Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpnres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpnres 23606
 Description: The restriction of a Cn function is Cn. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cpnres ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → (𝐹𝑆) ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁))

Proof of Theorem cpnres
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 simpr 477 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁))
3 ssid 3603 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
4 elfvdm 6177 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁) → 𝑁 ∈ dom (Cn‘ℂ))
54adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → 𝑁 ∈ dom (Cn‘ℂ))
6 fncpn 23602 . . . . . . . . 9 (ℂ ⊆ ℂ → (Cn‘ℂ) Fn ℕ0)
73, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8 (Cn‘ℂ) Fn ℕ0
8 fndm 5948 . . . . . . . 8 ((Cn‘ℂ) Fn ℕ0 → dom (Cn‘ℂ) = ℕ0)
97, 8mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → dom (Cn‘ℂ) = ℕ0)
105, 9eleqtrd 2700 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
11 elcpn 23603 . . . . . 6 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))))
123, 10, 11sylancr 694 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → (𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))))
132, 12mpbid 222 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ)))
1413simpld 475 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
15 pmresg 7829 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → (𝐹𝑆) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
161, 14, 15syl2anc 692 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → (𝐹𝑆) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
1713simprd 479 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
18 cncff 22604 . . . . . 6 (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ) → ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom 𝐹⟶ℂ)
1917, 18syl 17 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom 𝐹⟶ℂ)
20 fdm 6008 . . . . 5 (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom 𝐹⟶ℂ → dom ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) = dom 𝐹)
2119, 20syl 17 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → dom ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) = dom 𝐹)
22 dvnres 23600 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ dom ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) = dom 𝐹) → ((𝑆 D𝑛 (𝐹𝑆))‘𝑁) = (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ 𝑆))
231, 14, 10, 21, 22syl31anc 1326 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐹𝑆))‘𝑁) = (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ 𝑆))
24 resres 5368 . . . . . . 7 ((((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ 𝑆) ↾ dom 𝐹) = (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ (𝑆 ∩ dom 𝐹))
25 rescom 5382 . . . . . . 7 ((((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ 𝑆) ↾ dom 𝐹) = ((((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ dom 𝐹) ↾ 𝑆)
2624, 25eqtr3i 2645 . . . . . 6 (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ (𝑆 ∩ dom 𝐹)) = ((((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ dom 𝐹) ↾ 𝑆)
27 ffn 6002 . . . . . . . 8 (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom 𝐹⟶ℂ → ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) Fn dom 𝐹)
28 fnresdm 5958 . . . . . . . 8 (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) Fn dom 𝐹 → (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ dom 𝐹) = ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁))
2919, 27, 283syl 18 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ dom 𝐹) = ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁))
3029reseq1d 5355 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → ((((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ dom 𝐹) ↾ 𝑆) = (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ 𝑆))
3126, 30syl5eq 2667 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ (𝑆 ∩ dom 𝐹)) = (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ 𝑆))
32 inss2 3812 . . . . . 6 (𝑆 ∩ dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹
33 rescncf 22608 . . . . . 6 ((𝑆 ∩ dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹 → (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ) → (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ (𝑆 ∩ dom 𝐹)) ∈ ((𝑆 ∩ dom 𝐹)–cn→ℂ)))
3432, 17, 33mpsyl 68 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ (𝑆 ∩ dom 𝐹)) ∈ ((𝑆 ∩ dom 𝐹)–cn→ℂ))
3531, 34eqeltrrd 2699 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ 𝑆) ∈ ((𝑆 ∩ dom 𝐹)–cn→ℂ))
36 dmres 5378 . . . . 5 dom (𝐹𝑆) = (𝑆 ∩ dom 𝐹)
3736oveq1i 6614 . . . 4 (dom (𝐹𝑆)–cn→ℂ) = ((𝑆 ∩ dom 𝐹)–cn→ℂ)
3835, 37syl6eleqr 2709 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ 𝑆) ∈ (dom (𝐹𝑆)–cn→ℂ))
3923, 38eqeltrd 2698 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐹𝑆))‘𝑁) ∈ (dom (𝐹𝑆)–cn→ℂ))
40 recnprss 23574 . . . 4 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
4140adantr 481 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
42 elcpn 23603 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑆) ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁) ↔ ((𝐹𝑆) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝐹𝑆))‘𝑁) ∈ (dom (𝐹𝑆)–cn→ℂ))))
4341, 10, 42syl2anc 692 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → ((𝐹𝑆) ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁) ↔ ((𝐹𝑆) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝐹𝑆))‘𝑁) ∈ (dom (𝐹𝑆)–cn→ℂ))))
4416, 39, 43mpbir2and 956 1 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → (𝐹𝑆) ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∩ cin 3554   ⊆ wss 3555  {cpr 4150  dom cdm 5074   ↾ cres 5076   Fn wfn 5842  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ↑pm cpm 7803  ℂcc 9878  ℝcr 9879  ℕ0cn0 11236  –cn→ccncf 22587   D𝑛 cdvn 23534  Cnccpn 23535 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-icc 12124  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-rest 16004  df-topn 16005  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537  df-dvn 23538  df-cpn 23539 This theorem is referenced by:  aalioulem3  23993
 Copyright terms: Public domain W3C validator