Theorem domnchr 20679

Description: The characteristic of a domain can only be zero or a prime. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnchr	⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((chr‘𝑅) = 0 ∨ (chr‘𝑅) ∈ ℙ))

Proof of Theorem domnchr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 3017	. . 3 ⊢ ((chr‘𝑅) ≠ 0 ↔ ¬ (chr‘𝑅) = 0)
2		domnring 20069	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
3		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
4	3	chrcl 20673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
6	5	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
7		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ≠ 0)
8		eldifsn 4719	. . . . . . . 8 ⊢ ((chr‘𝑅) ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ ((chr‘𝑅) ∈ ℕ0 ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0))
9	6, 7, 8	sylanbrc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
10		dfn2 11911	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
11	9, 10	eleqtrrdi 2924	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ ℕ)
12		domnnzr 20068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
13		nzrring 20034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
14		chrnzr 20677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chr‘𝑅) ≠ 1))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chr‘𝑅) ≠ 1))
16	15	ibi 269	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (chr‘𝑅) ≠ 1)
17	12, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (chr‘𝑅) ≠ 1)
18	17	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ≠ 1)
19		eluz2b3 12323	. . . . . 6 ⊢ ((chr‘𝑅) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((chr‘𝑅) ∈ ℕ ∧ (chr‘𝑅) ≠ 1))
20	11, 18, 19	sylanbrc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ (ℤ≥‘2))
21	2	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Ring)
22		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
23	22	zrhrhm 20659	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
25		simprl 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
26		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
27		zringbas 20623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
28		zringmulr 20626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘ℤring)
29		eqid 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
30	27, 28, 29	rhmmul 19479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)))
31	24, 25, 26, 30	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)))
32	31	eqeq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g‘𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)) = (0g‘𝑅)))
33		simpll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Domn)
34		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
35	27, 34	rhmf 19478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
36	24, 35	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
37	36, 25	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
38	36, 26	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
39		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
40	34, 29, 39	domneq0 20070	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)) = (0g‘𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅))))
41	33, 37, 38, 40	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)) = (0g‘𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅))))
42	32, 41	bitrd 281	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g‘𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅))))
43	42	biimpd 231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g‘𝑅) → (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅))))
44		zmulcl 12032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
45	44	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
46	3, 22, 39	chrdvds 20675	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g‘𝑅)))
47	21, 45, 46	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g‘𝑅)))
48	3, 22, 39	chrdvds 20675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
49	21, 25, 48	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
50	3, 22, 39	chrdvds 20675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑦 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅)))
51	21, 26, 50	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑦 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅)))
52	49, 51	orbi12d 915	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅))))
53	43, 47, 52	3imtr4d 296	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦)))
54	53	ralrimivva 3191	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦)))
55		isprm6 16058	. . . . 5 ⊢ ((chr‘𝑅) ∈ ℙ ↔ ((chr‘𝑅) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦))))
56	20, 54, 55	sylanbrc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ ℙ)
57	56	ex 415	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((chr‘𝑅) ≠ 0 → (chr‘𝑅) ∈ ℙ))
58	1, 57	syl5bir 245	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (¬ (chr‘𝑅) = 0 → (chr‘𝑅) ∈ ℙ))
59	58	orrd 859	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((chr‘𝑅) = 0 ∨ (chr‘𝑅) ∈ ℙ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138   ∖ cdif 3933  {csn 4567   class class class wbr 5066  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  0cc0 10537  1c1 10538   · cmul 10542  ℕcn 11638  2c2 11693  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ℤ_≥cuz 12244   ∥ cdvds 15607  ℙcprime 16015  Basecbs 16483  ._rcmulr 16566  0_gc0g 16713  Ringcrg 19297   RingHom crh 19464  NzRingcnzr 20030  Domncdomn 20053  ℤ_ringzring 20617  ℤRHomczrh 20647  chrcchr 20649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-gcd 15844  df-prm 16016  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-od 18656  df-cmn 18908  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-rnghom 19467  df-subrg 19533  df-nzr 20031  df-domn 20057  df-cnfld 20546  df-zring 20618  df-zrh 20651  df-chr 20653

This theorem is referenced by: (None)