Theorem idomrootle 39844

Description: No element of an integral domain can have more than 𝑁 𝑁-th roots. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
idomrootle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
idomrootle.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
idomrootle	⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑦) = 𝑋}) ≤ 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑁   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   ↑ (𝑦)

Proof of Theorem idomrootle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
3		eqid 2821	. . 3 ⊢ ( deg1 ‘𝑅) = ( deg1 ‘𝑅)
4		eqid 2821	. . 3 ⊢ (eval1‘𝑅) = (eval1‘𝑅)
5		eqid 2821	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6		eqid 2821	. . 3 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
7		simp1 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ IDomn)
8		isidom 20077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
9	8	simplbi 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ CRing)
11		crngring 19308	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Ring)
13	1	ply1ring 20416	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
15		ringgrp 19302	. . . . 5 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (Poly1‘𝑅) ∈ Grp)
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Poly1‘𝑅) ∈ Grp)
17		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) = (mulGrp‘(Poly1‘𝑅))
18	17	ringmgp 19303	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mnd)
19	14, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mnd)
20		mndmgm 17918	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mnd → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mgm)
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mgm)
22		simp3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
23		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
24	23, 1, 2	vr1cl 20385	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
25	12, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
26	17, 2	mgpbas 19245	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
27		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
28	26, 27	mulgnncl 18243	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
29	21, 22, 25, 28	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
30		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘(Poly1‘𝑅)) = (algSc‘(Poly1‘𝑅))
31		idomrootle.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
32	1, 30, 31, 2	ply1sclf 20453	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘(Poly1‘𝑅)):𝐵⟶(Base‘(Poly1‘𝑅)))
33	12, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (algSc‘(Poly1‘𝑅)):𝐵⟶(Base‘(Poly1‘𝑅)))
34		simp2 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
35	33, 34	ffvelrnd 6852	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
36		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (-g‘(Poly1‘𝑅)) = (-g‘(Poly1‘𝑅))
37	2, 36	grpsubcl 18179	. . . 4 ⊢ (((Poly1‘𝑅) ∈ Grp ∧ (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
38	16, 29, 35, 37	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
39	3, 1, 2	deg1xrcl 24676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) → (( deg1 ‘𝑅)‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ∈ ℝ*)
40	35, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1 ‘𝑅)‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ∈ ℝ*)
41		0xr 10688	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
42	41	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ*)
43		nnre 11645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
44	43	rexrd 10691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ*)
45	44	3ad2ant3 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ*)
46	3, 1, 31, 30	deg1sclle 24706	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( deg1 ‘𝑅)‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ≤ 0)
47	12, 34, 46	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1 ‘𝑅)‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ≤ 0)
48		nngt0 11669	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
49	48	3ad2ant3 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
50	40, 42, 45, 47, 49	xrlelttrd 12554	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1 ‘𝑅)‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) < 𝑁)
51	8	simprbi 499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
52		domnnzr 20068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
54	7, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ NzRing)
55		nnnn0 11905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
56	55	3ad2ant3 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
57	3, 1, 23, 17, 27	deg1pw 24714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))) = 𝑁)
58	54, 56, 57	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))) = 𝑁)
59	50, 58	breqtrrd 5094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1 ‘𝑅)‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) < (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))))
60	1, 3, 12, 2, 36, 29, 35, 59	deg1sub 24702	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1 ‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) = (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))))
61	60, 58	eqtrd 2856	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1 ‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) = 𝑁)
62	61, 56	eqeltrd 2913	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1 ‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) ∈ ℕ0)
63	3, 1, 6, 2	deg1nn0clb 24684	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ↔ (( deg1 ‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) ∈ ℕ0))
64	12, 38, 63	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ↔ (( deg1 ‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) ∈ ℕ0))
65	62, 64	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
66	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 38, 65	fta1g 24761	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(◡((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) “ {(0g‘𝑅)})) ≤ (( deg1 ‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))))
67		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
68		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
69	31	fvexi 6684	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
70	69	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ V)
71	4, 1, 67, 31	evl1rhm 20495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
72	10, 71	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
73	2, 68	rhmf 19478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
75	74, 38	ffvelrnd 6852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
76	67, 31, 68, 7, 70, 75	pwselbas 16762	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))):𝐵⟶𝐵)
77	76	ffnd 6515	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) Fn 𝐵)
78		fniniseg2 6832	. . . . 5 ⊢ (((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) Fn 𝐵 → (◡((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) “ {(0g‘𝑅)}) = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g‘𝑅)})
79	77, 78	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (◡((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) “ {(0g‘𝑅)}) = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g‘𝑅)})
80	10	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
81		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
82	4, 23, 31, 1, 2, 80, 81	evl1vard 20500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ (((eval1‘𝑅)‘(var1‘𝑅))‘𝑦) = 𝑦))
83		idomrootle.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
84		simpl3 1189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
85	84, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
86	4, 1, 31, 2, 80, 81, 82, 27, 83, 85	evl1expd 20508	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ (((eval1‘𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅)))‘𝑦) = (𝑁 ↑ 𝑦)))
87		simpl2 1188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
88	4, 1, 31, 30, 2, 80, 87, 81	evl1scad 20498	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ (((eval1‘𝑅)‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))‘𝑦) = 𝑋))
89		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
90	4, 1, 31, 2, 80, 81, 86, 88, 36, 89	evl1subd 20505	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ (((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = ((𝑁 ↑ 𝑦)(-g‘𝑅)𝑋)))
91	90	simprd 498	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = ((𝑁 ↑ 𝑦)(-g‘𝑅)𝑋))
92	91	eqeq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g‘𝑅) ↔ ((𝑁 ↑ 𝑦)(-g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅)))
93		ringgrp 19302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
94	12, 93	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Grp)
95	94	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
96		eqid 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
97	96	ringmgp 19303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
98	12, 97	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
99	98	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
100		mndmgm 17918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
102	96, 31	mgpbas 19245	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
103	102, 83	mulgnncl 18243	. . . . . . . 8 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑁 ↑ 𝑦) ∈ 𝐵)
104	101, 84, 81, 103	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑁 ↑ 𝑦) ∈ 𝐵)
105	31, 5, 89	grpsubeq0 18185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑁 ↑ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑁 ↑ 𝑦)(-g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑁 ↑ 𝑦) = 𝑋))
106	95, 104, 87, 105	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝑁 ↑ 𝑦)(-g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑁 ↑ 𝑦) = 𝑋))
107	92, 106	bitrd 281	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑁 ↑ 𝑦) = 𝑋))
108	107	rabbidva 3478	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g‘𝑅)} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑦) = 𝑋})
109	79, 108	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (◡((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) “ {(0g‘𝑅)}) = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑦) = 𝑋})
110	109	fveq2d 6674	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(◡((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) “ {(0g‘𝑅)})) = (♯‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑦) = 𝑋}))
111	66, 110, 61	3brtr3d 5097	1 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑦) = 𝑋}) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  {crab 3142  Vcvv 3494  {csn 4567   class class class wbr 5066  ^◡ccnv 5554   “ cima 5558   Fn wfn 6350  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  0cc0 10537  ℝ^*cxr 10674   < clt 10675   ≤ cle 10676  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  ♯chash 13691  Basecbs 16483  0_gc0g 16713   ↑_s cpws 16720  Mgmcmgm 17850  Mndcmnd 17911  Grpcgrp 18103  -_gcsg 18105  ._gcmg 18224  mulGrpcmgp 19239  Ringcrg 19297  CRingccrg 19298   RingHom crh 19464  NzRingcnzr 20030  Domncdomn 20053  IDomncidom 20054  algSccascl 20084  var₁cv1 20344  Poly₁cpl1 20345  eval₁ce1 20477   deg₁ cdg1 24648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-ofr 7410  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-sup 8906  df-oi 8974  df-dju 9330  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-hash 13692  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-srg 19256  df-ring 19299  df-cring 19300  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-rnghom 19467  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-nzr 20031  df-rlreg 20056  df-domn 20057  df-idom 20058  df-assa 20085  df-asp 20086  df-ascl 20087  df-psr 20136  df-mvr 20137  df-mpl 20138  df-opsr 20140  df-evls 20286  df-evl 20287  df-psr1 20348  df-vr1 20349  df-ply1 20350  df-coe1 20351  df-evl1 20479  df-cnfld 20546  df-mdeg 24649  df-deg1 24650  df-mon1 24724  df-uc1p 24725  df-q1p 24726  df-r1p 24727

This theorem is referenced by:  idomodle  39845