MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprod1p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprod1p 14623
Description: Separate out the first term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 24-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprod1p.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fprod1p.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprod1p.3 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fprod1p (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (𝐵 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprod1p
StepHypRef Expression
1 fprod1p.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzfz1 12290 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
4 elfzelz 12284 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 fzsn 12325 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
87ineq1d 3791 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
95zred 11426 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
109ltp1d 10898 . . . . 5 (𝜑𝑀 < (𝑀 + 1))
11 fzdisj 12310 . . . . 5 (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((𝑀...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
138, 12eqtr3d 2657 . . 3 (𝜑 → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
14 fzsplit 12309 . . . . 5 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
153, 14syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
167uneq1d 3744 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
1715, 16eqtrd 2655 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
18 fzfid 12712 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
19 fprod1p.2 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2013, 17, 18, 19fprodsplit 14621 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
2119ralrimiva 2960 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
22 fprod1p.3 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐵)
2322eleq1d 2683 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
2423rspcv 3291 . . . . 5 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ → 𝐵 ∈ ℂ))
253, 21, 24sylc 65 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2622prodsn 14617 . . . 4 ((𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
273, 25, 26syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
2827oveq1d 6619 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴) = (𝐵 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
2920, 28eqtrd 2655 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (𝐵 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  cun 3553  cin 3554  c0 3891  {csn 4148   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cz 11321  cuz 11631  ...cfz 12268  cprod 14560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-prod 14561
This theorem is referenced by:  fallfacfwd  14692  0fallfac  14693  etransclem4  39759  etransclem31  39786  etransclem35  39790
  Copyright terms: Public domain W3C validator