MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2ge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2ge0 23408
Description: The integral of a nonnegative real function is greater or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2ge0 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2𝐹))

Proof of Theorem itg2ge0
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg10 23361 . 2 (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
2 ffvelrn 6313 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞))
3 0xr 10030 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
4 pnfxr 10036 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
5 elicc1 12161 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ +∞)))
63, 4, 5mp2an 707 . . . . . . 7 ((𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ +∞))
76simp2bi 1075 . . . . . 6 ((𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝑦))
82, 7syl 17 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑦))
98ralrimiva 2960 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑦))
10 0re 9984 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
11 fnconstg 6050 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
1210, 11mp1i 13 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
13 ffn 6002 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 𝐹 Fn ℝ)
14 reex 9971 . . . . . 6 ℝ ∈ V
1514a1i 11 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ℝ ∈ V)
16 inidm 3800 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
17 c0ex 9978 . . . . . . 7 0 ∈ V
1817fvconst2 6423 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → ((ℝ × {0})‘𝑦) = 0)
1918adantl 482 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℝ × {0})‘𝑦) = 0)
20 eqidd 2622 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑦))
2112, 13, 15, 15, 16, 19, 20ofrfval 6858 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((ℝ × {0}) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
229, 21mpbird 247 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (ℝ × {0}) ∘𝑟𝐹)
23 i1f0 23360 . . . 4 (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
24 itg2ub 23406 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1 ∧ (ℝ × {0}) ∘𝑟𝐹) → (∫1‘(ℝ × {0})) ≤ (∫2𝐹))
2523, 24mp3an2 1409 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (ℝ × {0}) ∘𝑟𝐹) → (∫1‘(ℝ × {0})) ≤ (∫2𝐹))
2622, 25mpdan 701 . 2 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫1‘(ℝ × {0})) ≤ (∫2𝐹))
271, 26syl5eqbrr 4649 1 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  {csn 4148   class class class wbr 4613   × cxp 5072  dom cdm 5074   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑟 cofr 6849  cr 9879  0cc0 9880  +∞cpnf 10015  *cxr 10017  cle 10019  [,]cicc 12120  1citg1 23290  2citg2 23291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-ofr 6851  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-xmet 19658  df-met 19659  df-ovol 23140  df-vol 23141  df-mbf 23294  df-itg1 23295  df-itg2 23296
This theorem is referenced by:  itg2lecl  23411  itg2const2  23414  itg2seq  23415  itg2monolem2  23424  itg2monolem3  23425  itg2gt0  23433
  Copyright terms: Public domain W3C validator