Theorem pncan 10892

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpl 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 10842	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
4		addcl 10619	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5		subadd 10889	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
7	3, 6	mpbird 259	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℂcc 10535   + caddc 10540   − cmin 10870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-sub 10872

This theorem is referenced by:  pncan2  10893  addsubass  10896  pncan3oi  10902  subid1  10906  nppcan2  10917  pncand  10998  nn1m1nn  11659  nnsub  11682  elnn0nn  11940  elz2  12000  zrevaddcl  12028  nzadd  12031  qrevaddcl  12371  irradd  12373  fzrev3  12974  elfzp1b  12985  fzrevral3  12995  fzval3  13107  seqf1olem1  13410  seqf1olem2  13411  bcp1nk  13678  bcp1m1  13681  bcpasc  13682  hashbclem  13811  ccatalpha  13947  wrdind  14084  wrd2ind  14085  2cshwcshw  14187  shftlem  14427  shftval5  14437  isershft  15020  isercoll2  15025  fsump1  15111  mptfzshft  15133  telfsumo  15157  fsumparts  15161  bcxmas  15190  isum1p  15196  geolim  15226  mertenslem2  15241  mertens  15242  fsumkthpow  15410  eftlub  15462  effsumlt  15464  eirrlem  15557  dvdsadd  15652  prmind2  16029  iserodd  16172  fldivp1  16233  prmpwdvds  16240  pockthlem  16241  prmreclem4  16255  prmreclem6  16257  4sqlem11  16291  vdwapun  16310  ramub1lem1  16362  ramcl  16365  efgsval2  18859  efgsrel  18860  shft2rab  24109  uniioombllem3  24186  uniioombllem4  24187  dvexp  24550  dvfsumlem1  24623  degltp1le  24667  ply1divex  24730  plyaddlem1  24803  plymullem1  24804  dvply1  24873  dvply2g  24874  vieta1lem2  24900  aaliou3lem7  24938  dvradcnv  25009  pserdvlem2  25016  abssinper  25106  advlogexp  25238  atantayl3  25517  leibpilem2  25519  emcllem2  25574  harmonicbnd4  25588  basellem8  25665  ppiprm  25728  ppinprm  25729  chtprm  25730  chtnprm  25731  chpp1  25732  chtub  25788  perfectlem1  25805  perfectlem2  25806  perfect  25807  bcp1ctr  25855  lgsvalmod  25892  lgseisen  25955  lgsquadlem1  25956  lgsquad2lem1  25960  2sqlem10  26004  rplogsumlem1  26060  selberg2lem  26126  logdivbnd  26132  pntrsumo1  26141  pntpbnd2  26163  clwwlkf1  27828  subfacp1lem5  32431  subfacp1lem6  32432  subfacval2  32434  subfaclim  32435  cvmliftlem7  32538  cvmliftlem10  32541  mblfinlem2  34945  itg2addnclem3  34960  fdc  35035  mettrifi  35047  heiborlem4  35107  heiborlem6  35109  lzenom  39387  2nn0ind  39562  jm2.17a  39577  jm2.17b  39578  jm2.17c  39579  evensumeven  43892  perfectALTVlem2  43907  perfectALTV  43908