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Theorem bernneq 12946
Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
bernneq ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem bernneq
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6623 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 0))
21oveq2d 6631 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · 0)))
3 oveq2 6623 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑0))
42, 3breq12d 4636 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0)))
54imbi2d 330 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))))
6 oveq2 6623 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 𝑘))
76oveq2d 6631 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · 𝑘)))
8 oveq2 6623 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑𝑘))
97, 8breq12d 4636 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘)))
109imbi2d 330 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))))
11 oveq2 6623 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · (𝑘 + 1)))
1211oveq2d 6631 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))))
13 oveq2 6623 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))
1412, 13breq12d 4636 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))))
1514imbi2d 330 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
16 oveq2 6623 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 𝑁))
1716oveq2d 6631 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · 𝑁)))
18 oveq2 6623 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑𝑁))
1917, 18breq12d 4636 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁)))
2019imbi2d 330 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))))
21 recn 9986 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
22 mul01 10175 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
2322oveq2d 6631 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (𝐴 · 0)) = (1 + 0))
24 1p0e1 11093 . . . . . . . . 9 (1 + 0) = 1
2523, 24syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (𝐴 · 0)) = 1)
26 1le1 10615 . . . . . . . . 9 1 ≤ 1
27 ax-1cn 9954 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
28 addcl 9978 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
2927, 28mpan 705 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
30 exp0 12820 . . . . . . . . . 10 ((1 + 𝐴) ∈ ℂ → ((1 + 𝐴)↑0) = 1)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴)↑0) = 1)
3226, 31syl5breqr 4661 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ≤ ((1 + 𝐴)↑0))
3325, 32eqbrtrd 4645 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))
3421, 33syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))
3534adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))
36 1re 9999 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
37 nn0re 11261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
38 remulcl 9981 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℝ)
3937, 38sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℝ)
40 readdcl 9979 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑘) ∈ ℝ) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ)
4136, 39, 40sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ)
42 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
43 readdcl 9979 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ∈ ℝ)
4441, 42, 43syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ∈ ℝ)
4544adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ∈ ℝ)
46 readdcl 9979 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
4736, 46mpan 705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
4941, 48remulcld 10030 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
5049adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
51 reexpcl 12833 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
5247, 51sylan 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
5352, 48remulcld 10030 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
5453adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
55 remulcl 9981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
5655anidms 676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
57 msqge0 10509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))
5856, 57jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐴)))
59 nn0ge0 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
6037, 59jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘))
61 mulge0 10506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐴)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐴) · 𝑘))
6258, 60, 61syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐴) · 𝑘))
6321adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
64 nn0cn 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
6564adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
6663, 63, 65mul32d 10206 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐴) · 𝑘) = ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))
6762, 66breqtrd 4649 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))
68 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6938, 68remulcld 10030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ∈ ℝ)
7037, 69sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ∈ ℝ)
7144, 70addge01d 10575 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0 ≤ ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ↔ ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))))
7267, 71mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)))
73 mulcl 9980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
74 addcl 9978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
7527, 73, 74sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
76 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
7773, 76mulcld 10020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ∈ ℂ)
7875, 76, 77addassd 10022 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + (𝐴 + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))))
79 muladd11 10166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + (𝐴 + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))))
8073, 76, 79syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + (𝐴 + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))))
8178, 80eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)))
8221, 64, 81syl2an 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)))
8372, 82breqtrd 4649 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)))
8483adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)))
8541adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ)
8652adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
8748adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
88 neg1rr 11085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ ℝ
89 leadd2 10457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-1 ≤ 𝐴 ↔ (1 + -1) ≤ (1 + 𝐴)))
9088, 36, 89mp3an13 1412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝐴 ↔ (1 + -1) ≤ (1 + 𝐴)))
91 1pneg1e0 11089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + -1) = 0
9291breq1i 4630 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 + -1) ≤ (1 + 𝐴) ↔ 0 ≤ (1 + 𝐴))
9390, 92syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (1 + 𝐴)))
9493biimpa 501 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (1 + 𝐴))
9594ad2ant2r 782 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → 0 ≤ (1 + 𝐴))
96 simprr 795 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))
9785, 86, 87, 95, 96lemul1ad 10923 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) ≤ (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
9845, 50, 54, 84, 97letrd 10154 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
99 adddi 9985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)))
10027, 99mp3an3 1410 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)))
101 mulid1 9997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
102101adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
103102oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))
104100, 103eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))
105104oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
106 addass 9983 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
10727, 106mp3an1 1408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
10873, 76, 107syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
109105, 108eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴))
11021, 64, 109syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴))
111110adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴))
11227, 21, 28sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
113 expp1 12823 . . . . . . . . . . . 12 (((1 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
114112, 113sylan 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
115114adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
11698, 111, 1153brtr4d 4655 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))
117116exp43 639 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1 ≤ 𝐴 → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))))))
118117com12 32 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝐴 → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))))))
119118impd 447 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
120119a2d 29 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
1215, 10, 15, 20, 35, 120nn0ind 11432 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁)))
122121expd 452 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝐴 → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))))
123122com12 32 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1 ≤ 𝐴 → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))))
1241233imp 1254 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901  cle 10035  -cneg 10227  0cn0 11252  cexp 12816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-seq 12758  df-exp 12817
This theorem is referenced by:  bernneq2  12947  stoweidlem1  39555  stoweidlem10  39564  stoweidlem42  39596
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