MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icopnfhmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icopnfhmeo 22481
Description: The defined bijection from [0, 1) to [0, +∞) is an order isomorphism and a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
icopnfhmeo.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
icopnfhmeo.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
icopnfhmeo (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽t (0[,)1))Homeo(𝐽t (0[,)+∞))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐽
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem icopnfhmeo
Dummy variables 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icopnfhmeo.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
21icopnfcnv 22480 . . . 4 (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦))))
32simpli 472 . . 3 𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞)
4 0re 9896 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
5 1re 9895 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
65rexri 9948 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ*
7 elico2 12064 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < 1)))
84, 6, 7mp2an 703 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < 1))
98simp1bi 1068 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,)1) → 𝑥 ∈ ℝ)
109ssriv 3571 . . . . . . . 8 (0[,)1) ⊆ ℝ
1110sseli 3563 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,)1) → 𝑧 ∈ ℝ)
1211adantr 479 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → 𝑧 ∈ ℝ)
13 elico2 12064 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤𝑤 < 1)))
144, 6, 13mp2an 703 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤𝑤 < 1))
1514simp3bi 1070 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (0[,)1) → 𝑤 < 1)
1610sseli 3563 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (0[,)1) → 𝑤 ∈ ℝ)
17 difrp 11700 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑤 < 1 ↔ (1 − 𝑤) ∈ ℝ+))
1816, 5, 17sylancl 692 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (0[,)1) → (𝑤 < 1 ↔ (1 − 𝑤) ∈ ℝ+))
1915, 18mpbid 220 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (0[,)1) → (1 − 𝑤) ∈ ℝ+)
2019rpregt0d 11710 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (0[,)1) → ((1 − 𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑤)))
2120adantl 480 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → ((1 − 𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑤)))
2216adantl 480 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → 𝑤 ∈ ℝ)
23 elico2 12064 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 < 1)))
244, 6, 23mp2an 703 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 < 1))
2524simp3bi 1070 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0[,)1) → 𝑧 < 1)
26 difrp 11700 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑧 < 1 ↔ (1 − 𝑧) ∈ ℝ+))
2711, 5, 26sylancl 692 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0[,)1) → (𝑧 < 1 ↔ (1 − 𝑧) ∈ ℝ+))
2825, 27mpbid 220 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (0[,)1) → (1 − 𝑧) ∈ ℝ+)
2928adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (1 − 𝑧) ∈ ℝ+)
3029rpregt0d 11710 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → ((1 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑧)))
31 lt2mul2div 10750 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑤))) ∧ (𝑤 ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑧)))) → ((𝑧 · (1 − 𝑤)) < (𝑤 · (1 − 𝑧)) ↔ (𝑧 / (1 − 𝑧)) < (𝑤 / (1 − 𝑤))))
3212, 21, 22, 30, 31syl22anc 1318 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → ((𝑧 · (1 − 𝑤)) < (𝑤 · (1 − 𝑧)) ↔ (𝑧 / (1 − 𝑧)) < (𝑤 / (1 − 𝑤))))
3312, 22remulcld 9926 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℝ)
3412, 22, 33ltsub1d 10485 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑧 < 𝑤 ↔ (𝑧 − (𝑧 · 𝑤)) < (𝑤 − (𝑧 · 𝑤))))
3512recnd 9924 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → 𝑧 ∈ ℂ)
36 1cnd 9912 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → 1 ∈ ℂ)
3722recnd 9924 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → 𝑤 ∈ ℂ)
3835, 36, 37subdid 10336 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑧 · (1 − 𝑤)) = ((𝑧 · 1) − (𝑧 · 𝑤)))
3935mulid1d 9913 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑧 · 1) = 𝑧)
4039oveq1d 6542 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → ((𝑧 · 1) − (𝑧 · 𝑤)) = (𝑧 − (𝑧 · 𝑤)))
4138, 40eqtrd 2643 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑧 · (1 − 𝑤)) = (𝑧 − (𝑧 · 𝑤)))
4237, 36, 35subdid 10336 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑤 · (1 − 𝑧)) = ((𝑤 · 1) − (𝑤 · 𝑧)))
4337mulid1d 9913 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑤 · 1) = 𝑤)
4437, 35mulcomd 9917 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑤 · 𝑧) = (𝑧 · 𝑤))
4543, 44oveq12d 6545 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → ((𝑤 · 1) − (𝑤 · 𝑧)) = (𝑤 − (𝑧 · 𝑤)))
4642, 45eqtrd 2643 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑤 · (1 − 𝑧)) = (𝑤 − (𝑧 · 𝑤)))
4741, 46breq12d 4590 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → ((𝑧 · (1 − 𝑤)) < (𝑤 · (1 − 𝑧)) ↔ (𝑧 − (𝑧 · 𝑤)) < (𝑤 − (𝑧 · 𝑤))))
4834, 47bitr4d 269 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑧 < 𝑤 ↔ (𝑧 · (1 − 𝑤)) < (𝑤 · (1 − 𝑧))))
49 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧)
50 oveq2 6535 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑧))
5149, 50oveq12d 6545 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 / (1 − 𝑥)) = (𝑧 / (1 − 𝑧)))
52 ovex 6555 . . . . . . 7 (𝑧 / (1 − 𝑧)) ∈ V
5351, 1, 52fvmpt 6176 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (0[,)1) → (𝐹𝑧) = (𝑧 / (1 − 𝑧)))
54 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤𝑥 = 𝑤)
55 oveq2 6535 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑤))
5654, 55oveq12d 6545 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 / (1 − 𝑥)) = (𝑤 / (1 − 𝑤)))
57 ovex 6555 . . . . . . 7 (𝑤 / (1 − 𝑤)) ∈ V
5856, 1, 57fvmpt 6176 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (0[,)1) → (𝐹𝑤) = (𝑤 / (1 − 𝑤)))
5953, 58breqan12d 4593 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → ((𝐹𝑧) < (𝐹𝑤) ↔ (𝑧 / (1 − 𝑧)) < (𝑤 / (1 − 𝑤))))
6032, 48, 593bitr4d 298 . . . 4 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑧 < 𝑤 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑤)))
6160rgen2a 2959 . . 3 𝑧 ∈ (0[,)1)∀𝑤 ∈ (0[,)1)(𝑧 < 𝑤 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑤))
62 df-isom 5799 . . 3 (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ ∀𝑧 ∈ (0[,)1)∀𝑤 ∈ (0[,)1)(𝑧 < 𝑤 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑤))))
633, 61, 62mpbir2an 956 . 2 𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞))
64 letsr 16996 . . . . . 6 ≤ ∈ TosetRel
6564elexi 3185 . . . . 5 ≤ ∈ V
6665inex1 4722 . . . 4 ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))) ∈ V
6765inex1 4722 . . . 4 ( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ V
68 icossxr 12085 . . . . . . . 8 (0[,)1) ⊆ ℝ*
69 icossxr 12085 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
70 leiso 13052 . . . . . . . 8 (((0[,)1) ⊆ ℝ* ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*) → (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,)1), (0[,)+∞))))
7168, 69, 70mp2an 703 . . . . . . 7 (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,)1), (0[,)+∞)))
7263, 71mpbi 218 . . . . . 6 𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,)1), (0[,)+∞))
73 isores1 6462 . . . . . 6 (𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))), ≤ ((0[,)1), (0[,)+∞)))
7472, 73mpbi 218 . . . . 5 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))), ≤ ((0[,)1), (0[,)+∞))
75 isores2 6461 . . . . 5 (𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))), ≤ ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))), ( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))((0[,)1), (0[,)+∞)))
7674, 75mpbi 218 . . . 4 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))), ( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))((0[,)1), (0[,)+∞))
77 tsrps 16990 . . . . . . . 8 ( ≤ ∈ TosetRel → ≤ ∈ PosetRel)
7864, 77ax-mp 5 . . . . . . 7 ≤ ∈ PosetRel
79 ledm 16993 . . . . . . . 8 * = dom ≤
8079psssdm 16985 . . . . . . 7 (( ≤ ∈ PosetRel ∧ (0[,)1) ⊆ ℝ*) → dom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))) = (0[,)1))
8178, 68, 80mp2an 703 . . . . . 6 dom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))) = (0[,)1)
8281eqcomi 2618 . . . . 5 (0[,)1) = dom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1)))
8379psssdm 16985 . . . . . . 7 (( ≤ ∈ PosetRel ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*) → dom ( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) = (0[,)+∞))
8478, 69, 83mp2an 703 . . . . . 6 dom ( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) = (0[,)+∞)
8584eqcomi 2618 . . . . 5 (0[,)+∞) = dom ( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))
8682, 85ordthmeo 21357 . . . 4 ((( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))) ∈ V ∧ ( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ V ∧ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))), ( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))((0[,)1), (0[,)+∞))) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))))Homeo(ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))))
8766, 67, 76, 86mp3an 1415 . . 3 𝐹 ∈ ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))))Homeo(ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))))
88 icopnfhmeo.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
89 eqid 2609 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
9088, 89xrrest2 22351 . . . . . 6 ((0[,)1) ⊆ ℝ → (𝐽t (0[,)1)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,)1)))
9110, 90ax-mp 5 . . . . 5 (𝐽t (0[,)1)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,)1))
92 iccssico2 12074 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)1)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ (0[,)1))
9368, 92ordtrestixx 20778 . . . . 5 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,)1)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))))
9491, 93eqtri 2631 . . . 4 (𝐽t (0[,)1)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))))
95 rge0ssre 12107 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
9688, 89xrrest2 22351 . . . . . 6 ((0[,)+∞) ⊆ ℝ → (𝐽t (0[,)+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,)+∞)))
9795, 96ax-mp 5 . . . . 5 (𝐽t (0[,)+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,)+∞))
98 iccssico2 12074 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ (0[,)+∞))
9969, 98ordtrestixx 20778 . . . . 5 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,)+∞)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
10097, 99eqtri 2631 . . . 4 (𝐽t (0[,)+∞)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
10194, 100oveq12i 6539 . . 3 ((𝐽t (0[,)1))Homeo(𝐽t (0[,)+∞))) = ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))))Homeo(ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))))
10287, 101eleqtrri 2686 . 2 𝐹 ∈ ((𝐽t (0[,)1))Homeo(𝐽t (0[,)+∞)))
10363, 102pm3.2i 469 1 (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽t (0[,)1))Homeo(𝐽t (0[,)+∞))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  Vcvv 3172  cin 3538  wss 3539   class class class wbr 4577  cmpt 4637   × cxp 5026  ccnv 5027  dom cdm 5028  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790   Isom wiso 5791  (class class class)co 6527  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  +∞cpnf 9927  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  +crp 11664  [,)cico 12004  t crest 15850  TopOpenctopn 15851  ordTopcordt 15928  PosetRelcps 16967   TosetRel ctsr 16968  fldccnfld 19513  Homeochmeo 21308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-seq 12619  df-exp 12678  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-rest 15852  df-topn 15853  df-topgen 15873  df-ordt 15930  df-ps 16969  df-tsr 16970  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cn 20783  df-hmeo 21310  df-xms 21876  df-ms 21877
This theorem is referenced by:  iccpnfhmeo  22483
  Copyright terms: Public domain W3C validator