MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpnres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpnres 23606
Description: The restriction of a Cn function is Cn. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cpnres ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → (𝐹𝑆) ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁))

Proof of Theorem cpnres
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 simpr 477 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁))
3 ssid 3603 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
4 elfvdm 6177 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁) → 𝑁 ∈ dom (Cn‘ℂ))
54adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → 𝑁 ∈ dom (Cn‘ℂ))
6 fncpn 23602 . . . . . . . . 9 (ℂ ⊆ ℂ → (Cn‘ℂ) Fn ℕ0)
73, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8 (Cn‘ℂ) Fn ℕ0
8 fndm 5948 . . . . . . . 8 ((Cn‘ℂ) Fn ℕ0 → dom (Cn‘ℂ) = ℕ0)
97, 8mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → dom (Cn‘ℂ) = ℕ0)
105, 9eleqtrd 2700 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
11 elcpn 23603 . . . . . 6 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))))
123, 10, 11sylancr 694 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → (𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))))
132, 12mpbid 222 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ)))
1413simpld 475 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
15 pmresg 7829 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → (𝐹𝑆) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
161, 14, 15syl2anc 692 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → (𝐹𝑆) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
1713simprd 479 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
18 cncff 22604 . . . . . 6 (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ) → ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom 𝐹⟶ℂ)
1917, 18syl 17 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom 𝐹⟶ℂ)
20 fdm 6008 . . . . 5 (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom 𝐹⟶ℂ → dom ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) = dom 𝐹)
2119, 20syl 17 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → dom ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) = dom 𝐹)
22 dvnres 23600 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ dom ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) = dom 𝐹) → ((𝑆 D𝑛 (𝐹𝑆))‘𝑁) = (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ 𝑆))
231, 14, 10, 21, 22syl31anc 1326 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐹𝑆))‘𝑁) = (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ 𝑆))
24 resres 5368 . . . . . . 7 ((((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ 𝑆) ↾ dom 𝐹) = (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ (𝑆 ∩ dom 𝐹))
25 rescom 5382 . . . . . . 7 ((((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ 𝑆) ↾ dom 𝐹) = ((((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ dom 𝐹) ↾ 𝑆)
2624, 25eqtr3i 2645 . . . . . 6 (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ (𝑆 ∩ dom 𝐹)) = ((((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ dom 𝐹) ↾ 𝑆)
27 ffn 6002 . . . . . . . 8 (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom 𝐹⟶ℂ → ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) Fn dom 𝐹)
28 fnresdm 5958 . . . . . . . 8 (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) Fn dom 𝐹 → (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ dom 𝐹) = ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁))
2919, 27, 283syl 18 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ dom 𝐹) = ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁))
3029reseq1d 5355 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → ((((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ dom 𝐹) ↾ 𝑆) = (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ 𝑆))
3126, 30syl5eq 2667 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ (𝑆 ∩ dom 𝐹)) = (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ 𝑆))
32 inss2 3812 . . . . . 6 (𝑆 ∩ dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹
33 rescncf 22608 . . . . . 6 ((𝑆 ∩ dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹 → (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ) → (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ (𝑆 ∩ dom 𝐹)) ∈ ((𝑆 ∩ dom 𝐹)–cn→ℂ)))
3432, 17, 33mpsyl 68 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ (𝑆 ∩ dom 𝐹)) ∈ ((𝑆 ∩ dom 𝐹)–cn→ℂ))
3531, 34eqeltrrd 2699 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ 𝑆) ∈ ((𝑆 ∩ dom 𝐹)–cn→ℂ))
36 dmres 5378 . . . . 5 dom (𝐹𝑆) = (𝑆 ∩ dom 𝐹)
3736oveq1i 6614 . . . 4 (dom (𝐹𝑆)–cn→ℂ) = ((𝑆 ∩ dom 𝐹)–cn→ℂ)
3835, 37syl6eleqr 2709 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑁) ↾ 𝑆) ∈ (dom (𝐹𝑆)–cn→ℂ))
3923, 38eqeltrd 2698 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐹𝑆))‘𝑁) ∈ (dom (𝐹𝑆)–cn→ℂ))
40 recnprss 23574 . . . 4 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
4140adantr 481 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
42 elcpn 23603 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑆) ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁) ↔ ((𝐹𝑆) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝐹𝑆))‘𝑁) ∈ (dom (𝐹𝑆)–cn→ℂ))))
4341, 10, 42syl2anc 692 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → ((𝐹𝑆) ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁) ↔ ((𝐹𝑆) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝐹𝑆))‘𝑁) ∈ (dom (𝐹𝑆)–cn→ℂ))))
4416, 39, 43mpbir2and 956 1 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑁)) → (𝐹𝑆) ∈ ((Cn𝑆)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cin 3554  wss 3555  {cpr 4150  dom cdm 5074  cres 5076   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  pm cpm 7803  cc 9878  cr 9879  0cn0 11236  cnccncf 22587   D𝑛 cdvn 23534  Cnccpn 23535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-icc 12124  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-rest 16004  df-topn 16005  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537  df-dvn 23538  df-cpn 23539
This theorem is referenced by:  aalioulem3  23993
  Copyright terms: Public domain W3C validator