MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncan 10135
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
pncan ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan
StepHypRef Expression
1 simpr 475 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2 simpl 471 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
31, 2addcomd 10086 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
4 addcl 9871 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5 subadd 10132 . . 3 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
64, 1, 2, 5syl3anc 1317 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
73, 6mpbird 245 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6524  cc 9787   + caddc 9792  cmin 10114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-ltxr 9932  df-sub 10116
This theorem is referenced by:  pncan2  10136  addsubass  10139  pncan3oi  10145  subid1  10149  nppcan2  10160  pncand  10241  nn1m1nn  10884  nnsub  10903  elnn0nn  11179  elz2  11224  zrevaddcl  11252  nzadd  11255  qrevaddcl  11639  irradd  11641  fzrev3  12228  elfzp1b  12238  fzrevral3  12248  fzval3  12356  seqf1olem1  12654  seqf1olem2  12655  subsq2  12787  bcp1nk  12918  bcp1m1  12921  bcpasc  12922  hashbclem  13042  ccatalpha  13171  wrdind  13271  wrd2ind  13272  2cshwcshw  13365  shftlem  13599  shftval5  13609  isershft  14185  isercoll2  14190  fsump1  14272  mptfzshft  14295  telfsumo  14318  fsumparts  14322  bcxmas  14349  isum1p  14355  geolim  14383  mertenslem2  14399  mertens  14400  fsumkthpow  14569  eftlub  14621  effsumlt  14623  eirrlem  14714  dvdsadd  14805  prmind2  15179  iserodd  15321  fldivp1  15382  prmpwdvds  15389  pockthlem  15390  prmreclem4  15404  prmreclem6  15406  4sqlem11  15440  vdwapun  15459  ramub1lem1  15511  ramcl  15514  efgsval2  17912  efgsrel  17913  pcoass  22560  shft2rab  22997  uniioombllem3  23073  uniioombllem4  23074  dvexp  23436  dvfsumlem1  23507  degltp1le  23551  ply1divex  23614  plyaddlem1  23687  plymullem1  23688  dvply1  23757  dvply2g  23758  vieta1lem2  23784  aaliou3lem7  23822  dvradcnv  23893  pserdvlem2  23900  abssinper  23988  advlogexp  24115  atantayl3  24380  leibpilem1  24381  leibpilem2  24382  emcllem2  24437  harmonicbnd4  24451  wilthlem2  24509  basellem8  24528  ppiprm  24591  ppinprm  24592  chtprm  24593  chtnprm  24594  chpp1  24595  chtub  24651  perfectlem1  24668  perfectlem2  24669  perfect  24670  bcp1ctr  24718  lgsvalmod  24755  lgseisen  24818  lgsquadlem1  24819  lgsquad2lem1  24823  2sqlem10  24867  rplogsumlem1  24887  selberg2lem  24953  logdivbnd  24959  pntrsumo1  24968  pntpbnd2  24990  wlklenvm1  25823  wlkiswwlk1  25981  wwlknext  26015  clwwlkf1  26087  eupap1  26266  eupath2lem3  26269  extwwlkfablem2  26368  subfacp1lem5  30223  subfacp1lem6  30224  subfacval2  30226  subfaclim  30227  cvmliftlem7  30330  cvmliftlem10  30333  mblfinlem2  32417  itg2addnclem3  32433  fdc  32511  mettrifi  32523  heiborlem4  32583  heiborlem6  32585  lzenom  36151  2nn0ind  36328  jm2.17a  36345  jm2.17b  36346  jm2.17c  36347  evensumeven  39956  perfectALTVlem2  39967  perfectALTV  39968  wwlksnext  41098  clwwlksf1  41223
  Copyright terms: Public domain W3C validator