MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumccat 17150
Description: Homomorphic property of composites. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumwcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumccat.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsumccat ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))

Proof of Theorem gsumccat
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6534 . . . 4 (𝑊 = ∅ → (𝑊 ++ 𝑋) = (∅ ++ 𝑋))
21oveq2d 6543 . . 3 (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)))
3 oveq2 6535 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ∅))
4 eqid 2609 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
54gsum0 17050 . . . . 5 (𝐺 Σg ∅) = (0g𝐺)
63, 5syl6eq 2659 . . . 4 (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑊) = (0g𝐺))
76oveq1d 6542 . . 3 (𝑊 = ∅ → ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) = ((0g𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)))
82, 7eqeq12d 2624 . 2 (𝑊 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) ↔ (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)) = ((0g𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋))))
9 oveq2 6535 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (𝑊 ++ 𝑋) = (𝑊 ++ ∅))
109oveq2d 6543 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)))
11 oveq2 6535 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑋) = (𝐺 Σg ∅))
1211, 5syl6eq 2659 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑋) = (0g𝐺))
1312oveq2d 6543 . . . 4 (𝑋 = ∅ → ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g𝐺)))
1410, 13eqeq12d 2624 . . 3 (𝑋 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) ↔ (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g𝐺))))
15 gsumwcl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
16 gsumccat.p . . . . . 6 + = (+g𝐺)
17 simpl1 1056 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐺 ∈ Mnd)
18 lennncl 13129 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
19183ad2antl2 1216 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
2019adantrr 748 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
21 lennncl 13129 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝑋 ≠ ∅) → (#‘𝑋) ∈ ℕ)
22213ad2antl3 1217 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (#‘𝑋) ∈ ℕ)
2322adantrl 747 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (#‘𝑋) ∈ ℕ)
2420, 23nnaddcld 10917 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) ∈ ℕ)
25 nnm1nn0 11184 . . . . . . . 8 (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) ∈ ℕ → (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1) ∈ ℕ0)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1) ∈ ℕ0)
27 nn0uz 11557 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
2826, 27syl6eleq 2697 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1) ∈ (ℤ‘0))
29 simpl2 1057 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
30 simpl3 1058 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
31 ccatcl 13161 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝑊 ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
3229, 30, 31syl2anc 690 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊 ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
33 wrdf 13114 . . . . . . . 8 ((𝑊 ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵 → (𝑊 ++ 𝑋):(0..^(#‘(𝑊 ++ 𝑋)))⟶𝐵)
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊 ++ 𝑋):(0..^(#‘(𝑊 ++ 𝑋)))⟶𝐵)
35 ccatlen 13162 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → (#‘(𝑊 ++ 𝑋)) = ((#‘𝑊) + (#‘𝑋)))
3629, 30, 35syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (#‘(𝑊 ++ 𝑋)) = ((#‘𝑊) + (#‘𝑋)))
3736oveq2d 6543 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(#‘(𝑊 ++ 𝑋))) = (0..^((#‘𝑊) + (#‘𝑋))))
3820nnzd 11316 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
3923nnzd 11316 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (#‘𝑋) ∈ ℤ)
4038, 39zaddcld 11321 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) ∈ ℤ)
41 fzoval 12298 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) ∈ ℤ → (0..^((#‘𝑊) + (#‘𝑋))) = (0...(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^((#‘𝑊) + (#‘𝑋))) = (0...(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)))
4337, 42eqtrd 2643 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(#‘(𝑊 ++ 𝑋))) = (0...(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)))
4443feq2d 5930 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑊 ++ 𝑋):(0..^(#‘(𝑊 ++ 𝑋)))⟶𝐵 ↔ (𝑊 ++ 𝑋):(0...(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1))⟶𝐵))
4534, 44mpbid 220 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊 ++ 𝑋):(0...(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1))⟶𝐵)
4615, 16, 17, 28, 45gsumval2 17052 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)))
47 nnm1nn0 11184 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
4820, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
4948, 27syl6eleq 2697 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘0))
50 wrdf 13114 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝐵)
5129, 50syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝐵)
52 fzoval 12298 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝑊)) = (0...((#‘𝑊) − 1)))
5338, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(#‘𝑊)) = (0...((#‘𝑊) − 1)))
5453feq2d 5930 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝐵𝑊:(0...((#‘𝑊) − 1))⟶𝐵))
5551, 54mpbid 220 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑊:(0...((#‘𝑊) − 1))⟶𝐵)
5615, 16, 17, 49, 55gsumval2 17052 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg 𝑊) = (seq0( + , 𝑊)‘((#‘𝑊) − 1)))
57 nnm1nn0 11184 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑋) ∈ ℕ → ((#‘𝑋) − 1) ∈ ℕ0)
5823, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((#‘𝑋) − 1) ∈ ℕ0)
5958, 27syl6eleq 2697 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((#‘𝑋) − 1) ∈ (ℤ‘0))
60 wrdf 13114 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ Word 𝐵𝑋:(0..^(#‘𝑋))⟶𝐵)
6130, 60syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋:(0..^(#‘𝑋))⟶𝐵)
62 fzoval 12298 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑋) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝑋)) = (0...((#‘𝑋) − 1)))
6339, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(#‘𝑋)) = (0...((#‘𝑋) − 1)))
6463feq2d 5930 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋:(0..^(#‘𝑋))⟶𝐵𝑋:(0...((#‘𝑋) − 1))⟶𝐵))
6561, 64mpbid 220 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋:(0...((#‘𝑋) − 1))⟶𝐵)
6615, 16, 17, 59, 65gsumval2 17052 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg 𝑋) = (seq0( + , 𝑋)‘((#‘𝑋) − 1)))
6756, 66oveq12d 6545 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) = ((seq0( + , 𝑊)‘((#‘𝑊) − 1)) + (seq0( + , 𝑋)‘((#‘𝑋) − 1))))
6815, 16mndcl 17073 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
69683expb 1257 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
7017, 69sylan 486 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
7115, 16mndass 17074 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
7217, 71sylan 486 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
73 uzid 11537 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (#‘𝑊) ∈ (ℤ‘(#‘𝑊)))
7438, 73syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (#‘𝑊) ∈ (ℤ‘(#‘𝑊)))
75 uzaddcl 11579 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑊) ∈ (ℤ‘(#‘𝑊)) ∧ ((#‘𝑋) − 1) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑊) + ((#‘𝑋) − 1)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑊)))
7674, 58, 75syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((#‘𝑊) + ((#‘𝑋) − 1)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑊)))
7720nncnd 10886 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
7823nncnd 10886 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (#‘𝑋) ∈ ℂ)
79 1cnd 9913 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 1 ∈ ℂ)
8077, 78, 79addsubassd 10264 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1) = ((#‘𝑊) + ((#‘𝑋) − 1)))
81 ax-1cn 9851 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
82 npcan 10142 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((#‘𝑊) − 1) + 1) = (#‘𝑊))
8377, 81, 82sylancl 692 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑊) − 1) + 1) = (#‘𝑊))
8483fveq2d 6092 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (ℤ‘(((#‘𝑊) − 1) + 1)) = (ℤ‘(#‘𝑊)))
8576, 80, 843eltr4d 2702 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1) ∈ (ℤ‘(((#‘𝑊) − 1) + 1)))
8645ffvelrnda 6252 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘𝑥) ∈ 𝐵)
8770, 72, 85, 49, 86seqsplit 12654 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)) = ((seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘((#‘𝑊) − 1)) + (seq(((#‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1))))
88 simpll2 1093 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
89 simpll3 1094 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
9053eleq2d 2672 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))))
9190biimpar 500 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
92 ccatval1 13163 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘𝑥) = (𝑊𝑥))
9388, 89, 91, 92syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘𝑥) = (𝑊𝑥))
9449, 93seqfveq 12645 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘((#‘𝑊) − 1)) = (seq0( + , 𝑊)‘((#‘𝑊) − 1)))
9577addid2d 10089 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0 + (#‘𝑊)) = (#‘𝑊))
9683, 95eqtr4d 2646 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑊) − 1) + 1) = (0 + (#‘𝑊)))
9796seqeq1d 12627 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → seq(((#‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋)) = seq(0 + (#‘𝑊))( + , (𝑊 ++ 𝑋)))
9877, 78addcomd 10090 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) = ((#‘𝑋) + (#‘𝑊)))
9998oveq1d 6542 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1) = (((#‘𝑋) + (#‘𝑊)) − 1))
10078, 77, 79addsubd 10265 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑋) + (#‘𝑊)) − 1) = (((#‘𝑋) − 1) + (#‘𝑊)))
10199, 100eqtrd 2643 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1) = (((#‘𝑋) − 1) + (#‘𝑊)))
10297, 101fveq12d 6094 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq(((#‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)) = (seq(0 + (#‘𝑊))( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑋) − 1) + (#‘𝑊))))
103 simpll2 1093 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑋) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
104 simpll3 1094 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑋) − 1))) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
10563eleq2d 2672 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑋)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑋) − 1))))
106105biimpar 500 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑋) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑋)))
107 ccatval3 13165 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑋))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘(𝑥 + (#‘𝑊))) = (𝑋𝑥))
108103, 104, 106, 107syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑋) − 1))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘(𝑥 + (#‘𝑊))) = (𝑋𝑥))
109108eqcomd 2615 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑋) − 1))) → (𝑋𝑥) = ((𝑊 ++ 𝑋)‘(𝑥 + (#‘𝑊))))
11059, 38, 109seqshft2 12647 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , 𝑋)‘((#‘𝑋) − 1)) = (seq(0 + (#‘𝑊))( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑋) − 1) + (#‘𝑊))))
111102, 110eqtr4d 2646 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq(((#‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)) = (seq0( + , 𝑋)‘((#‘𝑋) − 1)))
11294, 111oveq12d 6545 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘((#‘𝑊) − 1)) + (seq(((#‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1))) = ((seq0( + , 𝑊)‘((#‘𝑊) − 1)) + (seq0( + , 𝑋)‘((#‘𝑋) − 1))))
11387, 112eqtrd 2643 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)) = ((seq0( + , 𝑊)‘((#‘𝑊) − 1)) + (seq0( + , 𝑋)‘((#‘𝑋) − 1))))
11467, 113eqtr4d 2646 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) = (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)))
11546, 114eqtr4d 2646 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))
116115anassrs 677 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))
117 simpl2 1057 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
118 ccatrid 13172 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
119117, 118syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
120119oveq2d 6543 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)) = (𝐺 Σg 𝑊))
121 simpl1 1056 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ Mnd)
12215gsumwcl 17149 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵)
1231223adant3 1073 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵)
124123adantr 479 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵)
12515, 16, 4mndrid 17084 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g𝐺)) = (𝐺 Σg 𝑊))
126121, 124, 125syl2anc 690 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g𝐺)) = (𝐺 Σg 𝑊))
127120, 126eqtr4d 2646 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g𝐺)))
12814, 116, 127pm2.61ne 2866 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))
129 ccatlid 13171 . . . . 5 (𝑋 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑋) = 𝑋)
1301293ad2ant3 1076 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → (∅ ++ 𝑋) = 𝑋)
131130oveq2d 6543 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)) = (𝐺 Σg 𝑋))
132 simp1 1053 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
13315gsumwcl 17149 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑋) ∈ 𝐵)
1341333adant2 1072 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑋) ∈ 𝐵)
13515, 16, 4mndlid 17083 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg 𝑋))
136132, 134, 135syl2anc 690 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → ((0g𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg 𝑋))
137131, 136eqtr4d 2646 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)) = ((0g𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)))
1388, 128, 137pm2.61ne 2866 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  c0 3873  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9791  0cc0 9793  1c1 9794   + caddc 9796  cmin 10118  cn 10870  0cn0 11142  cz 11213  cuz 11522  ...cfz 12155  ..^cfzo 12292  seqcseq 12621  #chash 12937  Word cword 13095   ++ cconcat 13097  Basecbs 15644  +gcplusg 15717  0gc0g 15872   Σg cgsu 15873  Mndcmnd 17066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-seq 12622  df-hash 12938  df-word 13103  df-concat 13105  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108
This theorem is referenced by:  gsumws2  17151  gsumccatsn  17152  gsumspl  17153  gsumwspan  17155  frmdgsum  17171  frmdup1  17173  gsumwrev  17568  psgnunilem5  17686  psgnuni  17691  frgpuplem  17957  frgpup1  17960  psgnghm  19693  mrsubccat  30503  gsumws3  37345  gsumws4  37346
  Copyright terms: Public domain W3C validator