Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1subd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1subd 19625
 Description: Polynomial evaluation builder for subtraction of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.3 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1addd.4 (𝜑 → (𝑁𝑈 ∧ ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
evl1subd.s = (-g𝑃)
evl1subd.d 𝐷 = (-g𝑅)
Assertion
Ref Expression
evl1subd (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊)))

Proof of Theorem evl1subd
StepHypRef Expression
1 evl1addd.1 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
2 evl1addd.q . . . . . . 7 𝑂 = (eval1𝑅)
3 evl1addd.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
5 evl1addd.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
62, 3, 4, 5evl1rhm 19615 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
71, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
8 rhmghm 18646 . . . . 5 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)))
10 ghmgrp1 17583 . . . 4 (𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
12 evl1addd.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
1312simpld 475 . . 3 (𝜑𝑀𝑈)
14 evl1addd.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑈 ∧ ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
1514simpld 475 . . 3 (𝜑𝑁𝑈)
16 evl1addd.u . . . 4 𝑈 = (Base‘𝑃)
17 evl1subd.s . . . 4 = (-g𝑃)
1816, 17grpsubcl 17416 . . 3 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑀𝑈𝑁𝑈) → (𝑀 𝑁) ∈ 𝑈)
1911, 13, 15, 18syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑁) ∈ 𝑈)
20 eqid 2621 . . . . . . 7 (-g‘(𝑅s 𝐵)) = (-g‘(𝑅s 𝐵))
2116, 17, 20ghmsub 17589 . . . . . 6 ((𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)) ∧ 𝑀𝑈𝑁𝑈) → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀)(-g‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)))
229, 13, 15, 21syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀)(-g‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)))
23 crngring 18479 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
24 ringgrp 18473 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
251, 23, 243syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
26 fvex 6158 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) ∈ V
275, 26eqeltri 2694 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
2827a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ V)
29 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
3016, 29rhmf 18647 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
317, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
3231, 13ffvelrnd 6316 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
3331, 15ffvelrnd 6316 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑁) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
34 evl1subd.d . . . . . . 7 𝐷 = (-g𝑅)
354, 29, 34, 20pwssub 17450 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ((𝑂𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)) ∧ (𝑂𝑁) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))) → ((𝑂𝑀)(-g‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)) = ((𝑂𝑀) ∘𝑓 𝐷(𝑂𝑁)))
3625, 28, 32, 33, 35syl22anc 1324 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂𝑀)(-g‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)) = ((𝑂𝑀) ∘𝑓 𝐷(𝑂𝑁)))
3722, 36eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀) ∘𝑓 𝐷(𝑂𝑁)))
3837fveq1d 6150 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀) ∘𝑓 𝐷(𝑂𝑁))‘𝑌))
394, 5, 29, 1, 28, 32pwselbas 16070 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑀):𝐵𝐵)
40 ffn 6002 . . . . 5 ((𝑂𝑀):𝐵𝐵 → (𝑂𝑀) Fn 𝐵)
4139, 40syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝑀) Fn 𝐵)
424, 5, 29, 1, 28, 33pwselbas 16070 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑁):𝐵𝐵)
43 ffn 6002 . . . . 5 ((𝑂𝑁):𝐵𝐵 → (𝑂𝑁) Fn 𝐵)
4442, 43syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝑁) Fn 𝐵)
45 evl1addd.2 . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
46 fnfvof 6864 . . . 4 ((((𝑂𝑀) Fn 𝐵 ∧ (𝑂𝑁) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑌𝐵)) → (((𝑂𝑀) ∘𝑓 𝐷(𝑂𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂𝑁)‘𝑌)))
4741, 44, 28, 45, 46syl22anc 1324 . . 3 (𝜑 → (((𝑂𝑀) ∘𝑓 𝐷(𝑂𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂𝑁)‘𝑌)))
4812simprd 479 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
4914simprd 479 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊)
5048, 49oveq12d 6622 . . 3 (𝜑 → (((𝑂𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂𝑁)‘𝑌)) = (𝑉𝐷𝑊))
5138, 47, 503eqtrd 2659 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊))
5219, 51jca 554 1 (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186   Fn wfn 5842  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ∘𝑓 cof 6848  Basecbs 15781   ↑s cpws 16028  Grpcgrp 17343  -gcsg 17345   GrpHom cghm 17578  Ringcrg 18468  CRingccrg 18469   RingHom crh 18633  Poly1cpl1 19466  eval1ce1 19598 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-ofr 6851  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-prds 16029  df-pws 16031  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-srg 18427  df-ring 18470  df-cring 18471  df-rnghom 18636  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-assa 19231  df-asp 19232  df-ascl 19233  df-psr 19275  df-mvr 19276  df-mpl 19277  df-opsr 19279  df-evls 19425  df-evl 19426  df-psr1 19469  df-ply1 19471  df-evl1 19600 This theorem is referenced by:  ply1remlem  23826  lgsqrlem1  24971  idomrootle  37254  lineval  41470
 Copyright terms: Public domain W3C validator