MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwlem8 15894
Description: Lemma for vdw 15900. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem8.r (𝜑𝑅 ∈ Fin)
vdwlem8.k (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘2))
vdwlem8.w (𝜑𝑊 ∈ ℕ)
vdwlem8.f (𝜑𝐹:(1...(2 · 𝑊))⟶𝑅)
vdwlem8.c 𝐶 ∈ V
vdwlem8.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
vdwlem8.d (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
vdwlem8.s (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ⊆ (𝐺 “ {𝐶}))
vdwlem8.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 𝑊)))
Assertion
Ref Expression
vdwlem8 (𝜑 → ⟨1, 𝐾⟩ PolyAP 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶   𝑥,𝐾   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem vdwlem8
Dummy variables 𝑎 𝑑 𝑖 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwlem8.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
21nncnd 11228 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 vdwlem8.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
43nncnd 11228 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
52, 4addcomd 10430 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐴))
65oveq2d 6829 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 − (𝐴 + 𝐷)) = (𝑊 − (𝐷 + 𝐴)))
7 vdwlem8.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ ℕ)
87nncnd 11228 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ ℂ)
98, 4, 2subsub4d 10615 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑊𝐷) − 𝐴) = (𝑊 − (𝐷 + 𝐴)))
106, 9eqtr4d 2797 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 − (𝐴 + 𝐷)) = ((𝑊𝐷) − 𝐴))
1110oveq2d 6829 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + (𝑊 − (𝐴 + 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐴) + ((𝑊𝐷) − 𝐴)))
128, 4subcld 10584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝐷) ∈ ℂ)
132, 2, 12ppncand 10624 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + ((𝑊𝐷) − 𝐴)) = (𝐴 + (𝑊𝐷)))
1411, 13eqtrd 2794 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + (𝑊 − (𝐴 + 𝐷))) = (𝐴 + (𝑊𝐷)))
151, 1nnaddcld 11259 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℕ)
16 vdwlem8.s . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ⊆ (𝐺 “ {𝐶}))
17 cnvimass 5643 . . . . . . . . 9 (𝐺 “ {𝐶}) ⊆ dom 𝐺
18 fvex 6362 . . . . . . . . . 10 (𝐹‘(𝑥 + 𝑊)) ∈ V
19 vdwlem8.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 𝑊)))
2018, 19dmmpti 6184 . . . . . . . . 9 dom 𝐺 = (1...𝑊)
2117, 20sseqtri 3778 . . . . . . . 8 (𝐺 “ {𝐶}) ⊆ (1...𝑊)
2216, 21syl6ss 3756 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ⊆ (1...𝑊))
23 ssun2 3920 . . . . . . . . 9 ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷) ⊆ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
24 vdwlem8.k . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘2))
25 uz2m1nn 11956 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
271, 3nnaddcld 11259 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ)
28 vdwapid1 15881 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
2926, 27, 3, 28syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
3023, 29sseldi 3742 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
31 eluz2nn 11919 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
3224, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
3332nncnd 11228 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
34 ax-1cn 10186 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
35 npcan 10482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
3633, 34, 35sylancl 697 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
3736fveq2d 6356 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (AP‘((𝐾 − 1) + 1)) = (AP‘𝐾))
3837oveqd 6830 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
3926nnnn0d 11543 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
40 vdwapun 15880 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 − 1) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
4139, 1, 3, 40syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
4238, 41eqtr3d 2796 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
4330, 42eleqtrrd 2842 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
4422, 43sseldd 3745 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ (1...𝑊))
45 elfzuz3 12532 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝐷) ∈ (1...𝑊) → 𝑊 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 𝐷)))
46 uznn0sub 11912 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 𝐷)) → (𝑊 − (𝐴 + 𝐷)) ∈ ℕ0)
4744, 45, 463syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 − (𝐴 + 𝐷)) ∈ ℕ0)
48 nnnn0addcl 11515 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑊 − (𝐴 + 𝐷)) ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐴) + (𝑊 − (𝐴 + 𝐷))) ∈ ℕ)
4915, 47, 48syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + (𝑊 − (𝐴 + 𝐷))) ∈ ℕ)
5014, 49eqeltrrd 2840 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + (𝑊𝐷)) ∈ ℕ)
51 1nn 11223 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
52 f1osng 6338 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {⟨1, 𝐷⟩}:{1}–1-1-onto→{𝐷})
5351, 3, 52sylancr 698 . . . . . . 7 (𝜑 → {⟨1, 𝐷⟩}:{1}–1-1-onto→{𝐷})
54 f1of 6298 . . . . . . 7 ({⟨1, 𝐷⟩}:{1}–1-1-onto→{𝐷} → {⟨1, 𝐷⟩}:{1}⟶{𝐷})
5553, 54syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → {⟨1, 𝐷⟩}:{1}⟶{𝐷})
563snssd 4485 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐷} ⊆ ℕ)
5755, 56fssd 6218 . . . . 5 (𝜑 → {⟨1, 𝐷⟩}:{1}⟶ℕ)
58 1z 11599 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
59 fzsn 12576 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
6058, 59ax-mp 5 . . . . . 6 (1...1) = {1}
6160feq2i 6198 . . . . 5 ({⟨1, 𝐷⟩}:(1...1)⟶ℕ ↔ {⟨1, 𝐷⟩}:{1}⟶ℕ)
6257, 61sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → {⟨1, 𝐷⟩}:(1...1)⟶ℕ)
63 nnex 11218 . . . . 5 ℕ ∈ V
64 ovex 6841 . . . . 5 (1...1) ∈ V
6563, 64elmap 8052 . . . 4 ({⟨1, 𝐷⟩} ∈ (ℕ ↑𝑚 (1...1)) ↔ {⟨1, 𝐷⟩}:(1...1)⟶ℕ)
6662, 65sylibr 224 . . 3 (𝜑 → {⟨1, 𝐷⟩} ∈ (ℕ ↑𝑚 (1...1)))
671, 7nnaddcld 11259 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 + 𝑊) ∈ ℕ)
6867adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐴 + 𝑊) ∈ ℕ)
69 elfznn0 12626 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
703nnnn0d 11543 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
71 nn0mulcl 11521 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑚 · 𝐷) ∈ ℕ0)
7269, 70, 71syl2anr 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑚 · 𝐷) ∈ ℕ0)
73 nnnn0addcl 11515 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑚 · 𝐷) ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ ℕ)
7468, 72, 73syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ ℕ)
75 nnuz 11916 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
7674, 75syl6eleq 2849 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (ℤ‘1))
7716adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ⊆ (𝐺 “ {𝐶}))
78 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))
79 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝐷) = (𝑚 · 𝐷))
8079oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)))
8180eqeq2d 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)) ↔ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
8281rspcev 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)))
8378, 82mpan2 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)))
8432nnnn0d 11543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
85 vdwapval 15879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))))
8684, 1, 3, 85syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))))
8786biimpar 503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) → (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
8883, 87sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
8977, 88sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (𝐺 “ {𝐶}))
9018, 19fnmpti 6183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 Fn (1...𝑊)
91 fniniseg 6501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 Fn (1...𝑊) → ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (𝐺 “ {𝐶}) ↔ ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐺‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) = 𝐶)))
9290, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (𝐺 “ {𝐶}) ↔ ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐺‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) = 𝐶))
9389, 92sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐺‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) = 𝐶))
9493simpld 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...𝑊))
95 elfzuz3 12532 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...𝑊) → 𝑊 ∈ (ℤ‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
96 eluzelz 11889 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ (ℤ‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) → 𝑊 ∈ ℤ)
97 eluzadd 11908 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ (ℤ‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) ∧ 𝑊 ∈ ℤ) → (𝑊 + 𝑊) ∈ (ℤ‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)))
9896, 97mpdan 705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ (ℤ‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) → (𝑊 + 𝑊) ∈ (ℤ‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)))
9994, 95, 983syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑊 + 𝑊) ∈ (ℤ‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)))
10082timesd 11467 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · 𝑊) = (𝑊 + 𝑊))
101100adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (2 · 𝑊) = (𝑊 + 𝑊))
1022adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
1038adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑊 ∈ ℂ)
10472nn0cnd 11545 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑚 · 𝐷) ∈ ℂ)
105102, 103, 104add32d 10455 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) = ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊))
106105fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (ℤ‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))) = (ℤ‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)))
10799, 101, 1063eltr4d 2854 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (2 · 𝑊) ∈ (ℤ‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))))
108 elfzuzb 12529 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...(2 · 𝑊)) ↔ (((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (ℤ‘1) ∧ (2 · 𝑊) ∈ (ℤ‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)))))
10976, 107, 108sylanbrc 701 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...(2 · 𝑊)))
110105fveq2d 6356 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐹‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))) = (𝐹‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)))
111 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) → (𝑥 + 𝑊) = ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊))
112111fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑊)) = (𝐹‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)))
113 fvex 6362 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)) ∈ V
114112, 19, 113fvmpt 6444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...𝑊) → (𝐺‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) = (𝐹‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)))
11594, 114syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐺‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) = (𝐹‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)))
11693simprd 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐺‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) = 𝐶)
117110, 115, 1163eqtr2d 2800 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐹‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))) = 𝐶)
118109, 117jca 555 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...(2 · 𝑊)) ∧ (𝐹‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))) = 𝐶))
119 eleq1 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) → (𝑥 ∈ (1...(2 · 𝑊)) ↔ ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...(2 · 𝑊))))
120 fveq2 6352 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))))
121120eqeq1d 2762 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) → ((𝐹𝑥) = 𝐶 ↔ (𝐹‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))) = 𝐶))
122119, 121anbi12d 749 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) → ((𝑥 ∈ (1...(2 · 𝑊)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝐶) ↔ (((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...(2 · 𝑊)) ∧ (𝐹‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))) = 𝐶)))
123118, 122syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑥 = ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) → (𝑥 ∈ (1...(2 · 𝑊)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝐶)))
124123rexlimdva 3169 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) → (𝑥 ∈ (1...(2 · 𝑊)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝐶)))
125 vdwapval 15879 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + 𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑊)(AP‘𝐾)𝐷) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))))
12684, 67, 3, 125syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑊)(AP‘𝐾)𝐷) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))))
127 vdwlem8.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(1...(2 · 𝑊))⟶𝑅)
128 ffn 6206 . . . . . . . 8 (𝐹:(1...(2 · 𝑊))⟶𝑅𝐹 Fn (1...(2 · 𝑊)))
129 fniniseg 6501 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn (1...(2 · 𝑊)) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐶}) ↔ (𝑥 ∈ (1...(2 · 𝑊)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝐶)))
130127, 128, 1293syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐶}) ↔ (𝑥 ∈ (1...(2 · 𝑊)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝐶)))
131124, 126, 1303imtr4d 283 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑊)(AP‘𝐾)𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐶})))
132131ssrdv 3750 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑊)(AP‘𝐾)𝐷) ⊆ (𝐹 “ {𝐶}))
133 fvsng 6611 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ({⟨1, 𝐷⟩}‘1) = 𝐷)
13451, 3, 133sylancr 698 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({⟨1, 𝐷⟩}‘1) = 𝐷)
135134oveq2d 6829 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) = ((𝐴 + (𝑊𝐷)) + 𝐷))
1362, 12, 4addassd 10254 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑊𝐷)) + 𝐷) = (𝐴 + ((𝑊𝐷) + 𝐷)))
1378, 4npcand 10588 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑊𝐷) + 𝐷) = 𝑊)
138137oveq2d 6829 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + ((𝑊𝐷) + 𝐷)) = (𝐴 + 𝑊))
139135, 136, 1383eqtrd 2798 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) = (𝐴 + 𝑊))
140139, 134oveq12d 6831 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))(AP‘𝐾)({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) = ((𝐴 + 𝑊)(AP‘𝐾)𝐷))
141139fveq2d 6356 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))) = (𝐹‘(𝐴 + 𝑊)))
142 vdwapid1 15881 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
14332, 1, 3, 142syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
14416, 143sseldd 3745 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ (𝐺 “ {𝐶}))
145 fniniseg 6501 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 Fn (1...𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐺 “ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐺𝐴) = 𝐶)))
14690, 145ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (𝐺 “ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐺𝐴) = 𝐶))
147144, 146sylib 208 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐺𝐴) = 𝐶))
148147simpld 477 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (1...𝑊))
149 oveq1 6820 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 + 𝑊) = (𝐴 + 𝑊))
150149fveq2d 6356 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑊)) = (𝐹‘(𝐴 + 𝑊)))
151 fvex 6362 . . . . . . . . . 10 (𝐹‘(𝐴 + 𝑊)) ∈ V
152150, 19, 151fvmpt 6444 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (1...𝑊) → (𝐺𝐴) = (𝐹‘(𝐴 + 𝑊)))
153148, 152syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝐴) = (𝐹‘(𝐴 + 𝑊)))
154147simprd 482 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝐴) = 𝐶)
155141, 153, 1543eqtr2d 2800 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))) = 𝐶)
156155sneqd 4333 . . . . . 6 (𝜑 → {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))} = {𝐶})
157156imaeq2d 5624 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))}) = (𝐹 “ {𝐶}))
158132, 140, 1573sstr4d 3789 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))(AP‘𝐾)({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))}))
159158ralrimivw 3105 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...1)(((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))(AP‘𝐾)({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))}))
160155mpteq2dv 4897 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))) = (𝑖 ∈ (1...1) ↦ 𝐶))
161 fconstmpt 5320 . . . . . . . 8 ((1...1) × {𝐶}) = (𝑖 ∈ (1...1) ↦ 𝐶)
162160, 161syl6eqr 2812 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))) = ((1...1) × {𝐶}))
163162rneqd 5508 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))) = ran ((1...1) × {𝐶}))
164 elfz3 12544 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ (1...1))
165 ne0i 4064 . . . . . . . 8 (1 ∈ (1...1) → (1...1) ≠ ∅)
16658, 164, 165mp2b 10 . . . . . . 7 (1...1) ≠ ∅
167 rnxp 5722 . . . . . . 7 ((1...1) ≠ ∅ → ran ((1...1) × {𝐶}) = {𝐶})
168166, 167ax-mp 5 . . . . . 6 ran ((1...1) × {𝐶}) = {𝐶}
169163, 168syl6eq 2810 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))) = {𝐶})
170169fveq2d 6356 . . . 4 (𝜑 → (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))))) = (♯‘{𝐶}))
171 vdwlem8.c . . . . 5 𝐶 ∈ V
172 hashsng 13351 . . . . 5 (𝐶 ∈ V → (♯‘{𝐶}) = 1)
173171, 172ax-mp 5 . . . 4 (♯‘{𝐶}) = 1
174170, 173syl6eq 2810 . . 3 (𝜑 → (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))))) = 1)
175 oveq1 6820 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → (𝑎 + (𝑑𝑖)) = ((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))
176175oveq1d 6828 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → ((𝑎 + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) = (((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)))
177175fveq2d 6356 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖))) = (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))))
178177sneqd 4333 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → {(𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))} = {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))})
179178imaeq2d 5624 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → (𝐹 “ {(𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))}) = (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))}))
180176, 179sseq12d 3775 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → (((𝑎 + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))}) ↔ (((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))})))
181180ralbidv 3124 . . . . 5 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (1...1)((𝑎 + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))}) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...1)(((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))})))
182177mpteq2dv 4897 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))) = (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))))
183182rneqd 5508 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))) = ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))))
184183fveq2d 6356 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖))))) = (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))))))
185184eqeq1d 2762 . . . . 5 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → ((♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖))))) = 1 ↔ (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))))) = 1))
186181, 185anbi12d 749 . . . 4 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → ((∀𝑖 ∈ (1...1)((𝑎 + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))}) ∧ (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖))))) = 1) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...1)(((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))}) ∧ (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))))) = 1)))
187 fveq1 6351 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} → (𝑑𝑖) = ({⟨1, 𝐷⟩}‘𝑖))
188 elfz1eq 12545 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...1) → 𝑖 = 1)
189188fveq2d 6356 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝐷⟩}‘𝑖) = ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))
190187, 189sylan9eq 2814 . . . . . . . . 9 ((𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...1)) → (𝑑𝑖) = ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))
191190oveq2d 6829 . . . . . . . 8 ((𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...1)) → ((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)) = ((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))
192191, 190oveq12d 6831 . . . . . . 7 ((𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...1)) → (((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) = (((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))(AP‘𝐾)({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))
193191fveq2d 6356 . . . . . . . . 9 ((𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...1)) → (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))) = (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))))
194193sneqd 4333 . . . . . . . 8 ((𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...1)) → {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))} = {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))})
195194imaeq2d 5624 . . . . . . 7 ((𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...1)) → (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))}) = (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))}))
196192, 195sseq12d 3775 . . . . . 6 ((𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...1)) → ((((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))}) ↔ (((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))(AP‘𝐾)({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))})))
197196ralbidva 3123 . . . . 5 (𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} → (∀𝑖 ∈ (1...1)(((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))}) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...1)(((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))(AP‘𝐾)({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))})))
198193mpteq2dva 4896 . . . . . . . 8 (𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} → (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))) = (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))))
199198rneqd 5508 . . . . . . 7 (𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} → ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))) = ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))))
200199fveq2d 6356 . . . . . 6 (𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} → (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))))) = (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))))))
201200eqeq1d 2762 . . . . 5 (𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} → ((♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))))) = 1 ↔ (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))))) = 1))
202197, 201anbi12d 749 . . . 4 (𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} → ((∀𝑖 ∈ (1...1)(((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))}) ∧ (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))))) = 1) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...1)(((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))(AP‘𝐾)({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))}) ∧ (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))))) = 1)))
203186, 202rspc2ev 3463 . . 3 (((𝐴 + (𝑊𝐷)) ∈ ℕ ∧ {⟨1, 𝐷⟩} ∈ (ℕ ↑𝑚 (1...1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...1)(((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))(AP‘𝐾)({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))}) ∧ (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))))) = 1)) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ (ℕ ↑𝑚 (1...1))(∀𝑖 ∈ (1...1)((𝑎 + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))}) ∧ (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖))))) = 1))
20450, 66, 159, 174, 203syl112anc 1481 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ (ℕ ↑𝑚 (1...1))(∀𝑖 ∈ (1...1)((𝑎 + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))}) ∧ (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖))))) = 1))
205 ovex 6841 . . 3 (1...(2 · 𝑊)) ∈ V
20651a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
207 eqid 2760 . . 3 (1...1) = (1...1)
208205, 84, 127, 206, 207vdwpc 15886 . 2 (𝜑 → (⟨1, 𝐾⟩ PolyAP 𝐹 ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ (ℕ ↑𝑚 (1...1))(∀𝑖 ∈ (1...1)((𝑎 + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))}) ∧ (♯‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖))))) = 1)))
209204, 208mpbird 247 1 (𝜑 → ⟨1, 𝐾⟩ PolyAP 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  cun 3713  wss 3715  c0 4058  {csn 4321  cop 4327   class class class wbr 4804  cmpt 4881   × cxp 5264  ccnv 5265  dom cdm 5266  ran crn 5267  cima 5269   Fn wfn 6044  wf 6045  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑚 cmap 8023  Fincfn 8121  cc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  cmin 10458  cn 11212  2c2 11262  0cn0 11484  cz 11569  cuz 11879  ...cfz 12519  chash 13311  APcvdwa 15871   PolyAP cvdwp 15873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-hash 13312  df-vdwap 15874  df-vdwpc 15876
This theorem is referenced by:  vdwlem10  15896
  Copyright terms: Public domain W3C validator