Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiprodcl3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiprodcl3 40101
 Description: The pre-measure of half-open intervals is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiprodcl3.k 𝑘𝜑
hoiprodcl3.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoiprodcl3.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
hoiprodcl3.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
hoiprodcl3 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ (0[,)+∞))
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem hoiprodcl3
StepHypRef Expression
1 0xr 10030 . . 3 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3 pnfxr 10036 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . 2 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5 hoiprodcl3.k . . . 4 𝑘𝜑
6 hoiprodcl3.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
7 hoiprodcl3.a . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
8 hoiprodcl3.b . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
9 volico 39507 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
107, 8, 9syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
118, 7resubcld 10402 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
12 0red 9985 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → 0 ∈ ℝ)
1311, 12ifcld 4103 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) ∈ ℝ)
1410, 13eqeltrd 2698 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
155, 6, 14fprodreclf 14614 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
1615rexrd 10033 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ*)
178rexrd 10033 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
18 icombl 23239 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
197, 17, 18syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
20 volge0 39484 . . . 4 ((𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
2119, 20syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → 0 ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
225, 6, 14, 21fprodge0 14649 . 2 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
2315ltpnfd 11899 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)) < +∞)
242, 4, 16, 22, 23elicod 12166 1 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ (0[,)+∞))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480  Ⅎwnf 1705   ∈ wcel 1987  ifcif 4058   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  ℝcr 9879  0cc0 9880  +∞cpnf 10015  ℝ*cxr 10017   < clt 10018   ≤ cle 10019   − cmin 10210  [,)cico 12119  ∏cprod 14560  volcvol 23139 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-prod 14561  df-rest 16004  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-cmp 21100  df-ovol 23140  df-vol 23141 This theorem is referenced by:  ovnhoilem1  40122
 Copyright terms: Public domain W3C validator