Theorem 12gcd5e1 39141

Description: The gcd of 12 and 5 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
12gcd5e1	⊢ (;12 gcd 5) = 1

Proof of Theorem 12gcd5e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lt5 11803	. . . . . 6 ⊢ 2 < 5
2	1	olci 862	. . . . 5 ⊢ (5 < 2 ∨ 2 < 5)
3		5re 11711	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		2re 11698	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		lttri2 10709	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5)))
6	3, 4, 5	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (5 ≠ 2 ↔ (5 < 2 ∨ 2 < 5))
7	2, 6	mpbir 233	. . . 4 ⊢ 5 ≠ 2
8		5prm 16425	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℙ
9		2prm 16019	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℙ
10		prmrp 16039	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2))
11	8, 9, 10	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ((5 gcd 2) = 1 ↔ 5 ≠ 2)
12	7, 11	mpbir 233	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = 1
13		5nn 11710	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
14		2nn 11697	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	nnzi 11993	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	13, 14, 15	gcdaddmzz2nncomi 39139	. . . 4 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ((2 · 5) + 2))
17	13, 14	mulcomnni 39133	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = (2 · 5)
18		5t2e10 12185	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
19	17, 18	eqtr3i 2846	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
20	19	oveq1i 7152	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = (;10 + 2)
21		1nn0 11900	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22		0nn0 11899	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23	14	nnnn0i 11892	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ ;10 = ;10
25	23	dec0h 12107	. . . . . . 7 ⊢ 2 = ;02
26		1p0e1 11748	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 0) = 1
27		2cn 11699	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	27	addid2i 10814	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
29	21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 28	decadd 12139	. . . . . 6 ⊢ (;10 + 2) = ;12
30	20, 29	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
31	30	oveq2i 7153	. . . 4 ⊢ (5 gcd ((2 · 5) + 2)) = (5 gcd ;12)
32	16, 31	eqtri 2844	. . 3 ⊢ (5 gcd 2) = (5 gcd ;12)
33	12, 32	eqtr3i 2846	. 2 ⊢ 1 = (5 gcd ;12)
34	21, 14	decnncl 12105	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
35	13, 34	gcdcomnni 39134	. 2 ⊢ (5 gcd ;12) = (;12 gcd 5)
36	33, 35	eqtr2i 2845	1 ⊢ (;12 gcd 5) = 1

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   class class class wbr 5052  (class class class)co 7142  ℝcr 10522  0cc0 10523  1c1 10524   + caddc 10526   · cmul 10528   < clt 10661  2c2 11679  5c5 11682  ;cdc 12085   gcd cgcd 15826  ℙcprime 15998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600  ax-pre-sup 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-div 11284  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-4 11689  df-5 11690  df-6 11691  df-7 11692  df-8 11693  df-9 11694  df-n0 11885  df-z 11969  df-dec 12086  df-uz 12231  df-rp 12377  df-fz 12883  df-seq 13360  df-exp 13420  df-cj 14443  df-re 14444  df-im 14445  df-sqrt 14579  df-abs 14580  df-dvds 15593  df-gcd 15827  df-prm 15999

This theorem is referenced by:  12lcm5e60  39146