MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zmulcl 11255
Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
zmulcl ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcl
StepHypRef Expression
1 elznn0 11221 . 2 (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
2 elznn0 11221 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
3 nn0mulcl 11172 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
43orcd 405 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
54a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
6 remulcl 9873 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ)
75, 6jctild 563 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
8 nn0mulcl 11172 . . . . . . . . 9 ((-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
9 recn 9878 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ → 𝑀 ∈ ℂ)
10 recn 9878 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
11 mulneg1 10313 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
129, 10, 11syl2an 492 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
1312eleq1d 2667 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
148, 13syl5ib 232 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
15 olc 397 . . . . . . . 8 (-(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
1614, 15syl6 34 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
1716, 6jctild 563 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
18 nn0mulcl 11172 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0)
19 mulneg2 10314 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
209, 10, 19syl2an 492 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
2120eleq1d 2667 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0 ↔ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
2218, 21syl5ib 232 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
2322, 15syl6 34 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
2423, 6jctild 563 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
25 nn0mulcl 11172 . . . . . . . . 9 ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0)
26 mul2neg 10316 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-𝑀 · -𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
279, 10, 26syl2an 492 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (-𝑀 · -𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
2827eleq1d 2667 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
2925, 28syl5ib 232 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
30 orc 398 . . . . . . . 8 ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
3129, 30syl6 34 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
3231, 6jctild 563 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
337, 17, 24, 32ccased 984 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
34 elznn0 11221 . . . . 5 ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
3533, 34syl6ibr 240 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ))
3635imp 443 . . 3 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
3736an4s 864 . 2 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
381, 2, 37syl2anb 494 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  (class class class)co 6523  cc 9786  cr 9787   · cmul 9793  -cneg 10114  0cn0 11135  cz 11206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-ltxr 9931  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207
This theorem is referenced by:  zdivmul  11277  msqznn  11287  zmulcld  11316  uz2mulcl  11594  qaddcl  11632  qmulcl  11634  qreccl  11636  fzctr  12271  flmulnn0  12441  zexpcl  12688  iexpcyc  12782  zesq  12800  cshweqrep  13360  fprodzcl  14465  zrisefaccl  14532  zfallfaccl  14533  dvdsmul1  14783  dvdsmul2  14784  muldvds1  14786  muldvds2  14787  dvdscmul  14788  dvdsmulc  14789  dvdscmulr  14790  dvdsmulcr  14791  dvds2ln  14794  dvdstr  14798  dvdsmultr1  14799  dvdsmultr2  14801  3dvdsdec  14834  3dvdsdecOLD  14835  3dvds2dec  14836  3dvds2decOLD  14837  oexpneg  14849  mulsucdiv2z  14857  divalglem0  14896  divalglem2  14898  divalglem4  14899  divalglem8  14903  divalgb  14907  divalgmod  14909  divalgmodOLD  14910  ndvdsi  14916  gcdaddmlem  15025  absmulgcd  15046  gcdmultiple  15049  gcdmultiplez  15050  dvdsmulgcd  15054  rpmulgcd  15055  lcmcllem  15089  coprmdvdsOLD  15147  rpmul  15153  cncongr1  15161  cncongr2  15162  eulerthlem2  15267  modprminv  15284  modprminveq  15285  modprm0  15290  pythagtriplem4  15304  pcpremul  15328  pcmul  15336  gzmulcl  15422  pgpfac1lem2  18239  zsubrg  19560  dvdsrzring  19592  mulgrhm  19606  domnchr  19640  znfld  19669  znunit  19672  mbfi1fseqlem5  23205  dvexp3  23458  basellem2  24521  basellem5  24524  dvdsflf1o  24626  chtub  24650  bposlem1  24722  bposlem5  24726  bposlem6  24727  lgslem3  24737  lgsval4a  24757  lgsneg  24759  lgsdir2  24768  lgsdchr  24793  lgseisenlem1  24813  lgseisenlem2  24814  lgseisenlem3  24815  lgsquadlem1  24818  lgsquad2lem2  24823  2lgsoddprmlem2  24847  chebbnd1lem1  24871  chebbnd1lem3  24873  knoppndvlem2  31476  fzmul  32506  mzpclall  36107  mzpindd  36126  acongrep  36364  acongeq  36367  jm2.18  36372  jm2.21  36378  jm2.26a  36384  jm2.26  36386  jm2.16nn0  36388  jm2.27a  36389  jm2.27c  36391  jm3.1lem3  36403  fourierswlem  38923  oexpnegALTV  39927  oexpnegnz  39928  tgblthelfgott  40030  tgblthelfgottOLD  40037  2zrngmmgm  41734  zlmodzxzequa  42077  zlmodzxzequap  42080
  Copyright terms: Public domain W3C validator