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Theorem elfznelfzo 12569
Description: A value in a finite set of sequential integers is a border value if it is not contained in the half-open integer range contained in the finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
elfznelfzo ((𝑀 ∈ (0...𝐾) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))

Proof of Theorem elfznelfzo
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 12427 . . 3 (𝑀 ∈ (0...𝐾) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾))
2 nn0z 11397 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
3 nn0z 11397 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
42, 3anim12i 590 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
543adant3 1080 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
6 elfzom1b 12563 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1))))
75, 6syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1))))
87notbid 308 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ ¬ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1))))
9 elfzo0 12504 . . . . . . 7 ((𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
109a1i 11 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → ((𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1))))
1110notbid 308 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) ↔ ¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1))))
12 3ianor 1054 . . . . . . 7 (¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) ↔ (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∨ ¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∨ ¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
13 elnnne0 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≠ 0))
14 df-ne 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0)
1514anbi2i 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≠ 0) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑀 = 0))
1613, 15bitr2i 265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ↔ 𝑀 ∈ ℕ)
17 nnm1nn0 11331 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
1816, 17sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
1918ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 0 → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0))
2019con1d 139 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0𝑀 = 0))
2120imp 445 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0) → 𝑀 = 0)
2221orcd 407 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
2322ex 450 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
24233ad2ant1 1081 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
2524com12 32 . . . . . . . 8 (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
26 ioran 511 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾))
27 nn1m1nn 11037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 = 1 ∨ (𝑀 − 1) ∈ ℕ))
28 df-ne 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀𝐾 ↔ ¬ 𝑀 = 𝐾)
29 nn0re 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
3029ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) → 𝑀 ∈ ℝ)
31 nn0re 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
34 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) → 𝑀𝐾)
3530, 33, 34leltned 10187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) → (𝑀 < 𝐾𝐾𝑀))
36 necom 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀𝐾𝐾𝑀)
3735, 36syl6rbbr 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) → (𝑀𝐾𝑀 < 𝐾))
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) ∧ 𝑀 = 1) → (𝑀𝐾𝑀 < 𝐾))
39 breq1 4654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑀 = 1 → (𝑀 < 𝐾 ↔ 1 < 𝐾))
4039biimpa 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑀 = 1 ∧ 𝑀 < 𝐾) → 1 < 𝐾)
41 1red 10052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
4241, 32, 41ltsub1d 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (1 < 𝐾 ↔ (1 − 1) < (𝐾 − 1)))
43 1m1e0 11086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (1 − 1) = 0
4443breq1i 4658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((1 − 1) < (𝐾 − 1) ↔ 0 < (𝐾 − 1))
45 1zzd 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
463, 45zsubcld 11484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
4746adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 0 < (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
49 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 0 < (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1))
50 elnnz 11384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 − 1)))
5148, 49, 50sylanbrc 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 0 < (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
5251ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐾 − 1) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
5344, 52syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((1 − 1) < (𝐾 − 1) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
5442, 53sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (1 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
5540, 54syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 = 1 ∧ 𝑀 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
5655expd 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 1 → (𝑀 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
5756adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) → (𝑀 = 1 → (𝑀 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
5857imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) ∧ 𝑀 = 1) → (𝑀 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
5938, 58sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) ∧ 𝑀 = 1) → (𝑀𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
6059exp31 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾 → (𝑀 = 1 → (𝑀𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
6160com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀𝐾 → (𝑀𝐾 → (𝑀 = 1 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
6228, 61sylbir 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑀 = 𝐾 → (𝑀𝐾 → (𝑀 = 1 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
6362com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑀 = 𝐾 → (𝑀 = 1 → (𝑀𝐾 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
6463com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 1 → (𝑀𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
6564ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = 1 → (𝑀𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
6665com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀𝐾 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = 1 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
6766com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 = 1 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
6829ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
6931adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
70 1red 10052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
7168, 69, 70lesub1d 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾 ↔ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)))
723ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
73 1zzd 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 1 ∈ ℤ)
7472, 73zsubcld 11484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
75 nngt0 11046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ → 0 < (𝑀 − 1))
76 0red 10038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
77 peano2rem 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
7829, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
7978adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
80 peano2rem 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
8131, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
8281adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
83 ltletr 10126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℝ) → ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1)))
8476, 79, 82, 83syl3anc 1325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1)))
8584ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1))))
8685com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐾 − 1))))
8786ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (0 < (𝑀 − 1) → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐾 − 1)))))
8887com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 < (𝑀 − 1) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → 0 < (𝐾 − 1)))))
8975, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → 0 < (𝐾 − 1)))))
9089imp41 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1))
9174, 90, 50sylanbrc 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
9291a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
9392ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
9471, 93sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
9594ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
9695com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
9796ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
9867, 97jaoi 394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 = 1 ∨ (𝑀 − 1) ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
9927, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
10013, 99sylbir 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
101100ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≠ 0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))))
102101pm2.43a 54 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≠ 0 → (𝑀𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
103102com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (𝑀 ≠ 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
1041033imp 1255 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 ≠ 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
105104com3l 89 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ≠ 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
10614, 105sylbir 225 . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 = 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
107106imp 445 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
10826, 107sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
109108com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
110109con1d 139 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
111110com12 32 . . . . . . . 8 (¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
11229adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
11331adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
114 1red 10052 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
115112, 113, 1143jca 1241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
1161153adant3 1080 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
117 ltsub1 10521 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
119118bicomd 213 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → ((𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) ↔ 𝑀 < 𝐾))
120119notbid 308 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) ↔ ¬ 𝑀 < 𝐾))
121 eqlelt 10122 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝐾 ↔ (𝑀𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)))
12229, 31, 121syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 𝐾 ↔ (𝑀𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)))
123122biimpar 502 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)) → 𝑀 = 𝐾)
124123olcd 408 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
125124exp43 640 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (¬ 𝑀 < 𝐾 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))))
1261253imp 1255 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ 𝑀 < 𝐾 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
127120, 126sylbid 230 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
128127com12 32 . . . . . . . 8 (¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
12925, 111, 1283jaoi 1390 . . . . . . 7 ((¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∨ ¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∨ ¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
13012, 129sylbi 207 . . . . . 6 (¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
131130com12 32 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
13211, 131sylbid 230 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
1338, 132sylbid 230 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
1341, 133sylbi 207 . 2 (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
135134imp 445 1 ((𝑀 ∈ (0...𝐾) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3o 1036  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  wne 2793   class class class wbr 4651  (class class class)co 6647  cr 9932  0cc0 9933  1c1 9934   < clt 10071  cle 10072  cmin 10263  cn 11017  0cn0 11289  cz 11374  ...cfz 12323  ..^cfzo 12461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-fz 12324  df-fzo 12462
This theorem is referenced by:  elfznelfzob  12570  injresinjlem  12583
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