Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemsv3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemsv3 29543
Description: Lemma for eulerpart 29564. Value of the sum of a finite partition 𝐴 (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpartlems.s 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemsv3 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆𝐴) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑆𝐴))((𝐴𝑘) · 𝑘))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑅,𝑓,𝑘   𝑆,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem eulerpartlemsv3
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpartlems.r . . 3 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2 eulerpartlems.s . . 3 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘))
31, 2eulerpartlemsv1 29538 . 2 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘))
4 fzssuz 12210 . . . . 5 (1...(𝑆𝐴)) ⊆ (ℤ‘1)
5 nnuz 11557 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
64, 5sseqtr4i 3600 . . . 4 (1...(𝑆𝐴)) ⊆ ℕ
76a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (1...(𝑆𝐴)) ⊆ ℕ)
81, 2eulerpartlemelr 29539 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin))
98simpld 473 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
109adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆𝐴))) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
117sselda 3567 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆𝐴))) → 𝑘 ∈ ℕ)
1210, 11ffvelrnd 6252 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆𝐴))) → (𝐴𝑘) ∈ ℕ0)
1312nn0cnd 11202 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆𝐴))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
1411nncnd 10885 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆𝐴))) → 𝑘 ∈ ℂ)
1513, 14mulcld 9916 . . 3 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆𝐴))) → ((𝐴𝑘) · 𝑘) ∈ ℂ)
161, 2eulerpartlems 29542 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))) → (𝐴𝑡) = 0)
1716ralrimiva 2948 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑡 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))(𝐴𝑡) = 0)
18 fveq2 6087 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑡 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑡))
1918eqeq1d 2611 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑡 → ((𝐴𝑘) = 0 ↔ (𝐴𝑡) = 0))
2019cbvralv 3146 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))(𝐴𝑘) = 0 ↔ ∀𝑡 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))(𝐴𝑡) = 0)
2117, 20sylibr 222 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))(𝐴𝑘) = 0)
221, 2eulerpartlemsf 29541 . . . . . . . . . 10 𝑆:((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅)⟶ℕ0
2322ffvelrni 6250 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆𝐴) ∈ ℕ0)
24 nndiffz1 28729 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐴) ∈ ℕ0 → (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴))) = (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴))) = (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1)))
2625raleqdv 3120 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (∀𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))(𝐴𝑘) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))(𝐴𝑘) = 0))
2721, 26mpbird 245 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))(𝐴𝑘) = 0)
2827r19.21bi 2915 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → (𝐴𝑘) = 0)
2928oveq1d 6541 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → ((𝐴𝑘) · 𝑘) = (0 · 𝑘))
30 simpr 475 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴))))
3130eldifad 3551 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
3231nncnd 10885 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
3332mul02d 10085 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → (0 · 𝑘) = 0)
3429, 33eqtrd 2643 . . 3 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 0)
355eqimssi 3621 . . . 4 ℕ ⊆ (ℤ‘1)
3635a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → ℕ ⊆ (ℤ‘1))
377, 15, 34, 36sumss 14250 . 2 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑆𝐴))((𝐴𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘))
383, 37eqtr4d 2646 1 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆𝐴) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑆𝐴))((𝐴𝑘) · 𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  {cab 2595  wral 2895  cdif 3536  cin 3538  wss 3539  cmpt 4637  ccnv 5026  cima 5030  wf 5785  cfv 5789  (class class class)co 6526  𝑚 cmap 7721  Fincfn 7818  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  cn 10869  0cn0 11141  cuz 11521  ...cfz 12154  Σcsu 14212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-rp 11667  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-fl 12412  df-seq 12621  df-exp 12680  df-hash 12937  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772  df-clim 14015  df-rlim 14016  df-sum 14213
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgc  29544
  Copyright terms: Public domain W3C validator