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Theorem iundjiun 39177
Description: Given a sequence 𝐸 of sets, a sequence 𝐹 of disjoint sets is built, such that the indexed union stays the same. As in the proof of Property 112C (d) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iundjiun.nph 𝑛𝜑
iundjiun.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
iundjiun.e (𝜑𝐸:𝑍𝑉)
iundjiun.f 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
Assertion
Ref Expression
iundjiun (𝜑 → ((∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∧ Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑚,𝑛   𝑚,𝐹   𝑖,𝑁,𝑚,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛   𝜑,𝑖,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑖,𝑛)   𝑉(𝑖,𝑚,𝑛)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem iundjiun
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 4454 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
21biimpi 204 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
32adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
4 iundjiun.nph . . . . . . . . 9 𝑛𝜑
5 nfcv 2750 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑥
6 nfiu1 4480 . . . . . . . . . 10 𝑛 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)
75, 6nfel 2762 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)
8 simp2 1054 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚))
9 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) → 𝜑)
10 elfzuz 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
11 iundjiun.z . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑍 = (ℤ𝑁)
1211eqcomi 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑁) = 𝑍
1310, 12syl6eleq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑛𝑍)
1413adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) → 𝑛𝑍)
15 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
16 iundjiun.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐸:𝑍𝑉)
1716ffvelrnda 6252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ 𝑉)
18 difexg 4730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐸𝑛) ∈ 𝑉 → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V)
20 iundjiun.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
2120fvmpt2 6185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛𝑍 ∧ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V) → (𝐹𝑛) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
2215, 19, 21syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
23 difssd 3699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ⊆ (𝐸𝑛))
2422, 23eqsstrd 3601 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐸𝑛))
259, 14, 24syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐸𝑛))
26253adant3 1073 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐸𝑛))
27 simp3 1055 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
2826, 27sseldd 3568 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
29 rspe 2985 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
308, 28, 29syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
31 eliun 4454 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
3230, 31sylibr 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → 𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
33323exp 1255 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑛) → 𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))))
344, 7, 33rexlimd 3007 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹𝑛) → 𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)))
3534adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛)) → (∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹𝑛) → 𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)))
363, 35mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛)) → 𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
3736ralrimiva 2948 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛)𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
38 dfss3 3557 . . . . 5 ( 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) ⊆ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) ↔ ∀𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛)𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
3937, 38sylibr 222 . . . 4 (𝜑 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) ⊆ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
40 fzssuz 12211 . . . . . . . . . . 11 (𝑁...𝑚) ⊆ (ℤ𝑁)
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) → (𝑁...𝑚) ⊆ (ℤ𝑁))
4231biimpi 204 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
43 nfv 1829 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)
44 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑖 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑖))
4544eleq2d 2672 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑖 → (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↔ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))
4643, 45uzwo4 38070 . . . . . . . . . 10 (((𝑁...𝑚) ⊆ (ℤ𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))))
4741, 42, 46syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))))
4847adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))))
49 simprl 789 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
50 nfv 1829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑖(𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚))
51 nfra1 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑖𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))
5250, 51nfan 1815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑖((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))
53 elfzoelz 12297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖 ∈ ℤ)
5453zred 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖 ∈ ℝ)
5554adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ∈ ℝ)
56 elfzelz 12171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑛 ∈ ℤ)
5756zred 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑛 ∈ ℝ)
5857adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
59 1red 9912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
6058, 59resubcld 10310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
61 elfzolem1 38302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖 ≤ (𝑛 − 1))
6261adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ≤ (𝑛 − 1))
6358ltm1d 10808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝑛 − 1) < 𝑛)
6455, 60, 58, 62, 63lelttrd 10047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 < 𝑛)
6564ad4ant24 1289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 < 𝑛)
66 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))
67 elfzel1 12170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑁 ∈ ℤ)
6867adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑁 ∈ ℤ)
69 elfzel2 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑚 ∈ ℤ)
7069adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑚 ∈ ℤ)
7153adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ∈ ℤ)
7268, 70, 713jca 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
73 elfzole1 12305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑁𝑖)
7473adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑁𝑖)
7570zred 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ)
76 1red 9912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 1 ∈ ℝ)
7757, 76resubcld 10310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
7869zred 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑚 ∈ ℝ)
7957ltm1d 10808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → (𝑛 − 1) < 𝑛)
80 elfzle2 12174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑛𝑚)
8177, 57, 78, 79, 80ltletrd 10049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → (𝑛 − 1) < 𝑚)
8281adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝑛 − 1) < 𝑚)
8355, 60, 75, 62, 82lelttrd 10047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 < 𝑚)
8455, 75, 83ltled 10037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖𝑚)
8572, 74, 84jca32 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝑖𝑖𝑚)))
86 elfz2 12162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 ∈ (𝑁...𝑚) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝑖𝑖𝑚)))
8785, 86sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚))
8887adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚))
89 rspa 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)) → (𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))
9066, 88, 89syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))
9190adantlll 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))
9265, 91mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))
9392ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) → (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))
9452, 93ralrimi 2939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))
95 ralnex 2974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)𝑥 ∈ (𝐸𝑖))
9694, 95sylib 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) → ¬ ∃𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)𝑥 ∈ (𝐸𝑖))
97 eliun 4454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)𝑥 ∈ (𝐸𝑖))
9896, 97sylnibr 317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) → ¬ 𝑥 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖))
9998adantrl 747 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))) → ¬ 𝑥 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖))
10049, 99eldifd 3550 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))) → 𝑥 ∈ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
10114, 22syldan 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) → (𝐹𝑛) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
102101eqcomd 2615 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) = (𝐹𝑛))
103102adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) = (𝐹𝑛))
104100, 103eleqtrd 2689 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
105104ex 448 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) → ((𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)))
106105ex 448 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → ((𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑛))))
1074, 106reximdai 2994 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹𝑛)))
108107adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)) → (∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹𝑛)))
10948, 108mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
110109, 1sylibr 222 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)) → 𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛))
111110ralrimiva 2948 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛))
112 dfss3 3557 . . . . 5 ( 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) ⊆ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) ↔ ∀𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛))
113111, 112sylibr 222 . . . 4 (𝜑 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) ⊆ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛))
11439, 113eqssd 3584 . . 3 (𝜑 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
115114ralrimivw 2949 . 2 (𝜑 → ∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
11611iuneqfzuz 38316 . . 3 (∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) → 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
117115, 116syl 17 . 2 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
118 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑚))
119 oveq2 6535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑁..^𝑛) = (𝑁..^𝑚))
120119iuneq1d 4475 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖))
121118, 120difeq12d 3690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) = ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖)))
122121cbvmptv 4672 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖))) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖)))
12320, 122eqtri 2631 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖)))
124 simpllr 794 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛𝑍)
125 simplr 787 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘𝑍)
126 simpr 475 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛 < 𝑘)
12711, 123, 124, 125, 126iundjiunlem 39176 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 < 𝑘) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
128127adantlr 746 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑛 < 𝑘) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
129 simpll 785 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → ((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍))
130 neqne 2789 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 = 𝑘𝑛𝑘)
131 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑍𝑘𝑍)
132131, 11syl6eleq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
133 eluzelz 11532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
135134zred 11317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℝ)
136135adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑍𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ)
137136ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ 𝑛𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
138 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑍𝑛𝑍)
139138, 11syl6eleq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
140 eluzelz 11532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
142141zred 11317 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℝ)
143142ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ 𝑛𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛 ∈ ℝ)
144 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → ¬ 𝑛 < 𝑘)
145136adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
146142ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛 ∈ ℝ)
147145, 146lenltd 10035 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → (𝑘𝑛 ↔ ¬ 𝑛 < 𝑘))
148144, 147mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘𝑛)
149148adantlr 746 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ 𝑛𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘𝑛)
150 simplr 787 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ 𝑛𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛𝑘)
151137, 143, 149, 150leneltd 10043 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ 𝑛𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 < 𝑛)
152130, 151sylanl2 680 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 < 𝑛)
153152ad5ant2345 1308 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 < 𝑛)
154 anass 678 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ↔ (𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝑍)))
155 incom 3766 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘) ∩ (𝐹𝑛))
156155a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝑍)) ∧ 𝑘 < 𝑛) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘) ∩ (𝐹𝑛)))
157 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝑍)) ∧ 𝑘 < 𝑛) → 𝑘𝑍)
158 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝑍)) ∧ 𝑘 < 𝑛) → 𝑛𝑍)
159 simpr 475 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝑍)) ∧ 𝑘 < 𝑛) → 𝑘 < 𝑛)
16011, 123, 157, 158, 159iundjiunlem 39176 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝑍)) ∧ 𝑘 < 𝑛) → ((𝐹𝑘) ∩ (𝐹𝑛)) = ∅)
161156, 160eqtrd 2643 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝑍)) ∧ 𝑘 < 𝑛) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
162154, 161sylanb 487 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑘 < 𝑛) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
163129, 153, 162syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
164128, 163pm2.61dan 827 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑘) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
165164ex 448 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (¬ 𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
166 df-or 383 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅) ↔ (¬ 𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
167165, 166sylibr 222 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
168167ralrimiva 2948 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ∀𝑘𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
169168ex 448 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝑍 → ∀𝑘𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)))
1704, 169ralrimi 2939 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛𝑍𝑘𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
171 nfcv 2750 . . . . 5 𝑚(𝐹𝑛)
172 nfmpt1 4669 . . . . . . 7 𝑛(𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
17320, 172nfcxfr 2748 . . . . . 6 𝑛𝐹
174 nfcv 2750 . . . . . 6 𝑛𝑚
175173, 174nffv 6095 . . . . 5 𝑛(𝐹𝑚)
176 fveq2 6088 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
177171, 175, 176cbvdisj 4557 . . . 4 (Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) ↔ Disj 𝑚𝑍 (𝐹𝑚))
178 fveq2 6088 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
179178disjor 4561 . . . 4 (Disj 𝑚𝑍 (𝐹𝑚) ↔ ∀𝑚𝑍𝑘𝑍 (𝑚 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
180 nfcv 2750 . . . . . 6 𝑛𝑍
181 nfv 1829 . . . . . . 7 𝑛 𝑚 = 𝑘
182 nfcv 2750 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑘
183173, 182nffv 6095 . . . . . . . . 9 𝑛(𝐹𝑘)
184175, 183nfin 3781 . . . . . . . 8 𝑛((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘))
185 nfcv 2750 . . . . . . . 8 𝑛
186184, 185nfeq 2761 . . . . . . 7 𝑛((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅
187181, 186nfor 1821 . . . . . 6 𝑛(𝑚 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
188180, 187nfral 2928 . . . . 5 𝑛𝑘𝑍 (𝑚 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
189 nfv 1829 . . . . 5 𝑚𝑘𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
190 equequ1 1938 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 = 𝑘𝑛 = 𝑘))
191 fveq2 6088 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑛))
192191ineq1d 3774 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)))
193192eqeq1d 2611 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅ ↔ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
194190, 193orbi12d 741 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅) ↔ (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)))
195194ralbidv 2968 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → (∀𝑘𝑍 (𝑚 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅) ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)))
196188, 189, 195cbvral 3142 . . . 4 (∀𝑚𝑍𝑘𝑍 (𝑚 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅) ↔ ∀𝑛𝑍𝑘𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
197177, 179, 1963bitri 284 . . 3 (Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) ↔ ∀𝑛𝑍𝑘𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
198170, 197sylibr 222 . 2 (𝜑Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛))
199115, 117, 198jca31 554 1 (𝜑 → ((∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∧ Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wnf 1698  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  Vcvv 3172  cdif 3536  cin 3538  wss 3539  c0 3873   ciun 4449  Disj wdisj 4547   class class class wbr 4577  cmpt 4637  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9792  1c1 9794   < clt 9931  cle 9932  cmin 10118  cz 11213  cuz 11522  ...cfz 12155  ..^cfzo 12292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-fzo 12293
This theorem is referenced by:  meaiunlelem  39185  meaiuninclem  39197  carageniuncllem2  39236
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