MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zmulcl 11386
Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
zmulcl ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcl
StepHypRef Expression
1 elznn0 11352 . 2 (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
2 elznn0 11352 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
3 nn0mulcl 11289 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
43orcd 407 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
54a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
6 remulcl 9981 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ)
75, 6jctild 565 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
8 nn0mulcl 11289 . . . . . . . . 9 ((-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
9 recn 9986 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ → 𝑀 ∈ ℂ)
10 recn 9986 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
11 mulneg1 10426 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
129, 10, 11syl2an 494 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
1312eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
148, 13syl5ib 234 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
15 olc 399 . . . . . . . 8 (-(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
1614, 15syl6 35 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
1716, 6jctild 565 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
18 nn0mulcl 11289 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0)
19 mulneg2 10427 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
209, 10, 19syl2an 494 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
2120eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0 ↔ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
2218, 21syl5ib 234 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
2322, 15syl6 35 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
2423, 6jctild 565 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
25 nn0mulcl 11289 . . . . . . . . 9 ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0)
26 mul2neg 10429 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-𝑀 · -𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
279, 10, 26syl2an 494 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (-𝑀 · -𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
2827eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
2925, 28syl5ib 234 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
30 orc 400 . . . . . . . 8 ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
3129, 30syl6 35 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
3231, 6jctild 565 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
337, 17, 24, 32ccased 987 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
34 elznn0 11352 . . . . 5 ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
3533, 34syl6ibr 242 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ))
3635imp 445 . . 3 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
3736an4s 868 . 2 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
381, 2, 37syl2anb 496 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895   · cmul 9901  -cneg 10227  0cn0 11252  cz 11337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-ltxr 10039  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338
This theorem is referenced by:  zdivmul  11409  msqznn  11419  zmulcld  11448  uz2mulcl  11726  qaddcl  11764  qmulcl  11766  qreccl  11768  fzctr  12408  flmulnn0  12584  zexpcl  12831  iexpcyc  12925  zesq  12943  cshweqrep  13520  fprodzcl  14628  zrisefaccl  14695  zfallfaccl  14696  dvdsmul1  14946  dvdsmul2  14947  muldvds1  14949  muldvds2  14950  dvdscmul  14951  dvdsmulc  14952  dvdscmulr  14953  dvdsmulcr  14954  dvds2ln  14957  dvdstr  14961  dvdsmultr1  14962  dvdsmultr2  14964  3dvdsdec  14997  3dvdsdecOLD  14998  3dvds2dec  14999  3dvds2decOLD  15000  oexpneg  15012  mulsucdiv2z  15020  divalglem0  15059  divalglem2  15061  divalglem4  15062  divalglem8  15066  divalgb  15070  divalgmod  15072  divalgmodOLD  15073  ndvdsi  15079  gcdaddmlem  15188  absmulgcd  15209  gcdmultiple  15212  gcdmultiplez  15213  dvdsmulgcd  15217  rpmulgcd  15218  lcmcllem  15252  coprmdvdsOLD  15310  rpmul  15316  cncongr1  15324  cncongr2  15325  eulerthlem2  15430  modprminv  15447  modprminveq  15448  modprm0  15453  pythagtriplem4  15467  pcpremul  15491  pcmul  15499  gzmulcl  15585  pgpfac1lem2  18414  zsubrg  19739  dvdsrzring  19771  mulgrhm  19786  domnchr  19820  znfld  19849  znunit  19852  mbfi1fseqlem5  23426  dvexp3  23679  basellem2  24742  basellem5  24745  dvdsflf1o  24847  chtub  24871  bposlem1  24943  bposlem5  24947  bposlem6  24948  lgslem3  24958  lgsval4a  24978  lgsneg  24980  lgsdir2  24989  lgsdchr  25014  lgseisenlem1  25034  lgseisenlem2  25035  lgseisenlem3  25036  lgsquadlem1  25039  lgsquad2lem2  25044  2lgsoddprmlem2  25068  chebbnd1lem1  25092  chebbnd1lem3  25094  knoppndvlem2  32199  fzmul  33208  mzpclall  36809  mzpindd  36828  acongrep  37066  acongeq  37069  jm2.18  37074  jm2.21  37080  jm2.26a  37086  jm2.26  37088  jm2.16nn0  37090  jm2.27a  37091  jm2.27c  37093  jm3.1lem3  37105  fourierswlem  39784  oexpnegALTV  40917  oexpnegnz  40918  tgblthelfgott  41020  tgblthelfgottOLD  41027  2zrngmmgm  41264  zlmodzxzequa  41603  zlmodzxzequap  41606
  Copyright terms: Public domain W3C validator