MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem1 24089
Description: Lemma for abelth 24099. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
abelthlem1 (𝜑 → 1 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑛,𝑟,𝐴   𝜑,𝑛,𝑟
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem abelthlem1
StepHypRef Expression
1 abs1 13971 . 2 (abs‘1) = 1
2 eqid 2621 . . 3 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))
3 abelth.1 . . 3 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
4 eqid 2621 . . 3 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
5 1cnd 10000 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
63feqmptd 6206 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)))
73ffvelrnda 6315 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
87mulid1d 10001 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · 1) = (𝐴𝑛))
98mpteq2dva 4704 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)))
106, 9eqtr4d 2658 . . . . . 6 (𝜑𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · 1)))
11 ax-1cn 9938 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
12 oveq1 6611 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 1 → (𝑧𝑛) = (1↑𝑛))
13 nn0z 11344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
14 1exp 12829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
1612, 15sylan9eq 2675 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑛) = 1)
1716oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛)) = ((𝐴𝑛) · 1))
1817mpteq2dva 4704 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · 1)))
19 nn0ex 11242 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
2019mptex 6440 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · 1)) ∈ V
2118, 2, 20fvmpt 6239 . . . . . . 7 (1 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · 1)))
2211, 21ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘1) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · 1))
2310, 22syl6eqr 2673 . . . . 5 (𝜑𝐴 = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘1))
2423seqeq3d 12749 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) = seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘1)))
25 abelth.2 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
2624, 25eqeltrrd 2699 . . 3 (𝜑 → seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘1)) ∈ dom ⇝ )
272, 3, 4, 5, 26radcnvle 24078 . 2 (𝜑 → (abs‘1) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
281, 27syl5eqbrr 4649 1 (𝜑 → 1 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑧𝑛))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2911   class class class wbr 4613  cmpt 4673  dom cdm 5074  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  supcsup 8290  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  0cn0 11236  cz 11321  seqcseq 12741  cexp 12800  abscabs 13908  cli 14149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351
This theorem is referenced by:  abelthlem3  24091  abelth  24099
  Copyright terms: Public domain W3C validator