MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revcl 13304
Description: The reverse of a word is a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revcl (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴)

Proof of Theorem revcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 revval 13303 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
2 wrdf 13108 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝐴)
32adantr 479 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝐴)
4 simpr 475 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
5 lencl 13122 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
65adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
76nn0zd 11309 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
8 fzoval 12292 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝑊)) = (0...((#‘𝑊) − 1)))
97, 8syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (0..^(#‘𝑊)) = (0...((#‘𝑊) − 1)))
104, 9eleqtrd 2686 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)))
11 fznn0sub2 12267 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)) → (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)))
1312, 9eleqtrrd 2687 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
143, 13ffvelrnd 6250 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)) ∈ 𝐴)
15 eqid 2606 . . . 4 (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
1614, 15fmptd 6274 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))):(0..^(#‘𝑊))⟶𝐴)
17 iswrdi 13107 . . 3 ((𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))):(0..^(#‘𝑊))⟶𝐴 → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))) ∈ Word 𝐴)
1816, 17syl 17 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))) ∈ Word 𝐴)
191, 18eqeltrd 2684 1 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cmpt 4634  wf 5783  cfv 5787  (class class class)co 6524  0cc0 9789  1c1 9790  cmin 10114  0cn0 11136  cz 11207  ...cfz 12149  ..^cfzo 12286  #chash 12931  Word cword 13089  reversecreverse 13095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-card 8622  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-hash 12932  df-word 13097  df-reverse 13103
This theorem is referenced by:  revs1  13308  revccat  13309  revrev  13310  revco  13374  gsumwrev  17562  psgnuni  17685  efginvrel2  17906  efginvrel1  17907  frgp0  17939  frgpinv  17943
  Copyright terms: Public domain W3C validator