Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem25 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem25 35677
Description: Lemma for lcfr 35695. Special case of lcfrlem35 35687 when ((𝐽𝑌)‘𝐼) is zero. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem17.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem17.p + = (+g𝑈)
lcfrlem17.z 0 = (0g𝑈)
lcfrlem17.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem17.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lcfrlem17.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem17.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lcfrlem22.b 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
lcfrlem24.t · = ( ·𝑠𝑈)
lcfrlem24.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem24.q 𝑄 = (0g𝑆)
lcfrlem24.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfrlem24.j 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
lcfrlem24.ib (𝜑𝐼𝐵)
lcfrlem24.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem25.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem25.jz (𝜑 → ((𝐽𝑌)‘𝐼) = 𝑄)
lcfrlem25.in (𝜑𝐼0 )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem25 (𝜑 → ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) = (𝐿‘(𝐽𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤,𝑥,   + ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,𝑘,𝑣,𝑥   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑣,𝑉,𝑥   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤,𝑥   𝑘,𝑌,𝑣,𝑤,𝑥   𝑥, 0
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑤,𝑣,𝑘)

Proof of Theorem lcfrlem25
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcfrlem17.o . . . 4 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcfrlem17.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcfrlem17.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 lcfrlem17.p . . . 4 + = (+g𝑈)
6 lcfrlem17.z . . . 4 0 = (0g𝑈)
7 lcfrlem17.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 lcfrlem17.a . . . 4 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
9 lcfrlem17.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 lcfrlem17.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11 lcfrlem17.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12 lcfrlem17.ne . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
13 lcfrlem22.b . . . 4 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
14 eqid 2609 . . . 4 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14lcfrlem23 35675 . . 3 (𝜑 → (( ‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)𝐵) = ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
16 lcfrlem24.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑈)
17 lcfrlem24.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
18 lcfrlem24.q . . . . . 6 𝑄 = (0g𝑆)
19 lcfrlem24.r . . . . . 6 𝑅 = (Base‘𝑆)
20 lcfrlem24.j . . . . . 6 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
21 lcfrlem24.ib . . . . . 6 (𝜑𝐼𝐵)
22 lcfrlem24.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22lcfrlem24 35676 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝐿‘(𝐽𝑋)) ∩ (𝐿‘(𝐽𝑌))))
24 inss2 3795 . . . . 5 ((𝐿‘(𝐽𝑋)) ∩ (𝐿‘(𝐽𝑌))) ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌))
2523, 24syl6eqss 3617 . . . 4 (𝜑 → ( ‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌)))
261, 3, 9dvhlvec 35219 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13lcfrlem22 35674 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐴)
28 lcfrlem25.in . . . . . 6 (𝜑𝐼0 )
296, 7, 8, 26, 27, 21, 28lsatel 33113 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (𝑁‘{𝐼}))
30 eqid 2609 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
311, 3, 9dvhlmod 35220 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
32 eqid 2609 . . . . . . . 8 (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
33 lcfrlem25.d . . . . . . . 8 𝐷 = (LDual‘𝑈)
34 eqid 2609 . . . . . . . 8 (0g𝐷) = (0g𝐷)
35 eqid 2609 . . . . . . . 8 {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
361, 2, 3, 4, 5, 16, 17, 19, 6, 32, 22, 33, 34, 35, 20, 9, 11lcfrlem10 35662 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽𝑌) ∈ (LFnl‘𝑈))
3732, 22, 30lkrlss 33203 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐽𝑌) ∈ (LFnl‘𝑈)) → (𝐿‘(𝐽𝑌)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3831, 36, 37syl2anc 690 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘(𝐽𝑌)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
39 lcfrlem25.jz . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽𝑌)‘𝐼) = 𝑄)
404, 8, 31, 27lsatssv 33106 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝑉)
4140, 21sseldd 3568 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝑉)
424, 17, 18, 32, 22, 31, 36, 41ellkr2 33199 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼 ∈ (𝐿‘(𝐽𝑌)) ↔ ((𝐽𝑌)‘𝐼) = 𝑄))
4339, 42mpbird 245 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ (𝐿‘(𝐽𝑌)))
4430, 7, 31, 38, 43lspsnel5a 18763 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝐼}) ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌)))
4529, 44eqsstrd 3601 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌)))
4630lsssssubg 18725 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
4731, 46syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
4810eldifad 3551 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
4911eldifad 3551 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑉)
50 prssi 4292 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
5148, 49, 50syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
521, 3, 4, 30, 2dochlss 35464 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉) → ( ‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
539, 51, 52syl2anc 690 . . . . . 6 (𝜑 → ( ‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
5447, 53sseldd 3568 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
554, 30, 7, 31, 48, 49lspprcl 18745 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
561, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12lcfrlem17 35669 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5756eldifad 3551 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
5857snssd 4280 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {(𝑋 + 𝑌)} ⊆ 𝑉)
591, 3, 4, 30, 2dochlss 35464 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {(𝑋 + 𝑌)} ⊆ 𝑉) → ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
609, 58, 59syl2anc 690 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
6130lssincl 18732 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
6231, 55, 60, 61syl3anc 1317 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
6313, 62syl5eqel 2691 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (LSubSp‘𝑈))
6447, 63sseldd 3568 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑈))
6547, 38sseldd 3568 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘(𝐽𝑌)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
6614lsmlub 17847 . . . . 5 ((( ‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝐿‘(𝐽𝑌)) ∈ (SubGrp‘𝑈)) → ((( ‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌)) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌))) ↔ (( ‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)𝐵) ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌))))
6754, 64, 65, 66syl3anc 1317 . . . 4 (𝜑 → ((( ‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌)) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌))) ↔ (( ‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)𝐵) ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌))))
6825, 45, 67mpbi2and 957 . . 3 (𝜑 → (( ‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)𝐵) ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌)))
6915, 68eqsstr3d 3602 . 2 (𝜑 → ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌)))
70 eqid 2609 . . 3 (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
711, 2, 3, 4, 6, 70, 9, 56dochsnshp 35563 . . 3 (𝜑 → ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSHyp‘𝑈))
721, 2, 3, 4, 5, 16, 17, 19, 6, 32, 22, 33, 34, 35, 20, 9, 11lcfrlem13 35665 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽𝑌) ∈ ({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} ∖ {(0g𝐷)}))
73 eldifsni 4260 . . . . 5 ((𝐽𝑌) ∈ ({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} ∖ {(0g𝐷)}) → (𝐽𝑌) ≠ (0g𝐷))
7472, 73syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐽𝑌) ≠ (0g𝐷))
7570, 32, 22, 33, 34, 26, 36lduallkr3 33270 . . . 4 (𝜑 → ((𝐿‘(𝐽𝑌)) ∈ (LSHyp‘𝑈) ↔ (𝐽𝑌) ≠ (0g𝐷)))
7674, 75mpbird 245 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘(𝐽𝑌)) ∈ (LSHyp‘𝑈))
7770, 26, 71, 76lshpcmp 33096 . 2 (𝜑 → (( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌)) ↔ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) = (𝐿‘(𝐽𝑌))))
7869, 77mpbid 220 1 (𝜑 → ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) = (𝐿‘(𝐽𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896  {crab 2899  cdif 3536  cin 3538  wss 3539  {csn 4124  {cpr 4126  cmpt 4637  cfv 5790  crio 6488  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  Scalarcsca 15717   ·𝑠 cvsca 15718  0gc0g 15869  SubGrpcsubg 17357  LSSumclsm 17818  LModclmod 18632  LSubSpclss 18699  LSpanclspn 18738  LSAtomsclsa 33082  LSHypclsh 33083  LFnlclfn 33165  LKerclk 33193  LDualcld 33231  HLchlt 33458  LHypclh 34091  DVecHcdvh 35188  ocHcoch 35457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-riotaBAD 33060
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-undef 7263  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-0g 15871  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-p1 16809  df-lat 16815  df-clat 16877  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-subg 17360  df-cntz 17519  df-oppg 17545  df-lsm 17820  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-dvr 18452  df-drng 18518  df-lmod 18634  df-lss 18700  df-lsp 18739  df-lvec 18870  df-lsatoms 33084  df-lshyp 33085  df-lcv 33127  df-lfl 33166  df-lkr 33194  df-ldual 33232  df-oposet 33284  df-ol 33286  df-oml 33287  df-covers 33374  df-ats 33375  df-atl 33406  df-cvlat 33430  df-hlat 33459  df-llines 33605  df-lplanes 33606  df-lvols 33607  df-lines 33608  df-psubsp 33610  df-pmap 33611  df-padd 33903  df-lhyp 34095  df-laut 34096  df-ldil 34211  df-ltrn 34212  df-trl 34267  df-tgrp 34852  df-tendo 34864  df-edring 34866  df-dveca 35112  df-disoa 35139  df-dvech 35189  df-dib 35249  df-dic 35283  df-dih 35339  df-doch 35458  df-djh 35505
This theorem is referenced by:  lcfrlem26  35678
  Copyright terms: Public domain W3C validator