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Theorem eulerpartlems 30245
Description: Lemma for eulerpart 30267. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpartlems.s 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlems ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))) → (𝐴𝑡) = 0)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑅,𝑓,𝑘   𝑡,𝑘,𝐴   𝑡,𝑅   𝑡,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem eulerpartlems
Dummy variables 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpartlems.r . . . . . 6 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2 eulerpartlems.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘))
31, 2eulerpartlemsf 30244 . . . . 5 𝑆:((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅)⟶ℕ0
43ffvelrni 6324 . . . 4 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆𝐴) ∈ ℕ0)
5 nndiffz1 29431 . . . . 5 ((𝑆𝐴) ∈ ℕ0 → (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴))) = (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1)))
65eleq2d 2684 . . . 4 ((𝑆𝐴) ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴))) ↔ 𝑡 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))))
74, 6syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴))) ↔ 𝑡 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))))
87pm5.32i 668 . 2 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) ↔ (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))))
9 simpr 477 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴))))
10 eldif 3570 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴))) ↔ (𝑡 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (1...(𝑆𝐴))))
119, 10sylib 208 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → (𝑡 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (1...(𝑆𝐴))))
1211simpld 475 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → 𝑡 ∈ ℕ)
131, 2eulerpartlemelr 30242 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin))
1413simpld 475 . . . . 5 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
1514ffvelrnda 6325 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝐴𝑡) ∈ ℕ0)
1612, 15syldan 487 . . 3 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → (𝐴𝑡) ∈ ℕ0)
17 simpl 473 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → 𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅))
184adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → (𝑆𝐴) ∈ ℕ0)
1911simprd 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → ¬ 𝑡 ∈ (1...(𝑆𝐴)))
20 simpl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → 𝑡 ∈ ℕ)
21 nnuz 11683 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
2220, 21syl6eleq 2708 . . . . . . . . 9 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → 𝑡 ∈ (ℤ‘1))
23 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → (𝑆𝐴) ∈ ℕ0)
2423nn0zd 11440 . . . . . . . . 9 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → (𝑆𝐴) ∈ ℤ)
25 elfz5 12292 . . . . . . . . 9 ((𝑡 ∈ (ℤ‘1) ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℤ) → (𝑡 ∈ (1...(𝑆𝐴)) ↔ 𝑡 ≤ (𝑆𝐴)))
2622, 24, 25syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → (𝑡 ∈ (1...(𝑆𝐴)) ↔ 𝑡 ≤ (𝑆𝐴)))
2726notbid 308 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → (¬ 𝑡 ∈ (1...(𝑆𝐴)) ↔ ¬ 𝑡 ≤ (𝑆𝐴)))
2823nn0red 11312 . . . . . . . 8 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → (𝑆𝐴) ∈ ℝ)
2920nnred 10995 . . . . . . . 8 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → 𝑡 ∈ ℝ)
3028, 29ltnled 10144 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → ((𝑆𝐴) < 𝑡 ↔ ¬ 𝑡 ≤ (𝑆𝐴)))
3127, 30bitr4d 271 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → (¬ 𝑡 ∈ (1...(𝑆𝐴)) ↔ (𝑆𝐴) < 𝑡))
3231biimpa 501 . . . . 5 (((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (1...(𝑆𝐴))) → (𝑆𝐴) < 𝑡)
3312, 18, 19, 32syl21anc 1322 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → (𝑆𝐴) < 𝑡)
341, 2eulerpartlemsv1 30241 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘))
35 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑡 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑡))
36 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑡𝑘 = 𝑡)
3735, 36oveq12d 6633 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑡 → ((𝐴𝑘) · 𝑘) = ((𝐴𝑡) · 𝑡))
3837cbvsumv 14376 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡)
3934, 38syl6req 2672 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡) = (𝑆𝐴))
40 breq2 4627 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑙 → ((𝑆𝐴) < 𝑡 ↔ (𝑆𝐴) < 𝑙))
41 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 𝑙 → (𝐴𝑡) = (𝐴𝑙))
4241breq2d 4635 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑙 → (0 < (𝐴𝑡) ↔ 0 < (𝐴𝑙)))
4340, 42anbi12d 746 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑙 → (((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)) ↔ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))))
4443cbvrexv 3164 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑡 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)) ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙)))
454adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ ∃𝑙 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝑆𝐴) ∈ ℕ0)
4645nn0red 11312 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ ∃𝑙 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝑆𝐴) ∈ ℝ)
474ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝑆𝐴) ∈ ℕ0)
4847nn0red 11312 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝑆𝐴) ∈ ℝ)
49 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝑙 ∈ ℕ)
5049adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → 𝑙 ∈ ℕ)
5150nnred 10995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → 𝑙 ∈ ℝ)
52 1zzd 11368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
5314ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
54 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℕ)
55 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)))
56 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑡) → 𝑚 = 𝑡)
5756fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑡) → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑡))
5857, 56oveq12d 6633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑡) → ((𝐴𝑚) · 𝑚) = ((𝐴𝑡) · 𝑡))
59 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℕ)
60 ffvelrn 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) → (𝐴𝑡) ∈ ℕ0)
6159nnnn0d 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℕ0)
6260, 61nn0mulcld 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑡) · 𝑡) ∈ ℕ0)
6355, 58, 59, 62fvmptd 6255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚))‘𝑡) = ((𝐴𝑡) · 𝑡))
6453, 54, 63syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚))‘𝑡) = ((𝐴𝑡) · 𝑡))
6514adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
6665ffvelrnda 6325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝐴𝑡) ∈ ℕ0)
6754nnnn0d 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℕ0)
6866, 67nn0mulcld 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑡) · 𝑡) ∈ ℕ0)
6968nn0red 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑡) · 𝑡) ∈ ℝ)
70 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 = 𝑡 → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑡))
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 = 𝑡𝑚 = 𝑡)
7270, 71oveq12d 6633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 = 𝑡 → ((𝐴𝑚) · 𝑚) = ((𝐴𝑡) · 𝑡))
7372cbvmptv 4720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) = (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑡) · 𝑡))
7468, 73fmptd 6351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)):ℕ⟶ℕ0)
75 nn0sscn 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ⊆ ℂ
76 fss 6023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)):ℕ⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)):ℕ⟶ℂ)
7774, 75, 76sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)):ℕ⟶ℂ)
78 nnex 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℕ ∈ V
79 0nn0 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ∈ ℕ0
80 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℂ ∖ {0}) = (ℂ ∖ {0})
8180ffs2 29387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((ℕ ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)):ℕ⟶ℂ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) supp 0) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) “ (ℂ ∖ {0})))
8278, 79, 81mp3an12 1411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)):ℕ⟶ℂ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) supp 0) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) “ (ℂ ∖ {0})))
8377, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) supp 0) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) “ (ℂ ∖ {0})))
84 frnnn0supp 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ℕ ∈ V ∧ 𝐴:ℕ⟶ℕ0) → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ ℕ))
8578, 65, 84sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ ℕ))
8613simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin)
8786adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin)
8885, 87eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐴 supp 0) ∈ Fin)
8978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → ℕ ∈ V)
9079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
91 ffn 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴:ℕ⟶ℕ0𝐴 Fn ℕ)
92 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑡) = 0) → (𝐴𝑡) = 0)
9392oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑡) = 0) → ((𝐴𝑡) · 𝑡) = (0 · 𝑡))
94 simp2 1060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑡) = 0) → 𝑡 ∈ ℕ)
9594nncnd 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑡) = 0) → 𝑡 ∈ ℂ)
9695mul02d 10194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑡) = 0) → (0 · 𝑡) = 0)
9793, 96eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑡) = 0) → ((𝐴𝑡) · 𝑡) = 0)
9873, 89, 90, 91, 97suppss3 29386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) supp 0) ⊆ (𝐴 supp 0))
9965, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) supp 0) ⊆ (𝐴 supp 0))
100 ssfi 8140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) supp 0) ⊆ (𝐴 supp 0)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) supp 0) ∈ Fin)
10188, 99, 100syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) supp 0) ∈ Fin)
10283, 101eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) “ (ℂ ∖ {0})) ∈ Fin)
10321, 52, 77, 102fsumcvg4 29820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚))) ∈ dom ⇝ )
10421, 52, 64, 69, 103isumrecl 14443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡) ∈ ℝ)
105104adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡) ∈ ℝ)
106 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝑆𝐴) < 𝑙)
10714ffvelrnda 6325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐴𝑙) ∈ ℕ0)
108107adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝐴𝑙) ∈ ℕ0)
109108nn0red 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝐴𝑙) ∈ ℝ)
110109, 51remulcld 10030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → ((𝐴𝑙) · 𝑙) ∈ ℝ)
11150nnnn0d 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
112111nn0ge0d 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → 0 ≤ 𝑙)
113 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → 0 < (𝐴𝑙))
114 elnnnn0b 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴𝑙) ∈ ℕ ↔ ((𝐴𝑙) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (𝐴𝑙)))
115 nnge1 11006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴𝑙) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝐴𝑙))
116114, 115sylbir 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝑙) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (𝐴𝑙)) → 1 ≤ (𝐴𝑙))
117108, 113, 116syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → 1 ≤ (𝐴𝑙))
11851, 109, 112, 117lemulge12d 10922 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → 𝑙 ≤ ((𝐴𝑙) · 𝑙))
119107nn0cnd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐴𝑙) ∈ ℂ)
12049nncnd 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝑙 ∈ ℂ)
121119, 120mulcld 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑙) · 𝑙) ∈ ℂ)
122 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 = 𝑙𝑡 = 𝑙)
12341, 122oveq12d 6633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 = 𝑙 → ((𝐴𝑡) · 𝑡) = ((𝐴𝑙) · 𝑙))
124123sumsn 14424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑙 ∈ ℕ ∧ ((𝐴𝑙) · 𝑙) ∈ ℂ) → Σ𝑡 ∈ {𝑙} ((𝐴𝑡) · 𝑡) = ((𝐴𝑙) · 𝑙))
12549, 121, 124syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ𝑡 ∈ {𝑙} ((𝐴𝑡) · 𝑡) = ((𝐴𝑙) · 𝑙))
126 snfi 7998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑙} ∈ Fin
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → {𝑙} ∈ Fin)
12849snssd 4316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → {𝑙} ⊆ ℕ)
12968nn0ge0d 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐴𝑡) · 𝑡))
13021, 52, 127, 128, 64, 69, 129, 103isumless 14521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ𝑡 ∈ {𝑙} ((𝐴𝑡) · 𝑡) ≤ Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡))
131125, 130eqbrtrrd 4647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑙) · 𝑙) ≤ Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡))
132131adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → ((𝐴𝑙) · 𝑙) ≤ Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡))
13351, 110, 105, 118, 132letrd 10154 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → 𝑙 ≤ Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡))
13448, 51, 105, 106, 133ltletrd 10157 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝑆𝐴) < Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡))
135134r19.29an 3072 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ ∃𝑙 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝑆𝐴) < Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡))
13646, 135gtned 10132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ ∃𝑙 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡) ≠ (𝑆𝐴))
137136ex 450 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (∃𝑙 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙)) → Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡) ≠ (𝑆𝐴)))
13844, 137syl5bi 232 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (∃𝑡 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)) → Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡) ≠ (𝑆𝐴)))
139138necon2bd 2806 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡) = (𝑆𝐴) → ¬ ∃𝑡 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡))))
14039, 139mpd 15 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → ¬ ∃𝑡 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)))
141 ralnex 2988 . . . . . . . 8 (∀𝑡 ∈ ℕ ¬ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)) ↔ ¬ ∃𝑡 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)))
142140, 141sylibr 224 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑡 ∈ ℕ ¬ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)))
143 imnan 438 . . . . . . . 8 (((𝑆𝐴) < 𝑡 → ¬ 0 < (𝐴𝑡)) ↔ ¬ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)))
144143ralbii 2976 . . . . . . 7 (∀𝑡 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑡 → ¬ 0 < (𝐴𝑡)) ↔ ∀𝑡 ∈ ℕ ¬ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)))
145142, 144sylibr 224 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑡 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑡 → ¬ 0 < (𝐴𝑡)))
146145r19.21bi 2928 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → ((𝑆𝐴) < 𝑡 → ¬ 0 < (𝐴𝑡)))
147146imp 445 . . . 4 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑆𝐴) < 𝑡) → ¬ 0 < (𝐴𝑡))
14817, 12, 33, 147syl21anc 1322 . . 3 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → ¬ 0 < (𝐴𝑡))
149 nn0re 11261 . . . . . 6 ((𝐴𝑡) ∈ ℕ0 → (𝐴𝑡) ∈ ℝ)
150 0red 10001 . . . . . 6 ((𝐴𝑡) ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
151149, 150lenltd 10143 . . . . 5 ((𝐴𝑡) ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑡) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (𝐴𝑡)))
152 nn0le0eq0 11281 . . . . 5 ((𝐴𝑡) ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑡) ≤ 0 ↔ (𝐴𝑡) = 0))
153151, 152bitr3d 270 . . . 4 ((𝐴𝑡) ∈ ℕ0 → (¬ 0 < (𝐴𝑡) ↔ (𝐴𝑡) = 0))
154153biimpa 501 . . 3 (((𝐴𝑡) ∈ ℕ0 ∧ ¬ 0 < (𝐴𝑡)) → (𝐴𝑡) = 0)
15516, 148, 154syl2anc 692 . 2 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → (𝐴𝑡) = 0)
1568, 155sylbir 225 1 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))) → (𝐴𝑡) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wne 2790  wral 2908  wrex 2909  Vcvv 3190  cdif 3557  cin 3559  wss 3560  {csn 4155   class class class wbr 4623  cmpt 4683  ccnv 5083  cima 5087  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615   supp csupp 7255  𝑚 cmap 7817  Fincfn 7915  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901   < clt 10034  cle 10035  cn 10980  0cn0 11252  cz 11337  cuz 11647  ...cfz 12284  Σcsu 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367
This theorem is referenced by:  eulerpartlemsv3  30246  eulerpartlemgc  30247
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