MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamuvs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamuvs1 20192
Description: Matrix multiplication distributes over scalar multiplication on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamucl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mamudi.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
mamudi.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamudi.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamudi.o (𝜑𝑂 ∈ Fin)
mamuvs1.t · = (.r𝑅)
mamuvs1.x (𝜑𝑋𝐵)
mamuvs1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
mamuvs1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑂)))
Assertion
Ref Expression
mamuvs1 (𝜑 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)𝐹𝑍) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘𝑓 · (𝑌𝐹𝑍)))

Proof of Theorem mamuvs1
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2620 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3 eqid 2620 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 mamuvs1.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
5 mamucl.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
65adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑅 ∈ Ring)
7 mamudi.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
87adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑁 ∈ Fin)
9 mamuvs1.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
109adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑋𝐵)
115ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
12 mamuvs1.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
13 elmapi 7864 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)) → 𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
1514ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
16 simplrl 799 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑀)
17 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
1815, 16, 17fovrnd 6791 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
19 mamuvs1.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑂)))
20 elmapi 7864 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑂)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
2221ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
23 simplrr 800 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑘𝑂)
2422, 17, 23fovrnd 6791 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)
251, 4ringcl 18542 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
2611, 18, 24, 25syl3anc 1324 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
27 eqid 2620 . . . . . . 7 (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))
28 ovexd 6665 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) ∈ V)
29 fvexd 6190 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (0g𝑅) ∈ V)
3027, 8, 28, 29fsuppmptdm 8271 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) finSupp (0g𝑅))
311, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 26, 30gsummulc2 18588 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
32 df-ov 6638 . . . . . . . . . 10 (𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)𝑗) = ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
33 simprl 793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑖𝑀)
34 opelxpi 5138 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖𝑀𝑗𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))
3533, 34sylan 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))
36 mamudi.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
37 xpfi 8216 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
3836, 7, 37syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
3938ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
409ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋𝐵)
41 ffn 6032 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
4212, 13, 413syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
4342ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
44 df-ov 6638 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖𝑌𝑗) = (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
4544eqcomi 2629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = (𝑖𝑌𝑗)
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) ∧ ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁)) → (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = (𝑖𝑌𝑗))
4739, 40, 43, 46ofc1 6905 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) ∧ ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁)) → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = (𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)))
4835, 47mpdan 701 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = (𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)))
4932, 48syl5eq 2666 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)𝑗) = (𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)))
5049oveq1d 6650 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) = ((𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)) · (𝑗𝑍𝑘)))
511, 4ringass 18545 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)) · (𝑗𝑍𝑘)) = (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
5211, 40, 18, 24, 51syl13anc 1326 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑋 · (𝑖𝑌𝑗)) · (𝑗𝑍𝑘)) = (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
5350, 52eqtrd 2654 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)) = (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))
5453mpteq2dva 4735 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
5554oveq2d 6651 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ (𝑋 · ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
56 mamudi.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
5736adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑀 ∈ Fin)
58 mamudi.o . . . . . . . 8 (𝜑𝑂 ∈ Fin)
5958adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑂 ∈ Fin)
6012adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
6119adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑍 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑂)))
62 simprr 795 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑘𝑂)
6356, 1, 4, 6, 57, 8, 59, 60, 61, 33, 62mamufv 20174 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
6463oveq2d 6651 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)) = (𝑋 · (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗) · (𝑗𝑍𝑘))))))
6531, 55, 643eqtr4d 2664 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
66 fconst6g 6081 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐵 → ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
679, 66syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
68 fvex 6188 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) ∈ V
691, 68eqeltri 2695 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
70 elmapg 7855 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin) → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)) ↔ ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵))
7169, 38, 70sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)) ↔ ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵))
7267, 71mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
731, 4ringvcl 20185 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁))) → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
745, 72, 12, 73syl3anc 1324 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
7574adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
7656, 1, 4, 6, 57, 8, 59, 75, 61, 33, 62mamufv 20174 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)𝑗) · (𝑗𝑍𝑘)))))
77 df-ov 6638 . . . . 5 (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘𝑓 · (𝑌𝐹𝑍))𝑘) = ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘𝑓 · (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
78 opelxpi 5138 . . . . . . 7 ((𝑖𝑀𝑘𝑂) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
7978adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
80 xpfi 8216 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
8136, 58, 80syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
8281adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
831, 5, 56, 36, 7, 58, 12, 19mamucl 20188 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)))
84 elmapi 7864 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)) → (𝑌𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
85 ffn 6032 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
8683, 84, 853syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
8786adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
88 df-ov 6638 . . . . . . . . 9 (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘) = ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
8988eqcomi 2629 . . . . . . . 8 ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)
9089a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘))
9182, 10, 87, 90ofc1 6905 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘𝑓 · (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
9279, 91mpdan 701 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘𝑓 · (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
9377, 92syl5eq 2666 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘𝑓 · (𝑌𝐹𝑍))𝑘) = (𝑋 · (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
9465, 76, 933eqtr4d 2664 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘𝑓 · (𝑌𝐹𝑍))𝑘))
9594ralrimivva 2968 . 2 (𝜑 → ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘𝑓 · (𝑌𝐹𝑍))𝑘))
961, 5, 56, 36, 7, 58, 74, 19mamucl 20188 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)𝐹𝑍) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)))
97 elmapi 7864 . . . 4 (((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)𝐹𝑍) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)) → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
98 ffn 6032 . . . 4 (((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
9996, 97, 983syl 18 . . 3 (𝜑 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
100 fconst6g 6081 . . . . . . 7 (𝑋𝐵 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
1019, 100syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
102 elmapg 7855 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)) ↔ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵))
10369, 81, 102sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)) ↔ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵))
104101, 103mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)))
1051, 4ringvcl 20185 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)) ∧ (𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂))) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘𝑓 · (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)))
1065, 104, 83, 105syl3anc 1324 . . . 4 (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘𝑓 · (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)))
107 elmapi 7864 . . . 4 ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘𝑓 · (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)) → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘𝑓 · (𝑌𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
108 ffn 6032 . . . 4 ((((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘𝑓 · (𝑌𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘𝑓 · (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
109106, 107, 1083syl 18 . . 3 (𝜑 → (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘𝑓 · (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
110 eqfnov2 6752 . . 3 ((((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘𝑓 · (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂)) → (((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)𝐹𝑍) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘𝑓 · (𝑌𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘𝑓 · (𝑌𝐹𝑍))𝑘)))
11199, 109, 110syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)𝐹𝑍) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘𝑓 · (𝑌𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖(((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘𝑓 · (𝑌𝐹𝑍))𝑘)))
11295, 111mpbird 247 1 (𝜑 → ((((𝑀 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)𝐹𝑍) = (((𝑀 × 𝑂) × {𝑋}) ∘𝑓 · (𝑌𝐹𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909  Vcvv 3195  {csn 4168  cop 4174  cotp 4176  cmpt 4720   × cxp 5102   Fn wfn 5871  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  𝑓 cof 6880  𝑚 cmap 7842  Fincfn 7940  Basecbs 15838  +gcplusg 15922  .rcmulr 15923  0gc0g 16081   Σg cgsu 16082  Ringcrg 18528   maMul cmmul 20170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-ot 4177  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-hash 13101  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-plusg 15935  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mhm 17316  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-ghm 17639  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-mamu 20171
This theorem is referenced by:  matassa  20231  mdetmul  20410
  Copyright terms: Public domain W3C validator