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Theorem frgrreggt1 27221
Description: If a finite nonempty friendship graph is 𝐾-regular with 𝐾 > 1, then 𝐾 must be 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
frgrreggt1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrreggt1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = 2))

Proof of Theorem frgrreggt1
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
21anim1i 591 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾))
32ancomd 467 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ))
4 simp3 1061 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ≠ ∅)
5 simp2 1060 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ∈ Fin)
64, 5jca 554 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
76adantr 481 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
8 frgrreggt1.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
98numclwwlk7lem 27217 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
103, 7, 9syl2anc 692 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
11 2z 11394 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → 2 ∈ ℤ)
13 nn0z 11385 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
1413adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
15 peano2zm 11405 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
17 zltlem1 11415 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 < 𝐾 ↔ 2 ≤ (𝐾 − 1)))
1811, 13, 17sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 < 𝐾 ↔ 2 ≤ (𝐾 − 1)))
1918biimpa 501 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → 2 ≤ (𝐾 − 1))
20 eluz2 11678 . . . . . . . . 9 ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (𝐾 − 1)))
2112, 16, 19, 20syl3anbrc 1244 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ‘2))
22 exprmfct 15397 . . . . . . . 8 ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1))
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1))
245anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾))
2524ancomd 467 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin))
268finrusgrfusgr 26442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐺 ∈ FinUSGraph )
28273ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝐺 ∈ FinUSGraph )
29 simp1l 1083 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝑝 ∈ ℙ)
30 numclwwlk8 27220 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((#‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0)
3128, 29, 30syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → ((#‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0)
3233ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ))
33 pm3.22 465 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
34333adant1 1077 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
36353ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
37 simp1 1059 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)))
388numclwwlk7 27219 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1)
3932, 36, 37, 38syl3anc 1324 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → ((#‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1)
40 eqeq1 2624 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0 → (((#‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1 ↔ 0 = 1))
41 ax-1ne0 9990 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ≠ 0
4241nesymi 2848 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 0 = 1
4342pm2.21i 116 . . . . . . . . . . . 12 (0 = 1 → 𝐾 = 2)
4440, 43syl6bi 243 . . . . . . . . . . 11 (((#‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 0 → (((#‘(𝑝 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑝) = 1 → 𝐾 = 2))
4531, 39, 44sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → 𝐾 = 2)
4645a1d 25 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)) → (1 < 𝐾𝐾 = 2))
47463exp 1262 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾𝐾 = 2))))
4847rexlimiva 3024 . . . . . . 7 (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾𝐾 = 2))))
4923, 48mpcom 38 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾𝐾 = 2)))
5049expcom 451 . . . . 5 (2 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾𝐾 = 2))))
5150com23 86 . . . 4 (2 < 𝐾 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾𝐾 = 2))))
52 1red 10040 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
53 nn0re 11286 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
5452, 53ltnled 10169 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 1))
55 1e2m1 11121 . . . . . . . . . . 11 1 = (2 − 1)
5655a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 = (2 − 1))
5756breq2d 4656 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 1 ↔ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
5857notbid 308 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐾 ≤ 1 ↔ ¬ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
59 zltlem1 11415 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐾 < 2 ↔ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
6013, 11, 59sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 2 ↔ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
6160bicomd 213 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ (2 − 1) ↔ 𝐾 < 2))
6261notbid 308 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐾 ≤ (2 − 1) ↔ ¬ 𝐾 < 2))
6354, 58, 623bitrd 294 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 2))
64 2re 11075 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
65 lttri3 10106 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝐾 = 2 ↔ (¬ 𝐾 < 2 ∧ ¬ 2 < 𝐾)))
6665biimprd 238 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((¬ 𝐾 < 2 ∧ ¬ 2 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
6753, 64, 66sylancl 693 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((¬ 𝐾 < 2 ∧ ¬ 2 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
6867expd 452 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐾 < 2 → (¬ 2 < 𝐾𝐾 = 2)))
6963, 68sylbid 230 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → (¬ 2 < 𝐾𝐾 = 2)))
7069com3r 87 . . . . 5 (¬ 2 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾𝐾 = 2)))
7170a1d 25 . . . 4 (¬ 2 < 𝐾 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾𝐾 = 2))))
7251, 71pm2.61i 176 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾𝐾 = 2)))
7310, 72mpd 15 . 2 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (1 < 𝐾𝐾 = 2))
7473expimpd 628 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wrex 2910  c0 3907   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  Fincfn 7940  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   < clt 10059  cle 10060  cmin 10251  2c2 11055  0cn0 11277  cz 11362  cuz 11672   mod cmo 12651  #chash 13100  cdvds 14964  cprime 15366  Vtxcvtx 25855   FinUSGraph cfusgr 26189   RegUSGraph crusgr 26433   ClWWalksN cclwwlksn 26857   FriendGraph cfrgr 27100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-ac2 9270  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-disj 4612  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-ec 7729  df-qs 7733  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-ac 8924  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-xadd 11932  df-ico 12166  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-word 13282  df-lsw 13283  df-concat 13284  df-s1 13285  df-substr 13286  df-reps 13289  df-csh 13516  df-s2 13574  df-s3 13575  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-sum 14398  df-dvds 14965  df-gcd 15198  df-prm 15367  df-phi 15452  df-vtx 25857  df-iedg 25858  df-edg 25921  df-uhgr 25934  df-ushgr 25935  df-upgr 25958  df-umgr 25959  df-uspgr 26026  df-usgr 26027  df-fusgr 26190  df-nbgr 26209  df-vtxdg 26343  df-rgr 26434  df-rusgr 26435  df-wlks 26476  df-wlkson 26477  df-trls 26570  df-trlson 26571  df-pths 26593  df-spths 26594  df-pthson 26595  df-spthson 26596  df-wwlks 26703  df-wwlksn 26704  df-wwlksnon 26705  df-wspthsn 26706  df-wspthsnon 26707  df-clwwlks 26858  df-clwwlksn 26859  df-frgr 27101
This theorem is referenced by:  frgrreg  27222
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