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Theorem expnbnd 12810
Description: Exponentiation with a mantissa greater than 1 has no upper bound. (Contributed by NM, 20-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
expnbnd ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵𝑘))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem expnbnd
StepHypRef Expression
1 1nn 10878 . . 3 1 ∈ ℕ
2 1re 9895 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
3 lttr 9965 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
42, 3mp3an2 1403 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
54exp4b 629 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 < 1 → (1 < 𝐵𝐴 < 𝐵))))
65com34 88 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → (𝐴 < 1 → 𝐴 < 𝐵))))
763imp1 1271 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < 𝐵)
8 recn 9882 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
9 exp1 12683 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑1) = 𝐵)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑1) = 𝐵)
11103ad2ant2 1075 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵↑1) = 𝐵)
1211adantr 479 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 1) → (𝐵↑1) = 𝐵)
137, 12breqtrrd 4605 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < (𝐵↑1))
14 oveq2 6535 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (𝐵𝑘) = (𝐵↑1))
1514breq2d 4589 . . . 4 (𝑘 = 1 → (𝐴 < (𝐵𝑘) ↔ 𝐴 < (𝐵↑1)))
1615rspcev 3281 . . 3 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (𝐵↑1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵𝑘))
171, 13, 16sylancr 693 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵𝑘))
18 peano2rem 10199 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
1918adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
20 peano2rem 10199 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
2120adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
2221adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
23 posdif 10370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 1)))
242, 23mpan 701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 1)))
2524biimpa 499 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − 1))
2625gt0ne0d 10441 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ≠ 0)
2726adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵 − 1) ≠ 0)
2819, 22, 27redivcld 10702 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ)
2928adantll 745 . . . . . . . 8 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ)
3018adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
31 subge0 10390 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐴))
322, 31mpan2 702 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝐴 − 1) ↔ 1 ≤ 𝐴))
3332biimparc 502 . . . . . . . . . 10 ((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴 − 1))
3430, 33jca 552 . . . . . . . . 9 ((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 − 1)))
3521, 25jca 552 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 1)))
36 divge0 10741 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 − 1)) ∧ ((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 1))) → 0 ≤ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)))
3734, 35, 36syl2an 492 . . . . . . . 8 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 0 ≤ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)))
38 flge0nn0 12438 . . . . . . . 8 ((((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) → (⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) ∈ ℕ0)
3929, 37, 38syl2anc 690 . . . . . . 7 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) ∈ ℕ0)
40 nn0p1nn 11179 . . . . . . 7 ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ)
4139, 40syl 17 . . . . . 6 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ)
42 simplr 787 . . . . . . 7 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4321adantl 480 . . . . . . . . 9 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
44 peano2nn0 11180 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ0)
4539, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ0)
4645nn0red 11199 . . . . . . . . 9 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℝ)
4743, 46remulcld 9926 . . . . . . . 8 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ)
48 peano2re 10060 . . . . . . . 8 (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ → (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
4947, 48syl 17 . . . . . . 7 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
50 simprl 789 . . . . . . . 8 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
51 reexpcl 12694 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ)
5250, 45, 51syl2anc 690 . . . . . . 7 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ)
53 flltp1 12418 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))
5429, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))
5530adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
5625adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 0 < (𝐵 − 1))
57 ltdivmul 10747 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 1))) → (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))))
5855, 46, 43, 56, 57syl112anc 1321 . . . . . . . . 9 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))))
5954, 58mpbid 220 . . . . . . . 8 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
60 ltsubadd 10347 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ↔ 𝐴 < (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1)))
612, 60mp3an2 1403 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ↔ 𝐴 < (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1)))
6242, 47, 61syl2anc 690 . . . . . . . 8 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ((𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) ↔ 𝐴 < (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1)))
6359, 62mpbid 220 . . . . . . 7 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐴 < (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1))
64 0lt1 10399 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
65 0re 9896 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
66 lttr 9965 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
6765, 2, 66mp3an12 1405 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
6864, 67mpani 707 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
69 ltle 9977 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
7065, 69mpan 701 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
7168, 70syld 45 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
7271imp 443 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 ≤ 𝐵)
7372adantl 480 . . . . . . . 8 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
74 bernneq2 12808 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1) ≤ (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
7550, 45, 73, 74syl3anc 1317 . . . . . . 7 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → (((𝐵 − 1) · ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)) + 1) ≤ (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
7642, 49, 52, 63, 75ltletrd 10048 . . . . . 6 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐴 < (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
77 oveq2 6535 . . . . . . . 8 (𝑘 = ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) → (𝐵𝑘) = (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1)))
7877breq2d 4589 . . . . . . 7 (𝑘 = ((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) → (𝐴 < (𝐵𝑘) ↔ 𝐴 < (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))))
7978rspcev 3281 . . . . . 6 ((((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (𝐵↑((⌊‘((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵𝑘))
8041, 76, 79syl2anc 690 . . . . 5 (((1 ≤ 𝐴𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵𝑘))
8180exp43 637 . . . 4 (1 ≤ 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵𝑘)))))
8281com4l 89 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → (1 ≤ 𝐴 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵𝑘)))))
83823imp1 1271 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 1 ≤ 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵𝑘))
84 simp1 1053 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
85 1red 9911 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
8617, 83, 84, 85ltlecasei 9996 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  cn 10867  0cn0 11139  cfl 12408  cexp 12677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678
This theorem is referenced by:  expnlbnd  12811  expmulnbnd  12813  bitsfzolem  14940  bitsfi  14943  pclem  15327  aaliou3lem8  23821  ostth2lem1  25024  ostth3  25044  knoppndvlem18  31496
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