Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpncn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpncn 23605
 Description: A Cn function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cpncn ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁)) → 𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))

Proof of Theorem cpncn
StepHypRef Expression
1 recnprss 23574 . . . 4 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
21adantr 481 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
3 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
4 0nn0 11251 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
54a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁)) → 0 ∈ ℕ0)
6 elfvdm 6177 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁) → 𝑁 ∈ dom (Cn𝑆))
76adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁)) → 𝑁 ∈ dom (Cn𝑆))
8 fncpn 23602 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ⊆ ℂ → (Cn𝑆) Fn ℕ0)
9 fndm 5948 . . . . . . . . . 10 ((Cn𝑆) Fn ℕ0 → dom (Cn𝑆) = ℕ0)
102, 8, 93syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁)) → dom (Cn𝑆) = ℕ0)
117, 10eleqtrd 2700 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12 nn0uz 11666 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
1311, 12syl6eleq 2708 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
14 cpnord 23604 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 0 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0)) → ((Cn𝑆)‘𝑁) ⊆ ((Cn𝑆)‘0))
153, 5, 13, 14syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁)) → ((Cn𝑆)‘𝑁) ⊆ ((Cn𝑆)‘0))
16 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁)) → 𝐹 ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁))
1715, 16sseldd 3584 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁)) → 𝐹 ∈ ((Cn𝑆)‘0))
18 elcpn 23603 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∈ ((Cn𝑆)‘0) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))))
192, 5, 18syl2anc 692 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁)) → (𝐹 ∈ ((Cn𝑆)‘0) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))))
2017, 19mpbid 222 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁)) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ)))
2120simpld 475 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
22 dvn0 23593 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
232, 21, 22syl2anc 692 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
2420simprd 479 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
2523, 24eqeltrrd 2699 1 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁)) → 𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3555  {cpr 4150  dom cdm 5074   Fn wfn 5842  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ↑pm cpm 7803  ℂcc 9878  ℝcr 9879  0cc0 9880  ℕ0cn0 11236  ℤ≥cuz 11631  –cn→ccncf 22587   D𝑛 cdvn 23534  Cnccpn 23535 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537  df-dvn 23538  df-cpn 23539 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator