Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fwddifn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fwddifn0 31910
 Description: The value of the n-iterated forward difference operator at zero is just the function value. (Contributed by Scott Fenton, 28-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fwddifn0.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
fwddifn0.2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
fwddifn0.3 (𝜑𝑋𝐴)
Assertion
Ref Expression
fwddifn0 (𝜑 → ((0 △n 𝐹)‘𝑋) = (𝐹𝑋))

Proof of Theorem fwddifn0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 11251 . . . 4 0 ∈ ℕ0
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3 fwddifn0.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
4 fwddifn0.2 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
5 fwddifn0.3 . . . 4 (𝜑𝑋𝐴)
63, 5sseldd 3584 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
7 0z 11332 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
8 fzsn 12325 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6 (0...0) = {0}
109eleq2i 2690 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...0) ↔ 𝑘 ∈ {0})
11 velsn 4164 . . . . 5 (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
1210, 11bitri 264 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...0) ↔ 𝑘 = 0)
13 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + 0))
1413adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 0) → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + 0))
156addid1d 10180 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
1615, 5eqeltrd 2698 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
1716adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 0) → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
1814, 17eqeltrd 2698 . . . 4 ((𝜑𝑘 = 0) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
1912, 18sylan2b 492 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...0)) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
202, 3, 4, 6, 19fwddifnval 31909 . 2 (𝜑 → ((0 △n 𝐹)‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
2115fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + 0)) = (𝐹𝑋))
2221oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0))) = (1 · (𝐹𝑋)))
234, 5ffvelrnd 6316 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ ℂ)
2423mulid2d 10002 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋))
2522, 24eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0))) = (𝐹𝑋))
2625oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝜑 → (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = (1 · (𝐹𝑋)))
2726, 24eqtrd 2655 . . . . 5 (𝜑 → (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = (𝐹𝑋))
2827, 23eqeltrd 2698 . . . 4 (𝜑 → (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) ∈ ℂ)
29 oveq2 6612 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = (0C0))
30 bcnn 13039 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℕ0 → (0C0) = 1)
311, 30ax-mp 5 . . . . . . 7 (0C0) = 1
3229, 31syl6eq 2671 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = 1)
33 oveq2 6612 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = (0 − 0))
34 0m0e0 11074 . . . . . . . . . 10 (0 − 0) = 0
3533, 34syl6eq 2671 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = 0)
3635oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (-1↑(0 − 𝑘)) = (-1↑0))
37 neg1cn 11068 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
38 exp0 12804 . . . . . . . . 9 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8 (-1↑0) = 1
4036, 39syl6eq 2671 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (-1↑(0 − 𝑘)) = 1)
4113fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) = (𝐹‘(𝑋 + 0)))
4240, 41oveq12d 6622 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0))))
4332, 42oveq12d 6622 . . . . 5 (𝑘 = 0 → ((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
4443fsum1 14406 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
457, 28, 44sylancr 694 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
4645, 27eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (𝐹𝑋))
4720, 46eqtrd 2655 1 (𝜑 → ((0 △n 𝐹)‘𝑋) = (𝐹𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3555  {csn 4148  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   − cmin 10210  -cneg 10211  ℕ0cn0 11236  ℤcz 11321  ...cfz 12268  ↑cexp 12800  Ccbc 13029  Σcsu 14350   △n cfwddifn 31906 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-fwddifn 31907 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator