Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idomrootle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idomrootle 38090
Description: No element of an integral domain can have more than 𝑁 𝑁-th roots. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
idomrootle.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
idomrootle.e = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
idomrootle ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (#‘{𝑦𝐵 ∣ (𝑁 𝑦) = 𝑋}) ≤ 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑁   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋
Allowed substitution hint:   (𝑦)

Proof of Theorem idomrootle
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . 3 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
2 eqid 2651 . . 3 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
3 eqid 2651 . . 3 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
4 eqid 2651 . . 3 (eval1𝑅) = (eval1𝑅)
5 eqid 2651 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
6 eqid 2651 . . 3 (0g‘(Poly1𝑅)) = (0g‘(Poly1𝑅))
7 simp1 1081 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ IDomn)
8 isidom 19352 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
98simplbi 475 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
107, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ CRing)
11 crngring 18604 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Ring)
131ply1ring 19666 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (Poly1𝑅) ∈ Ring)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (Poly1𝑅) ∈ Ring)
15 ringgrp 18598 . . . . 5 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → (Poly1𝑅) ∈ Grp)
1614, 15syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (Poly1𝑅) ∈ Grp)
17 eqid 2651 . . . . . . . 8 (mulGrp‘(Poly1𝑅)) = (mulGrp‘(Poly1𝑅))
1817ringmgp 18599 . . . . . . 7 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mnd)
1914, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mnd)
20 mndmgm 17347 . . . . . 6 ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mnd → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mgm)
2119, 20syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mgm)
22 simp3 1083 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
23 eqid 2651 . . . . . . 7 (var1𝑅) = (var1𝑅)
2423, 1, 2vr1cl 19635 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
2512, 24syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
2617, 2mgpbas 18541 . . . . . 6 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
27 eqid 2651 . . . . . 6 (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
2826, 27mulgnncl 17603 . . . . 5 (((mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
2921, 22, 25, 28syl3anc 1366 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
30 eqid 2651 . . . . . . 7 (algSc‘(Poly1𝑅)) = (algSc‘(Poly1𝑅))
31 idomrootle.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
321, 30, 31, 2ply1sclf 19703 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘(Poly1𝑅)):𝐵⟶(Base‘(Poly1𝑅)))
3312, 32syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (algSc‘(Poly1𝑅)):𝐵⟶(Base‘(Poly1𝑅)))
34 simp2 1082 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋𝐵)
3533, 34ffvelrnd 6400 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
36 eqid 2651 . . . . 5 (-g‘(Poly1𝑅)) = (-g‘(Poly1𝑅))
372, 36grpsubcl 17542 . . . 4 (((Poly1𝑅) ∈ Grp ∧ (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ ((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
3816, 29, 35, 37syl3anc 1366 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
393, 1, 2deg1xrcl 23887 . . . . . . . . . 10 (((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) → (( deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ ℝ*)
4035, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ ℝ*)
41 0xr 10124 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ*)
43 nnre 11065 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
4443rexrd 10127 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ*)
45443ad2ant3 1104 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ*)
463, 1, 31, 30deg1sclle 23917 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (( deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ≤ 0)
4712, 34, 46syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ≤ 0)
48 nngt0 11087 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
49483ad2ant3 1104 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
5040, 42, 45, 47, 49xrlelttrd 12029 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) < 𝑁)
518simprbi 479 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
52 domnnzr 19343 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
547, 53syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ NzRing)
55 nnnn0 11337 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
56553ad2ant3 1104 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
573, 1, 23, 17, 27deg1pw 23925 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (( deg1𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))) = 𝑁)
5854, 56, 57syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))) = 𝑁)
5950, 58breqtrrd 4713 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) < (( deg1𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))))
601, 3, 12, 2, 36, 29, 35, 59deg1sub 23913 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) = (( deg1𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))))
6160, 58eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) = 𝑁)
6261, 56eqeltrd 2730 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) ∈ ℕ0)
633, 1, 6, 2deg1nn0clb 23895 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → (((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ≠ (0g‘(Poly1𝑅)) ↔ (( deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) ∈ ℕ0))
6412, 38, 63syl2anc 694 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ≠ (0g‘(Poly1𝑅)) ↔ (( deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) ∈ ℕ0))
6562, 64mpbird 247 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
661, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 38, 65fta1g 23972 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (#‘(((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) “ {(0g𝑅)})) ≤ (( deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))))
67 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
68 eqid 2651 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
69 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) ∈ V
7031, 69eqeltri 2726 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ V)
724, 1, 67, 31evl1rhm 19744 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → (eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)))
7310, 72syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)))
742, 68rhmf 18774 . . . . . . . . 9 ((eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)) → (eval1𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
7573, 74syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (eval1𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
7675, 38ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
7767, 31, 68, 7, 71, 76pwselbas 16196 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))):𝐵𝐵)
78 ffn 6083 . . . . . 6 (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))):𝐵𝐵 → ((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) Fn 𝐵)
7977, 78syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) Fn 𝐵)
80 fniniseg2 6380 . . . . 5 (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) Fn 𝐵 → (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) “ {(0g𝑅)}) = {𝑦𝐵 ∣ (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g𝑅)})
8179, 80syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) “ {(0g𝑅)}) = {𝑦𝐵 ∣ (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g𝑅)})
8210adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
83 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
844, 23, 31, 1, 2, 82, 83evl1vard 19749 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → ((var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ (((eval1𝑅)‘(var1𝑅))‘𝑦) = 𝑦))
85 idomrootle.e . . . . . . . . . 10 = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
86 simpl3 1086 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
8786, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
884, 1, 31, 2, 82, 83, 84, 27, 85, 87evl1expd 19757 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ (((eval1𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅)))‘𝑦) = (𝑁 𝑦)))
89 simpl2 1085 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑋𝐵)
904, 1, 31, 30, 2, 82, 89, 83evl1scad 19747 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ (((eval1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))‘𝑦) = 𝑋))
91 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (-g𝑅) = (-g𝑅)
924, 1, 31, 2, 82, 83, 88, 90, 36, 91evl1subd 19754 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = ((𝑁 𝑦)(-g𝑅)𝑋)))
9392simprd 478 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = ((𝑁 𝑦)(-g𝑅)𝑋))
9493eqeq1d 2653 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → ((((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g𝑅) ↔ ((𝑁 𝑦)(-g𝑅)𝑋) = (0g𝑅)))
95 ringgrp 18598 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
9612, 95syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Grp)
9796adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
98 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
9998ringmgp 18599 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
10012, 99syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
101100adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
102 mndmgm 17347 . . . . . . . . 9 ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
103101, 102syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
10498, 31mgpbas 18541 . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
105104, 85mulgnncl 17603 . . . . . . . 8 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐵) → (𝑁 𝑦) ∈ 𝐵)
106103, 86, 83, 105syl3anc 1366 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑁 𝑦) ∈ 𝐵)
10731, 5, 91grpsubeq0 17548 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑁 𝑦) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (((𝑁 𝑦)(-g𝑅)𝑋) = (0g𝑅) ↔ (𝑁 𝑦) = 𝑋))
10897, 106, 89, 107syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (((𝑁 𝑦)(-g𝑅)𝑋) = (0g𝑅) ↔ (𝑁 𝑦) = 𝑋))
10994, 108bitrd 268 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → ((((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g𝑅) ↔ (𝑁 𝑦) = 𝑋))
110109rabbidva 3219 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → {𝑦𝐵 ∣ (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g𝑅)} = {𝑦𝐵 ∣ (𝑁 𝑦) = 𝑋})
11181, 110eqtrd 2685 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) “ {(0g𝑅)}) = {𝑦𝐵 ∣ (𝑁 𝑦) = 𝑋})
112111fveq2d 6233 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (#‘(((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) “ {(0g𝑅)})) = (#‘{𝑦𝐵 ∣ (𝑁 𝑦) = 𝑋}))
11366, 112, 613brtr3d 4716 1 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (#‘{𝑦𝐵 ∣ (𝑁 𝑦) = 𝑋}) ≤ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  {crab 2945  Vcvv 3231  {csn 4210   class class class wbr 4685  ccnv 5142  cima 5146   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  0cn0 11330  #chash 13157  Basecbs 15904  0gc0g 16147  s cpws 16154  Mgmcmgm 17287  Mndcmnd 17341  Grpcgrp 17469  -gcsg 17471  .gcmg 17587  mulGrpcmgp 18535  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594   RingHom crh 18760  NzRingcnzr 19305  Domncdomn 19328  IDomncidom 19329  algSccascl 19359  var1cv1 19594  Poly1cpl1 19595  eval1ce1 19727   deg1 cdg1 23859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-srg 18552  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-rnghom 18763  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-nzr 19306  df-rlreg 19331  df-domn 19332  df-idom 19333  df-assa 19360  df-asp 19361  df-ascl 19362  df-psr 19404  df-mvr 19405  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-evls 19554  df-evl 19555  df-psr1 19598  df-vr1 19599  df-ply1 19600  df-coe1 19601  df-evl1 19729  df-cnfld 19795  df-mdeg 23860  df-deg1 23861  df-mon1 23935  df-uc1p 23936  df-q1p 23937  df-r1p 23938
This theorem is referenced by:  idomodle  38091
  Copyright terms: Public domain W3C validator