MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1remlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1remlem 23643
Description: A term of the form 𝑥𝑁 is linear, monic, and has exactly one zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1rem.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1rem.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1rem.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1rem.x 𝑋 = (var1𝑅)
ply1rem.m = (-g𝑃)
ply1rem.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1rem.g 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑁))
ply1rem.o 𝑂 = (eval1𝑅)
ply1rem.1 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
ply1rem.2 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
ply1rem.3 (𝜑𝑁𝐾)
ply1rem.u 𝑈 = (Monic1p𝑅)
ply1rem.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
ply1rem.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1remlem (𝜑 → (𝐺𝑈 ∧ (𝐷𝐺) = 1 ∧ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) = {𝑁}))

Proof of Theorem ply1remlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1rem.g . . . 4 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑁))
2 ply1rem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
3 nzrring 19028 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5 ply1rem.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
65ply1ring 19385 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
74, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
8 ringgrp 18321 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
10 ply1rem.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1𝑅)
11 ply1rem.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
1210, 5, 11vr1cl 19354 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
134, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
14 ply1rem.a . . . . . . . 8 𝐴 = (algSc‘𝑃)
15 ply1rem.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝑅)
165, 14, 15, 11ply1sclf 19422 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾𝐵)
174, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴:𝐾𝐵)
18 ply1rem.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁𝐾)
1917, 18ffvelrnd 6253 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ 𝐵)
20 ply1rem.m . . . . . 6 = (-g𝑃)
2111, 20grpsubcl 17264 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐴𝑁) ∈ 𝐵) → (𝑋 (𝐴𝑁)) ∈ 𝐵)
229, 13, 19, 21syl3anc 1317 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 (𝐴𝑁)) ∈ 𝐵)
231, 22syl5eqel 2691 . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
241fveq2i 6091 . . . . . . 7 (𝐷𝐺) = (𝐷‘(𝑋 (𝐴𝑁)))
25 ply1rem.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1𝑅)
2625, 5, 11deg1xrcl 23563 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑁) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ*)
2719, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ*)
28 0xr 9942 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
30 1re 9895 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
31 rexr 9941 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
3230, 31mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
3325, 5, 15, 14deg1sclle 23593 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁𝐾) → (𝐷‘(𝐴𝑁)) ≤ 0)
344, 18, 33syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷‘(𝐴𝑁)) ≤ 0)
35 0lt1 10399 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 1)
3727, 29, 32, 34, 36xrlelttrd 11826 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷‘(𝐴𝑁)) < 1)
38 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . 14 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
3938, 11mgpbas 18264 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
40 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . 13 (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
4139, 40mulg1 17317 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝐵 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
4213, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
4342fveq2d 6092 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (𝐷𝑋))
44 1nn0 11155 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
4525, 5, 10, 38, 40deg1pw 23601 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 1)
462, 44, 45sylancl 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 1)
4743, 46eqtr3d 2645 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷𝑋) = 1)
4837, 47breqtrrd 4605 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷‘(𝐴𝑁)) < (𝐷𝑋))
495, 25, 4, 11, 20, 13, 19, 48deg1sub 23589 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷‘(𝑋 (𝐴𝑁))) = (𝐷𝑋))
5024, 49syl5eq 2655 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝐺) = (𝐷𝑋))
5150, 47eqtrd 2643 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐺) = 1)
5251, 44syl6eqel 2695 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
53 eqid 2609 . . . . . 6 (0g𝑃) = (0g𝑃)
5425, 5, 53, 11deg1nn0clb 23571 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐺 ≠ (0g𝑃) ↔ (𝐷𝐺) ∈ ℕ0))
554, 23, 54syl2anc 690 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ≠ (0g𝑃) ↔ (𝐷𝐺) ∈ ℕ0))
5652, 55mpbird 245 . . 3 (𝜑𝐺 ≠ (0g𝑃))
5751fveq2d 6092 . . . 4 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = ((coe1𝐺)‘1))
581fveq2i 6091 . . . . . 6 (coe1𝐺) = (coe1‘(𝑋 (𝐴𝑁)))
5958fveq1i 6089 . . . . 5 ((coe1𝐺)‘1) = ((coe1‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘1)
6044a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
61 eqid 2609 . . . . . . 7 (-g𝑅) = (-g𝑅)
625, 11, 20, 61coe1subfv 19403 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐴𝑁) ∈ 𝐵) ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘1) = (((coe1𝑋)‘1)(-g𝑅)((coe1‘(𝐴𝑁))‘1)))
634, 13, 19, 60, 62syl31anc 1320 . . . . 5 (𝜑 → ((coe1‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘1) = (((coe1𝑋)‘1)(-g𝑅)((coe1‘(𝐴𝑁))‘1)))
6459, 63syl5eq 2655 . . . 4 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘1) = (((coe1𝑋)‘1)(-g𝑅)((coe1‘(𝐴𝑁))‘1)))
6542oveq2d 6543 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)𝑋))
665ply1sca 19390 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
672, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6867fveq2d 6092 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1r𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
6968oveq1d 6542 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)𝑋) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)𝑋))
705ply1lmod 19389 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
714, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ LMod)
72 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
73 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
74 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
7511, 72, 73, 74lmodvs1 18660 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)𝑋) = 𝑋)
7671, 13, 75syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)𝑋) = 𝑋)
7765, 69, 763eqtrd 2647 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 𝑋)
7877fveq2d 6092 . . . . . . . 8 (𝜑 → (coe1‘((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (coe1𝑋))
7978fveq1d 6090 . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1‘((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = ((coe1𝑋)‘1))
80 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
8115, 80ringidcl 18337 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
824, 81syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
83 ply1rem.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
8483, 15, 5, 10, 73, 38, 40coe1tmfv1 19411 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = (1r𝑅))
854, 82, 60, 84syl3anc 1317 . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1‘((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = (1r𝑅))
8679, 85eqtr3d 2645 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1𝑋)‘1) = (1r𝑅))
87 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) = (0g𝑅)
885, 14, 15, 87coe1scl 19424 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁𝐾) → (coe1‘(𝐴𝑁)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅))))
894, 18, 88syl2anc 690 . . . . . . . 8 (𝜑 → (coe1‘(𝐴𝑁)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅))))
9089fveq1d 6090 . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1‘(𝐴𝑁))‘1) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)))‘1))
91 ax-1ne0 9861 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
92 neeq1 2843 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑥 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
9391, 92mpbiri 246 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → 𝑥 ≠ 0)
94 ifnefalse 4047 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ≠ 0 → if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)) = (0g𝑅))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)) = (0g𝑅))
96 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)))
97 fvex 6098 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) ∈ V
9895, 96, 97fvmpt 6176 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)))‘1) = (0g𝑅))
9944, 98ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)))‘1) = (0g𝑅)
10090, 99syl6eq 2659 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1‘(𝐴𝑁))‘1) = (0g𝑅))
10186, 100oveq12d 6545 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝑋)‘1)(-g𝑅)((coe1‘(𝐴𝑁))‘1)) = ((1r𝑅)(-g𝑅)(0g𝑅)))
102 ringgrp 18321 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
1034, 102syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
10415, 87, 61grpsubid1 17269 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐾) → ((1r𝑅)(-g𝑅)(0g𝑅)) = (1r𝑅))
105103, 82, 104syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑 → ((1r𝑅)(-g𝑅)(0g𝑅)) = (1r𝑅))
106101, 105eqtrd 2643 . . . 4 (𝜑 → (((coe1𝑋)‘1)(-g𝑅)((coe1‘(𝐴𝑁))‘1)) = (1r𝑅))
10757, 64, 1063eqtrd 2647 . . 3 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (1r𝑅))
108 ply1rem.u . . . 4 𝑈 = (Monic1p𝑅)
1095, 11, 53, 25, 108, 80ismon1p 23623 . . 3 (𝐺𝑈 ↔ (𝐺𝐵𝐺 ≠ (0g𝑃) ∧ ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (1r𝑅)))
11023, 56, 107, 109syl3anbrc 1238 . 2 (𝜑𝐺𝑈)
1111fveq2i 6091 . . . . . . . . . 10 (𝑂𝐺) = (𝑂‘(𝑋 (𝐴𝑁)))
112111fveq1i 6089 . . . . . . . . 9 ((𝑂𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘𝑥)
113 ply1rem.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (eval1𝑅)
114 ply1rem.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
115114adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑅 ∈ CRing)
116 simpr 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑥𝐾)
117113, 10, 15, 5, 11, 115, 116evl1vard 19468 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝑋𝐵 ∧ ((𝑂𝑋)‘𝑥) = 𝑥))
11818adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑁𝐾)
119113, 5, 15, 14, 11, 115, 118, 116evl1scad 19466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝐴𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝐴𝑁))‘𝑥) = 𝑁))
120113, 5, 15, 11, 115, 116, 117, 119, 20, 61evl1subd 19473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑋 (𝐴𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘𝑥) = (𝑥(-g𝑅)𝑁)))
121120simprd 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘𝑥) = (𝑥(-g𝑅)𝑁))
122112, 121syl5eq 2655 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂𝐺)‘𝑥) = (𝑥(-g𝑅)𝑁))
123122eqeq1d 2611 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ (𝑥(-g𝑅)𝑁) = 0 ))
124103adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑅 ∈ Grp)
12515, 83, 61grpsubeq0 17270 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐾𝑁𝐾) → ((𝑥(-g𝑅)𝑁) = 0𝑥 = 𝑁))
126124, 116, 118, 125syl3anc 1317 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑥(-g𝑅)𝑁) = 0𝑥 = 𝑁))
127123, 126bitrd 266 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0𝑥 = 𝑁))
128 velsn 4140 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑁} ↔ 𝑥 = 𝑁)
129127, 128syl6bbr 276 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0𝑥 ∈ {𝑁}))
130129pm5.32da 670 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 ) ↔ (𝑥𝐾𝑥 ∈ {𝑁})))
131 eqid 2609 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
132 eqid 2609 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
133 fvex 6098 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) ∈ V
13415, 133eqeltri 2683 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ V
135134a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ V)
136113, 5, 131, 15evl1rhm 19463 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
137114, 136syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
13811, 132rhmf 18495 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
139137, 138syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
140139, 23ffvelrnd 6253 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂𝐺) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
141131, 15, 132, 2, 135, 140pwselbas 15918 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝐺):𝐾𝐾)
142 ffn 5944 . . . . . 6 ((𝑂𝐺):𝐾𝐾 → (𝑂𝐺) Fn 𝐾)
143141, 142syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐺) Fn 𝐾)
144 fniniseg 6231 . . . . 5 ((𝑂𝐺) Fn 𝐾 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 )))
145143, 144syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 )))
14618snssd 4280 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑁} ⊆ 𝐾)
147146sseld 3566 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑁} → 𝑥𝐾))
148147pm4.71rd 664 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑁} ↔ (𝑥𝐾𝑥 ∈ {𝑁})))
149130, 145, 1483bitr4d 298 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) ↔ 𝑥 ∈ {𝑁}))
150149eqrdv 2607 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝐺) “ { 0 }) = {𝑁})
151110, 51, 1503jca 1234 1 (𝜑 → (𝐺𝑈 ∧ (𝐷𝐺) = 1 ∧ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) = {𝑁}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  Vcvv 3172  ifcif 4035  {csn 4124   class class class wbr 4577  cmpt 4637  ccnv 5027  cima 5031   Fn wfn 5785  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  0cn0 11139  Basecbs 15641  Scalarcsca 15717   ·𝑠 cvsca 15718  0gc0g 15869  s cpws 15876  Grpcgrp 17191  -gcsg 17193  .gcmg 17309  mulGrpcmgp 18258  1rcur 18270  Ringcrg 18316  CRingccrg 18317   RingHom crh 18481  LModclmod 18632  NzRingcnzr 19024  algSccascl 19078  var1cv1 19313  Poly1cpl1 19314  coe1cco1 19315  eval1ce1 19446   deg1 cdg1 23535  Monic1pcmn1 23606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-ofr 6773  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-sup 8208  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-hash 12935  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-prds 15877  df-pws 15879  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-mulg 17310  df-subg 17360  df-ghm 17427  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-srg 18275  df-ring 18318  df-cring 18319  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-rnghom 18484  df-subrg 18547  df-lmod 18634  df-lss 18700  df-lsp 18739  df-nzr 19025  df-rlreg 19050  df-assa 19079  df-asp 19080  df-ascl 19081  df-psr 19123  df-mvr 19124  df-mpl 19125  df-opsr 19127  df-evls 19273  df-evl 19274  df-psr1 19317  df-vr1 19318  df-ply1 19319  df-coe1 19320  df-evl1 19448  df-cnfld 19514  df-mdeg 23536  df-deg1 23537  df-mon1 23611
This theorem is referenced by:  ply1rem  23644  facth1  23645  fta1glem1  23646  fta1glem2  23647
  Copyright terms: Public domain W3C validator