MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzomaxdiflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzomaxdiflem 14032
Description: Lemma for fzomaxdif 14033. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzomaxdiflem (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ (0..^(𝐷𝐶)))

Proof of Theorem fzomaxdiflem
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 12427 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 ∈ ℤ)
21adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 elfzoelz 12427 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐴 ∈ ℤ)
43adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐴 ∈ ℤ)
52, 4zsubcld 11447 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐴) ∈ ℤ)
65zred 11442 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
76adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
82zred 11442 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
94zred 11442 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
108, 9subge0d 10577 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (0 ≤ (𝐵𝐴) ↔ 𝐴𝐵))
1110biimpar 502 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → 0 ≤ (𝐵𝐴))
12 absid 13986 . . 3 (((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵𝐴)) → (abs‘(𝐵𝐴)) = (𝐵𝐴))
137, 11, 12syl2anc 692 . 2 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (abs‘(𝐵𝐴)) = (𝐵𝐴))
14 elfzoel1 12425 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐶 ∈ ℤ)
1514adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐶 ∈ ℤ)
1615zred 11442 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
178, 16resubcld 10418 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐶) ∈ ℝ)
18 elfzoel2 12426 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
1918adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
2019, 15zsubcld 11447 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐷𝐶) ∈ ℤ)
2120zred 11442 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐷𝐶) ∈ ℝ)
22 elfzole1 12435 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐶𝐴)
2322adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐶𝐴)
2416, 9, 8, 23lesub2dd 10604 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐴) ≤ (𝐵𝐶))
2519zred 11442 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
26 elfzolt2 12436 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 < 𝐷)
2726adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐵 < 𝐷)
288, 25, 16, 27ltsub1dd 10599 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐶) < (𝐷𝐶))
296, 17, 21, 24, 28lelttrd 10155 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐴) < (𝐷𝐶))
3029adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐴) < (𝐷𝐶))
31 0zd 11349 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 0 ∈ ℤ)
32 elfzo 12429 . . . . 5 (((𝐵𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝐷𝐶) ∈ ℤ) → ((𝐵𝐴) ∈ (0..^(𝐷𝐶)) ↔ (0 ≤ (𝐵𝐴) ∧ (𝐵𝐴) < (𝐷𝐶))))
335, 31, 20, 32syl3anc 1323 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐵𝐴) ∈ (0..^(𝐷𝐶)) ↔ (0 ≤ (𝐵𝐴) ∧ (𝐵𝐴) < (𝐷𝐶))))
3433adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐵𝐴) ∈ (0..^(𝐷𝐶)) ↔ (0 ≤ (𝐵𝐴) ∧ (𝐵𝐴) < (𝐷𝐶))))
3511, 30, 34mpbir2and 956 . 2 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ (0..^(𝐷𝐶)))
3613, 35eqeltrd 2698 1 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ (0..^(𝐷𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  cr 9895  0cc0 9896   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226  cz 11337  ..^cfzo 12422  abscabs 13924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926
This theorem is referenced by:  fzomaxdif  14033
  Copyright terms: Public domain W3C validator