MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fima2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fima2 23440
Description: Any preimage of a simple function not containing zero has finite measure. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1fima2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)

Proof of Theorem i1fima2
StepHypRef Expression
1 i1fima 23439 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹𝐴) ∈ dom vol)
21adantr 481 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹𝐴) ∈ dom vol)
3 mblvol 23292 . . 3 ((𝐹𝐴) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹𝐴)) = (vol*‘(𝐹𝐴)))
42, 3syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(𝐹𝐴)) = (vol*‘(𝐹𝐴)))
5 i1ff 23437 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
65adantr 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7 ffun 6046 . . . . . 6 (𝐹:ℝ⟶ℝ → Fun 𝐹)
8 inpreima 6340 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((𝐹𝐴) ∩ (𝐹 “ ran 𝐹)))
96, 7, 83syl 18 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((𝐹𝐴) ∩ (𝐹 “ ran 𝐹)))
10 cnvimass 5483 . . . . . . 7 (𝐹𝐴) ⊆ dom 𝐹
11 cnvimarndm 5484 . . . . . . 7 (𝐹 “ ran 𝐹) = dom 𝐹
1210, 11sseqtr4i 3636 . . . . . 6 (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹 “ ran 𝐹)
13 df-ss 3586 . . . . . 6 ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹 “ ran 𝐹) ↔ ((𝐹𝐴) ∩ (𝐹 “ ran 𝐹)) = (𝐹𝐴))
1412, 13mpbi 220 . . . . 5 ((𝐹𝐴) ∩ (𝐹 “ ran 𝐹)) = (𝐹𝐴)
159, 14syl6req 2672 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹𝐴) = (𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)))
16 inss1 3831 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ 𝐴
1716sseli 3597 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹) → 0 ∈ 𝐴)
1817con3i 150 . . . . . . . 8 (¬ 0 ∈ 𝐴 → ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
1918adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
20 disjsn 4244 . . . . . . 7 (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ ¬ 0 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
2119, 20sylibr 224 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅)
22 inss2 3832 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ran 𝐹
23 frn 6051 . . . . . . . . . 10 (𝐹:ℝ⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
245, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
2522, 24syl5ss 3612 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ)
2625adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ)
27 reldisj 4018 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ → (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0})))
2826, 27syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∩ {0}) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0})))
2921, 28mpbid 222 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0}))
30 imass2 5499 . . . . 5 ((𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ (ℝ ∖ {0}) → (𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) ⊆ (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
3129, 30syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) ⊆ (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
3215, 31eqsstrd 3637 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})))
33 i1fima 23439 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol)
3433adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol)
35 mblss 23293 . . . 4 ((𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol → (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ)
3634, 35syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ)
37 mblvol 23292 . . . . 5 ((𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) = (vol*‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))))
3834, 37syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) = (vol*‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))))
39 isi1f 23435 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
4039simprbi 480 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
4140simp3d 1074 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
4241adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
4338, 42eqeltrrd 2701 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol*‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
44 ovolsscl 23248 . . 3 (((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ∧ (𝐹 “ (ℝ ∖ {0})) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
4532, 36, 43, 44syl3anc 1325 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol*‘(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
464, 45eqeltrd 2700 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (vol‘(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  cdif 3569  cin 3571  wss 3572  c0 3913  {csn 4175  ccnv 5111  dom cdm 5112  ran crn 5113  cima 5115  Fun wfun 5880  wf 5882  cfv 5886  Fincfn 7952  cr 9932  0cc0 9933  vol*covol 23225  volcvol 23226  MblFncmbf 23377  1citg1 23378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-fal 1488  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-of 6894  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-pm 7857  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-sup 8345  df-inf 8346  df-oi 8412  df-card 8762  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-q 11786  df-rp 11830  df-xadd 11944  df-ioo 12176  df-ico 12178  df-icc 12179  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-fl 12588  df-seq 12797  df-exp 12856  df-hash 13113  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-clim 14213  df-sum 14411  df-xmet 19733  df-met 19734  df-ovol 23227  df-vol 23228  df-mbf 23382  df-itg1 23383
This theorem is referenced by:  i1fima2sn  23441  i1f0rn  23443  itg2addnclem  33441  itg2addnclem2  33442  ftc1anclem3  33467
  Copyright terms: Public domain W3C validator