪ (ab ))) ≤ (((ac) ∩ (bc)) ∪ (((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab )))
4436, 43bltr 138 . . . . . 6 1 ≤ (((ac) ∩ (bc)) ∪ (((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab )))
4525, 44lebi 145 . . . . 5 (((ac) ∩ (bc)) ∪ (((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab ))) = 1
4624, 45ax-r2 36 . . . 4 (((ac) ∩ (bc)) ∪ ((((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab)) ∩ (((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab )))) = 1
47 wlea 388 . . . . . . . . . . 11 ((ac) ≤2 a) = 1
48 wleo 387 . . . . . . . . . . 11 (a2 (ab)) = 1
4947, 48wletr 396 . . . . . . . . . 10 ((ac) ≤2 (ab)) = 1
5049wlecom 409 . . . . . . . . 9 C ((ac), (ab)) = 1
5150wcomcom 414 . . . . . . . 8 C ((ab), (ac)) = 1
5251wcomcom2 415 . . . . . . 7 C ((ab), (ac) ) = 1
53 wlea 388 . . . . . . . . . . 11 ((bc) ≤2 b) = 1
54 wleo 387 . . . . . . . . . . . 12 (b2 (ba)) = 1
55 ax-a2 31 . . . . . . . . . . . . 13 (ba) = (ab)
5655bi1 118 . . . . . . . . . . . 12 ((ba) ≡ (ab)) = 1
5754, 56wlbtr 398 . . . . . . . . . . 11 (b2 (ab)) = 1
5853, 57wletr 396 . . . . . . . . . 10 ((bc) ≤2 (ab)) = 1
5958wlecom 409 . . . . . . . . 9 C ((bc), (ab)) = 1
6059wcomcom 414 . . . . . . . 8 C ((ab), (bc)) = 1
6160wcomcom2 415 . . . . . . 7 C ((ab), (bc) ) = 1
6252, 61wcom2an 428 . . . . . 6 C ((ab), ((ac) ∩ (bc) )) = 1
63 wcomorr 412 . . . . . . . . 9 C (a, (ab)) = 1
6463wcomcom 414 . . . . . . . 8 C ((ab), a) = 1
6564wcomcom2 415 . . . . . . 7 C ((ab), a ) = 1
66 wcomorr 412 . . . . . . . . . 10 C (b, (ba)) = 1
6766, 56wcbtr 411 . . . . . . . . 9 C (b, (ab)) = 1
6867wcomcom 414 . . . . . . . 8 C ((ab), b) = 1
6968wcomcom2 415 . . . . . . 7 C ((ab), b ) = 1
7065, 69wcom2or 427 . . . . . 6 C ((ab), (ab )) = 1
7162, 70wfh4 426 . . . . 5 ((((ac) ∩ (bc) ) ∪ ((ab) ∩ (ab ))) ≡ ((((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab)) ∩ (((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab )))) = 1
7271wlor 368 . . . 4 ((((ac) ∩ (bc)) ∪ (((ac) ∩ (bc) ) ∪ ((ab) ∩ (ab )))) ≡ (((ac) ∩ (bc)) ∪ ((((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab)) ∩ (((ac) ∩ (bc) ) ∪ (ab ))))) = 1
7346, 72wwbmpr 206 . . 3 (((ac) ∩ (bc)) ∪ (((ac) ∩ (bc) ) ∪ ((ab) ∩ (ab )))) = 1
745, 73ax-r2 36 . 2 ((((ac) ∩ (bc)) ∪ ((ac) ∩ (bc) )) ∪ ((ab) ∩ (ab ))) = 1
753, 4, 743tr 65 1 ((ab) ∪ ((ac) ≡ (bc))) = 1
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1   wn 4  tb 5  wo 6  wa 7  1wt 8
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-wom 361
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i1 44  df-i2 45  df-le 129  df-le1 130  df-le2 131  df-cmtr 134
This theorem is referenced by:  wom2  434  u3lemax4  796
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