MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2prm 15329
Description: 2 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
2prm 2 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2prm
StepHypRef Expression
1 2z 11353 . . 3 2 ∈ ℤ
2 1lt2 11138 . . 3 1 < 2
3 eluz2b1 11703 . . 3 (2 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
41, 2, 3mpbir2an 954 . 2 2 ∈ (ℤ‘2)
5 ral0 4048 . . 3 𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2
6 fzssuz 12324 . . . . . 6 (2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ‘2)
7 df-ss 3569 . . . . . 6 ((2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ‘2) ↔ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ‘2)) = (2...(2 − 1)))
86, 7mpbi 220 . . . . 5 ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ‘2)) = (2...(2 − 1))
9 uzdisj 12354 . . . . 5 ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ‘2)) = ∅
108, 9eqtr3i 2645 . . . 4 (2...(2 − 1)) = ∅
1110raleqi 3131 . . 3 (∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2)
125, 11mpbir 221 . 2 𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2
13 isprm3 15320 . 2 (2 ∈ ℙ ↔ (2 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2))
144, 12, 13mpbir2an 954 1 2 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  cin 3554  wss 3555  c0 3891   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  1c1 9881   < clt 10018  cmin 10210  2c2 11014  cz 11321  cuz 11631  ...cfz 12268  cdvds 14907  cprime 15309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-prm 15310
This theorem is referenced by:  isoddgcd1  15363  3lcm2e6  15364  pythagtriplem4  15448  pc2dvds  15507  oddprmdvds  15531  prmo2  15668  prmgaplem3  15681  lt6abl  18217  ppi2  24796  cht2  24798  1sgm2ppw  24825  perfectlem1  24854  perfectlem2  24855  perfect  24856  bpos1  24908  lgs2  24939  lgsdir2  24955  lgseisenlem2  25001  lgsquad2lem1  25009  lgsquad2lem2  25010  lgsquad3  25012  m1lgs  25013  2lgs  25032  2lgsoddprm  25041  dchrisum0flb  25099  numclwwlk5lem  27099  goldbachthlem2  40757  odz2prm2pw  40774  fmtnoprmfac1  40776  fmtnoprmfac2  40778  lighneallem2  40822  lighneallem3  40823  lighneallem4  40826  proththd  40830  isodd7  40876  perfectALTV  40927  7gbo  40955  sgoldbalt  40964  nnsum3primes4  40965  nnsum3primesle9  40971  zlmodzxznm  41574
  Copyright terms: Public domain W3C validator