MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsfi 15381
Description: Every number is associated with a finite set of bits. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsfi (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem bitsfi
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0re 11513 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2 2re 11302 . . . 4 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
4 1lt2 11406 . . . 4 1 < 2
54a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 < 2)
6 expnbnd 13207 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑚))
71, 3, 5, 6syl3anc 1477 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑚))
8 fzofi 12987 . . 3 (0..^𝑚) ∈ Fin
9 simpl 474 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 nn0uz 11935 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
119, 10syl6eleq 2849 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
12 2nn 11397 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
1312a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 2 ∈ ℕ)
14 simprl 811 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑚 ∈ ℕ)
1514nnnn0d 11563 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
1613, 15nnexpcld 13244 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
1716nnzd 11693 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
18 simprr 813 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑁 < (2↑𝑚))
19 elfzo2 12687 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑚)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘0) ∧ (2↑𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚)))
2011, 17, 18, 19syl3anbrc 1429 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑚)))
219nn0zd 11692 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑁 ∈ ℤ)
22 bitsfzo 15379 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑚)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑚)))
2321, 15, 22syl2anc 696 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑚)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑚)))
2420, 23mpbid 222 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑚))
25 ssfi 8347 . . 3 (((0..^𝑚) ∈ Fin ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑚)) → (bits‘𝑁) ∈ Fin)
268, 24, 25sylancr 698 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → (bits‘𝑁) ∈ Fin)
277, 26rexlimddv 3173 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑁) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2139  wrex 3051  wss 3715   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   < clt 10286  cn 11232  2c2 11282  0cn0 11504  cz 11589  cuz 11899  ..^cfzo 12679  cexp 13074  bitscbits 15363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-dvds 15203  df-bits 15366
This theorem is referenced by:  bitsinv2  15387  bitsf1ocnv  15388  bitsf1  15390  eulerpartlemgc  30754  eulerpartlemgs2  30772
  Copyright terms: Public domain W3C validator