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Theorem isarchi3 29715
Description: This is the usual definition of the Archimedean property for an ordered group. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchi3.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
isarchi3.0 0 = (0g𝑊)
isarchi3.i < = (lt‘𝑊)
isarchi3.x · = (.g𝑊)
Assertion
Ref Expression
isarchi3 (𝑊 ∈ oGrp → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐵   𝑛,𝑊,𝑥,𝑦   < ,𝑛   · ,𝑛   0 ,𝑛
Allowed substitution hints:   < (𝑥,𝑦)   · (𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isarchi3
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isogrp 29676 . . . . 5 (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
21simprbi 480 . . . 4 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
3 omndtos 29679 . . . 4 (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
42, 3syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Toset)
5 grpmnd 17410 . . . . 5 (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Mnd)
65adantr 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd) → 𝑊 ∈ Mnd)
71, 6sylbi 207 . . 3 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Mnd)
8 isarchi3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
9 isarchi3.0 . . . 4 0 = (0g𝑊)
10 isarchi3.x . . . 4 · = (.g𝑊)
11 eqid 2620 . . . 4 (le‘𝑊) = (le‘𝑊)
12 isarchi3.i . . . 4 < = (lt‘𝑊)
138, 9, 10, 11, 12isarchi2 29713 . . 3 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥))))
144, 7, 13syl2anc 692 . 2 (𝑊 ∈ oGrp → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥))))
15 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
1615adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
1716peano2nnd 11022 . . . . . . . . 9 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
18 simp-4l 805 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ oGrp)
1918adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → 𝑊 ∈ oGrp)
20 ogrpgrp 29677 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
218, 9grpidcl 17431 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Grp → 0𝐵)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → 0𝐵)
23 simp-4r 806 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥𝐵)
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → 𝑥𝐵)
2520ad4antr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Grp)
2615nnzd 11466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
278, 10mulgcl 17540 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝐵) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
2825, 26, 23, 27syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
30 simpllr 798 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → 0 < 𝑥)
31 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝑊) = (+g𝑊)
328, 12, 31ogrpaddlt 29692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ oGrp ∧ ( 0𝐵𝑥𝐵 ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑥) → ( 0 (+g𝑊)(𝑛 · 𝑥)) < (𝑥(+g𝑊)(𝑛 · 𝑥)))
3319, 22, 24, 29, 30, 32syl131anc 1337 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → ( 0 (+g𝑊)(𝑛 · 𝑥)) < (𝑥(+g𝑊)(𝑛 · 𝑥)))
3419, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → 𝑊 ∈ Grp)
358, 31, 9grplid 17433 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝑊)(𝑛 · 𝑥)) = (𝑛 · 𝑥))
3634, 29, 35syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → ( 0 (+g𝑊)(𝑛 · 𝑥)) = (𝑛 · 𝑥))
37 nncn 11013 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
38 ax-1cn 9979 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
39 addcom 10207 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 + 1) = (1 + 𝑛))
4037, 38, 39sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) = (1 + 𝑛))
4140oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 + 1) · 𝑥) = ((1 + 𝑛) · 𝑥))
4216, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → ((𝑛 + 1) · 𝑥) = ((1 + 𝑛) · 𝑥))
43 grpsgrp 17427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ SGrp)
4419, 20, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → 𝑊 ∈ SGrp)
45 1nn 11016 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → 1 ∈ ℕ)
478, 10, 31mulgnndir 17550 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ SGrp ∧ (1 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐵)) → ((1 + 𝑛) · 𝑥) = ((1 · 𝑥)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑥)))
4844, 46, 16, 24, 47syl13anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → ((1 + 𝑛) · 𝑥) = ((1 · 𝑥)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑥)))
498, 10mulg1 17529 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐵 → (1 · 𝑥) = 𝑥)
5024, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
5150oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → ((1 · 𝑥)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑥)) = (𝑥(+g𝑊)(𝑛 · 𝑥)))
5242, 48, 513eqtrrd 2659 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → (𝑥(+g𝑊)(𝑛 · 𝑥)) = ((𝑛 + 1) · 𝑥))
5333, 36, 523brtr3d 4675 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → (𝑛 · 𝑥) < ((𝑛 + 1) · 𝑥))
54 tospos 29632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Toset → 𝑊 ∈ Poset)
5518, 4, 543syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Poset)
56 simpllr 798 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑦𝐵)
5726peano2zd 11470 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
588, 10mulgcl 17540 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑛 + 1) · 𝑥) ∈ 𝐵)
5925, 57, 23, 58syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) · 𝑥) ∈ 𝐵)
608, 11, 12plelttr 16953 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Poset ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑛 + 1) · 𝑥) ∈ 𝐵)) → ((𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥) ∧ (𝑛 · 𝑥) < ((𝑛 + 1) · 𝑥)) → 𝑦 < ((𝑛 + 1) · 𝑥)))
6155, 56, 28, 59, 60syl13anc 1326 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥) ∧ (𝑛 · 𝑥) < ((𝑛 + 1) · 𝑥)) → 𝑦 < ((𝑛 + 1) · 𝑥)))
6261impl 649 . . . . . . . . . 10 (((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) ∧ (𝑛 · 𝑥) < ((𝑛 + 1) · 𝑥)) → 𝑦 < ((𝑛 + 1) · 𝑥))
6353, 62mpdan 701 . . . . . . . . 9 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → 𝑦 < ((𝑛 + 1) · 𝑥))
64 oveq1 6642 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 · 𝑥) = ((𝑛 + 1) · 𝑥))
6564breq2d 4656 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑦 < (𝑚 · 𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝑛 + 1) · 𝑥)))
6665rspcev 3304 . . . . . . . . 9 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < ((𝑛 + 1) · 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑚 · 𝑥))
6717, 63, 66syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑚 · 𝑥))
6867r19.29an 3073 . . . . . . 7 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑚 · 𝑥))
69 oveq1 6642 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑥) = (𝑛 · 𝑥))
7069breq2d 4656 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (𝑦 < (𝑚 · 𝑥) ↔ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥)))
7170cbvrexv 3167 . . . . . . 7 (∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑚 · 𝑥) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥))
7268, 71sylib 208 . . . . . 6 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥))
7311, 12pltle 16942 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑦𝐵 ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 < (𝑛 · 𝑥) → 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)))
7418, 56, 28, 73syl3anc 1324 . . . . . . . 8 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝑛 · 𝑥) → 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)))
7574reximdva 3014 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)))
7675imp 445 . . . . . 6 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥))
7772, 76impbida 876 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥)))
7877pm5.74da 722 . . . 4 (((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥))))
7978ralbidva 2982 . . 3 ((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) → (∀𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) ↔ ∀𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥))))
8079ralbidva 2982 . 2 (𝑊 ∈ oGrp → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥))))
8114, 80bitrd 268 1 (𝑊 ∈ oGrp → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909  wrex 2910   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  1c1 9922   + caddc 9924  cn 11005  cz 11362  Basecbs 15838  +gcplusg 15922  lecple 15929  0gc0g 16081  Posetcpo 16921  ltcplt 16922  Tosetctos 17014  SGrpcsgrp 17264  Mndcmnd 17275  Grpcgrp 17403  .gcmg 17521  oMndcomnd 29671  oGrpcogrp 29672  Archicarchi 29705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-seq 12785  df-0g 16083  df-preset 16909  df-poset 16927  df-plt 16939  df-toset 17015  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-mulg 17522  df-omnd 29673  df-ogrp 29674  df-inftm 29706  df-archi 29707
This theorem is referenced by:  archiexdiv  29718  isarchiofld  29791
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