MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexdvds3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gexdvds3 17945
Description: The exponent of a finite group divides the order (cardinality) of the group. Corollary of Lagrange's theorem for the order of a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl2.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl2.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gexdvds3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ (#‘𝑋))

Proof of Theorem gexdvds3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexcl2.1 . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2621 . . . . 5 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
31, 2oddvds2 17923 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝑋))
433expa 1262 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑥𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝑋))
54ralrimiva 2962 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∀𝑥𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝑋))
6 hashcl 13103 . . . . 5 (𝑋 ∈ Fin → (#‘𝑋) ∈ ℕ0)
76adantl 482 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (#‘𝑋) ∈ ℕ0)
87nn0zd 11440 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (#‘𝑋) ∈ ℤ)
9 gexcl2.2 . . . 4 𝐸 = (gEx‘𝐺)
101, 9, 2gexdvds2 17940 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝑋) ∈ ℤ) → (𝐸 ∥ (#‘𝑋) ↔ ∀𝑥𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝑋)))
118, 10syldan 487 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐸 ∥ (#‘𝑋) ↔ ∀𝑥𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝑋)))
125, 11mpbird 247 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ (#‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908   class class class wbr 4623  cfv 5857  Fincfn 7915  0cn0 11252  cz 11337  #chash 13073  cdvds 14926  Basecbs 15800  Grpcgrp 17362  odcod 17884  gExcgex 17885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-disj 4594  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-omul 7525  df-er 7702  df-ec 7704  df-qs 7708  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-acn 8728  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-sum 14367  df-dvds 14927  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-mulg 17481  df-subg 17531  df-eqg 17533  df-od 17888  df-gex 17889
This theorem is referenced by:  cyggex2  18238  pgpfac1lem3a  18415
  Copyright terms: Public domain W3C validator