MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1f0rn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1f0rn 23200
Description: Any simple function takes the value zero on a set of unbounded measure, so in particular this set is not empty. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1f0rn (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran 𝐹)

Proof of Theorem i1f0rn
StepHypRef Expression
1 pnfnre 9938 . . 3 +∞ ∉ ℝ
21neli 2885 . 2 ¬ +∞ ∈ ℝ
3 rembl 23060 . . . . . 6 ℝ ∈ dom vol
4 mblvol 23050 . . . . . 6 (ℝ ∈ dom vol → (vol‘ℝ) = (vol*‘ℝ))
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 (vol‘ℝ) = (vol*‘ℝ)
6 ovolre 23045 . . . . 5 (vol*‘ℝ) = +∞
75, 6eqtri 2632 . . . 4 (vol‘ℝ) = +∞
8 cnvimarndm 5392 . . . . . . 7 (𝐹 “ ran 𝐹) = dom 𝐹
9 i1ff 23194 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
10 fdm 5950 . . . . . . . . 9 (𝐹:ℝ⟶ℝ → dom 𝐹 = ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → dom 𝐹 = ℝ)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → dom 𝐹 = ℝ)
138, 12syl5eq 2656 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → (𝐹 “ ran 𝐹) = ℝ)
1413fveq2d 6092 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → (vol‘(𝐹 “ ran 𝐹)) = (vol‘ℝ))
15 i1fima2 23197 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → (vol‘(𝐹 “ ran 𝐹)) ∈ ℝ)
1614, 15eqeltrrd 2689 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → (vol‘ℝ) ∈ ℝ)
177, 16syl5eqelr 2693 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ ℝ)
1817ex 449 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (¬ 0 ∈ ran 𝐹 → +∞ ∈ ℝ))
192, 18mt3i 140 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  ccnv 5027  dom cdm 5028  ran crn 5029  cima 5031  wf 5786  cfv 5790  cr 9792  0cc0 9793  +∞cpnf 9928  vol*covol 22983  volcvol 22984  1citg1 23135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ioo 12009  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-sum 14214  df-rest 15855  df-topgen 15876  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-cmp 20948  df-ovol 22985  df-vol 22986  df-mbf 23139  df-itg1 23140
This theorem is referenced by:  i1fres  23223  itg1climres  23232  itg2addnclem2  32426  ftc1anclem7  32455  ftc1anc  32457
  Copyright terms: Public domain W3C validator