MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncan 10247
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
pncan ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2 simpl 473 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
31, 2addcomd 10198 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
4 addcl 9978 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5 subadd 10244 . . 3 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
64, 1, 2, 5syl3anc 1323 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
73, 6mpbird 247 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6615  cc 9894   + caddc 9899  cmin 10226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-ltxr 10039  df-sub 10228
This theorem is referenced by:  pncan2  10248  addsubass  10251  pncan3oi  10257  subid1  10261  nppcan2  10272  pncand  10353  nn1m1nn  11000  nnsub  11019  elnn0nn  11295  elz2  11354  zrevaddcl  11382  nzadd  11385  qrevaddcl  11770  irradd  11772  fzrev3  12364  elfzp1b  12374  fzrevral3  12384  fzval3  12493  seqf1olem1  12796  seqf1olem2  12797  subsq2  12929  bcp1nk  13060  bcp1m1  13063  bcpasc  13064  hashbclem  13190  ccatalpha  13330  wrdind  13430  wrd2ind  13431  2cshwcshw  13524  shftlem  13758  shftval5  13768  isershft  14344  isercoll2  14349  fsump1  14434  mptfzshft  14457  telfsumo  14480  fsumparts  14484  bcxmas  14511  isum1p  14517  geolim  14545  mertenslem2  14561  mertens  14562  fsumkthpow  14731  eftlub  14783  effsumlt  14785  eirrlem  14876  dvdsadd  14967  prmind2  15341  iserodd  15483  fldivp1  15544  prmpwdvds  15551  pockthlem  15552  prmreclem4  15566  prmreclem6  15568  4sqlem11  15602  vdwapun  15621  ramub1lem1  15673  ramcl  15676  efgsval2  18086  efgsrel  18087  pcoass  22764  shft2rab  23216  uniioombllem3  23293  uniioombllem4  23294  dvexp  23656  dvfsumlem1  23727  degltp1le  23771  ply1divex  23834  plyaddlem1  23907  plymullem1  23908  dvply1  23977  dvply2g  23978  vieta1lem2  24004  aaliou3lem7  24042  dvradcnv  24113  pserdvlem2  24120  abssinper  24208  advlogexp  24335  atantayl3  24600  leibpilem1  24601  leibpilem2  24602  emcllem2  24657  harmonicbnd4  24671  wilthlem2  24729  basellem8  24748  ppiprm  24811  ppinprm  24812  chtprm  24813  chtnprm  24814  chpp1  24815  chtub  24871  perfectlem1  24888  perfectlem2  24889  perfect  24890  bcp1ctr  24938  lgsvalmod  24975  lgseisen  25038  lgsquadlem1  25039  lgsquad2lem1  25043  2sqlem10  25087  rplogsumlem1  25107  selberg2lem  25173  logdivbnd  25179  pntrsumo1  25188  pntpbnd2  25210  wwlksnext  26691  clwwlksf1  26817  subfacp1lem5  30927  subfacp1lem6  30928  subfacval2  30930  subfaclim  30931  cvmliftlem7  31034  cvmliftlem10  31037  mblfinlem2  33118  itg2addnclem3  33134  fdc  33212  mettrifi  33224  heiborlem4  33284  heiborlem6  33286  lzenom  36852  2nn0ind  37029  jm2.17a  37046  jm2.17b  37047  jm2.17c  37048  evensumeven  40945  perfectALTVlem2  40956  perfectALTV  40957
  Copyright terms: Public domain W3C validator