MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulge0 10497
Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulge0 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0
StepHypRef Expression
1 0red 9992 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
2 simpl 473 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
31, 2leloed 10131 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
4 simpr 477 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
51, 4leloed 10131 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
63, 5anbi12d 746 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) ↔ ((0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴) ∧ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))))
7 0red 9992 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
8 simpll 789 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 simplr 791 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
108, 9remulcld 10021 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
11 mulgt0 10066 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
1211an4s 868 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
137, 10, 12ltled 10136 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
1413ex 450 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
15 0re 9991 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
16 leid 10084 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℝ → 0 ≤ 0)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
184recnd 10019 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
1918mul02d 10185 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 · 𝐵) = 0)
2017, 19syl5breqr 4656 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ (0 · 𝐵))
21 oveq1 6617 . . . . . . . 8 (0 = 𝐴 → (0 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
2221breq2d 4630 . . . . . . 7 (0 = 𝐴 → (0 ≤ (0 · 𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
2320, 22syl5ibcom 235 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 = 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
2423adantrd 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 = 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
252recnd 10019 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2625mul01d 10186 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 0) = 0)
2717, 26syl5breqr 4656 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴 · 0))
28 oveq2 6618 . . . . . . . 8 (0 = 𝐵 → (𝐴 · 0) = (𝐴 · 𝐵))
2928breq2d 4630 . . . . . . 7 (0 = 𝐵 → (0 ≤ (𝐴 · 0) ↔ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
3027, 29syl5ibcom 235 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 = 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
3130adantld 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 = 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
3230adantld 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 = 𝐴 ∧ 0 = 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
3314, 24, 31, 32ccased 987 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴) ∧ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
346, 33sylbid 230 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
3534imp 445 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
3635an4s 868 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  cr 9886  0cc0 9887   · cmul 9892   < clt 10025  cle 10026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031
This theorem is referenced by:  mulge0i  10526  mulge0d  10555  mulge0b  10844  ge0mulcl  12234  expge0  12843  bernneq  12937  sqrtmul  13941  sqreulem  14040  amgm2  14050  efcllem  14740  nmoco  22460  iihalf1  22649  iimulcl  22655  mbfi1fseqlem1  23401  mbfi1fseqlem3  23403  mbfi1fseqlem5  23405  2lgslem1a1  25027  dchrisumlem3  25093  dchrvmasumlem2  25100  chpdifbndlem2  25156  cnlnadjlem7  28799  leopmuli  28859  reofld  29643  stoweidlem24  39569  hoidmvlelem1  40137
  Copyright terms: Public domain W3C validator